初中数学25.2 用列举法求概率优质教案

这是一份初中数学25.2 用列举法求概率优质教案，共19页。教案主要包含了用列举法求概率，用列表法求概率，用树状图法求概率等内容，欢迎下载使用。

25.2 用列举法求概率





1．用列举法求概率


在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率.


事件的概率=．


2．用列表法求概率


当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．


3．用树状图法求概率


当一次试验涉及三个或更多因素时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法．








一、用列举法求概率


（1）常用的列举法：①直接列举法（枚举法）；②列表法；③树状图法．


（2）用列举法求某事件的概率时，各种结果出现的可能性必须相等．


（3）直接列举法求概率的适用条件是事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少．


例 1


有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，4，5，7，9，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】抽取的三边长包含的基本事件为：（2，4，5），（2，4，7），（2，4，9），（2，5，7），（2，5，9），（2，7，9），（4，5，7），（4，5，9），（4，7，9），（5，7，9）共10个；


设事件B=“抽取的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“，


则事件B包含的基本事件有：（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）共4个，


故P（A）==，故选A．


【名师点睛】列举时要注意分类处理，保证结果不重复不遗漏．


二、用列表法求概率


（1）“涉及两个因素”包括两种情况：①同时进行两种相同的操作；②先后进行两次相同的操作，即两步试验．


（2）列表的方法：选一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行．


（3）如果第一个因素有a种可能的结果，第二个因素有b种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果数有ab种．


例 2


如图所示，分别用两个质地均匀的转盘转得一个数，①号转盘表示数字2的扇形对应的圆心角为120°，②号转盘表示数字3的扇形对应的圆心角也是120°，则转得的两个数之积为偶数的概率为





A．B．C．D．


【答案】C


【解析】列表如下


由表知，共有9种等可能结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种结果，


所以转得的两个数之积为偶数的概率为，故选C．


【名师点睛】（1）用列举法列举事件发生的所有可能的结果时，注意各种结果出现的可能性必须相等．


（2）用列举法不适合求三步及三步以上试验的概率．


三、用树状图法求概率


（1）“涉及三个或更多因素”包括两种情况：①同时进行三种或更多种相同的操作；②先后进行三次或更多次相同的操作，即三步或更多步试验．


（2）如果各因素分别有a，b，c…种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果有a×b×c×…种．


例 3


母亲节时，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨、百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】将康乃馨、百合和玫瑰分别记为A、B、C，


画树状图得：





∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有3种结果，


∴两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为=，故选A．


【名师点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．








1．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是





A．B．


C．D．


2．书架上有数学书2本，英语书3本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是


A．





3．有三张正面分别标有数字–2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是


A．





4．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面向上的概率是


A．





5．如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是





A．





6．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为





A．B．


C．D．


7．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是


A．B．


C．D．


8．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为，，那么方程有解的概率是


A．B．


C．D．


9．从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数图象上的概率是


A．B．


C．D．


10．从0，1，2，–3四个数中，随机抽取两个数相乘，积是负数的概率为


A．B．


C．D．


11．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是__________．


12．现有四根长，，，的木棒，任取其中的三根，首尾顺次相连后，能组成三角形的概率为__________．


13．如图，有四张背面完全相同的卡片，小伟将这四张卡片背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．


（1）用树状图或列表法表示两次摸出卡片所有可能出现的结果卡片可用表示；


（2）求摸出两张卡片所表示的几何图形是轴对称图形而不是中心对称图形的概率．


























1．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么飞镖落在阴影部分的概率为





A．


2．自由转动转盘，指针指在白色区域的机会为的转盘是


A．B．C．D．


3．小明向图中的格盘中随意掷一棋子，使之落在三角形内的概率是





A．


4．九(1)班有2名升旗手，九(2)班、九(3)班各1名，若从4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率是


A．B．C．D．


5．一个不透明的袋子中装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，先从袋子中随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从袋子中随机摸出一个小球记下标号；把第一次摸出的小球标号作为十位数字，第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是3的倍数的概率是


A．B．


C．D．


6．在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为


A．B．


C．D．


7．小明要在周末参加毕业两周年同学会，现在柜子里有两件上衣和三条裤子供他选择，上衣一件是红色，另一件是黄色，裤子两条是褐色，另一条是蓝色．如果小明选择每一件上衣和每一条裤子的机会均等，则小明选择红色上衣和褐色裤子的概率是__________．


8．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是__________．





9．“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品.现将参赛的50件作品的成绩(单位：分)进行统计如下：


请根据上表提供的信息，解答下列问题：


（1）表中x的值为________，y的值为________；


（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率.





























10．王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）试验，他们共抛了54次，出现向上的点数的次数如下表：


（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；


（2）王强说：“根据试验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大”.


李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次”.


两位同学的说法正确吗？为什么？


（3）如果王强与李刚各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
































1．（2019•广西北部湾经济区）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是


A． B．


C． D．


2．（2019•河南）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是________．


3．（2019•江苏无锡）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．


（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为__________；


（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）


4．（2019•广西贺州）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．


（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；


（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．



































1．【答案】C


【解析】列表如下：


所有等可能的情况有25种，其中两个指针同时落在偶数上的情况有6种，


则P（两个指针同时落在偶数上）=.故答案为：.


2．【答案】D


【解析】因为书的总量是10本，数学书的数量是2本，


所以从中任意抽取一本是数学书的概率是，故选D.


3．【答案】C


【解析】画树状图得：





∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，


∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：.故选C.


4．【答案】A


【解析】∵随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反．∴落地后至少有一次正面朝上的概率为．故选A．


5．【答案】B


【解析】∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成轴对称图形的有5种情况，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故选B．


6．【答案】A


【解析】画树状图如图：





共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，∴小李获胜的概率为；故选A．


【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．


7．【答案】A


【解析】画树状图为：（用分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）





共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，


所以两人恰好选择同一场馆的概率．


故选A．


【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．


8．【答案】D


【解析】画树状图为：





共有36种等可能的结果数，其中使，即的有19种，


方程有解的概率是，故选D．


【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．


9．【答案】B


【解析】点在函数的图象上，．列表如下：


的值为6的概率是．故选B．


【名师点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6的概率是解题的关键．


10．【答案】B


【解析】列表如下：





由表可知，共有12种等可能结果，其中积是负数的有4种结果，


所以积是负数的概率为=，故选B．


【名师点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数目n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．


11．【答案】


【解析】列表得：


∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，


∴两次摸出的球都是黑球的概率为，故答案为：．


【名师点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．


12．【答案】


【解析】∵现有四根长30cm、40cm、70cm、90cm的木棒，任取其中的三根，可能结果有：30cm、40cm、70cm；30cm、40cm、90cm；30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm；其中首尾相连后，能组成三角形的有：30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm；


共有4种等可能的结果数，其中有2种能组成三角形，所以能组成三角形的概率= ．


故答案为：．


【名师点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．


13．【解析】（1）画树状图得：





则共有16种等可能的结果；


（2）∵是轴对称图形而不是中心对称图形情况有1种，


是轴对称图形而不是中心对称图形的概率．





1．【答案】C


【解析】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36，


阴影部分面积为，所以，飞镖落在阴影部分的概率为.


故选：C.


2．【答案】C


【解析】A.指针指在白色区域的机会为，故不能选；


B.指针指在白色区域的机会为，故不能选；


C.指针指在白色区域的机会为，故能选；


D.指针指在白色区域的机会为，故不能选；


故选：C.


3．【答案】C


【解析】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为9，三角形的面积为，所以，棋子落在三角形内的概率是.故选C.


4．【答案】D


【解析】画树状图如下：





由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的2人恰巧都来自九(1)班的有2种结果，


所以抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率为，故选D．


【名师点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．


5．【答案】D


【解析】根据题意画图如下：





共有16种等可能的情况数，其中组成的数是3的倍数的有5种，分别是12，21，24，33，42，则所组


成的数是3的倍数的概率是；故选D．


【名师点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率．熟练掌握是解题的关键．


6．【答案】D


【解析】列表如下：


由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色不同的情况有10种，


所以两人摸到的球颜色不同的概率为，故选D．


【名师点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．


7．【答案】


【解析】


共有6种情况，小明选择红色上衣和褐色裤子的有2种，所以小明选择红色上衣和褐色裤子的概率是：，故答案为：．


【名师点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．


8．【答案】


【解析】将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：


由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，


所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为=．故答案为：．


【名师点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．


9．【解析】（1）x=50–35–11=4；y=35÷50=0.7；故答案为：4，0.7；


（2）由第1问知获得A等级的学生共有4人，则另外两名学生为A3和A4.


由如下树状图可知：





所有可能出现的结果是：


(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，A4)，(A4，A1)，(A4，A2)，(A4，A3).


由此可见，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到A1，A2两名学生的结果有2种.


∴P(恰好抽到A1，A2两名学生)=.


10．【解析】（1）向上点数为3的频率=向上点数为5的频率


（2）王强的说法不对；李刚的说法不对.


每个点数出现的机会是相等的，因而一次试验中出现向上点数为5的概率是，故王强的说法是错误的；


出现的概率只是反映机会的大小，因而李刚的说法也是错误的．


（3）由表可知共有36种可能结果，其中和为3的倍数的有12种，


∴P(点数之和为3的倍数)








1．【答案】A


【解析】画树状图为：（用A．B．C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）





共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，


所以两人恰好选择同一场馆的概率==．故选A．


2．【答案】


【解析】列表如下：


由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，


所以摸出的两个球颜色相同的概率为，故答案为：．


3．【解析】（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=；故答案为：；


（2）画树状图为：





共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，


所以两次摸到红球的概率==．


【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．


4．【解析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，


画树状图如图所示，





由图可知，共有12种等可能结果；


（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，


所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为=．


【名师点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．


帮—重点
能够运用列举法（包括列表法、画树状图法）求事件的概率
帮—难点
列表法、画树状图法求事件的概率
帮—易错
考虑问题不全面；不能准确区分放回试验与不放回试验对事件发生概率的影响
1
2
5
3
3
6
15
4
4
8
20
6
6
12
30
等级
成绩（用s表示）
频数
频率
A
90≤s≤100
x
0.08
B
80≤s＜90
35
y
C
s＜80
11
0.22
合 计
50
1
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
1
2
3
4
5
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
(5，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
(5，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
(5，4)
5
(1，5)
(2，5)
(3，5)
(4，5)
(5，5)
6
(1，6)
(2，6)
(3，6)
(4，6)
(5，6)
﹣1
﹣1
﹣1
2
2
2
3
3
3
﹣6
﹣6
﹣6
2
3
﹣6
﹣1
3
﹣6
﹣1
2
﹣6
﹣1
2
3
﹣2
﹣3
6
﹣2
6
﹣12
﹣3
6
﹣18
6
﹣12
﹣18
黑
白
白
黑
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
红1
红2
黄
蓝
红1
红1红1
红1红2
红1黄
红1蓝
红2
红2红1
红2红2
红2黄
红2蓝
黄
黄红1
黄红2
黄黄
黄蓝
蓝
蓝红1
蓝红2
蓝黄
蓝蓝
裤子


上衣
褐
褐
黄
红
(红，褐)
(红，褐)
(红，黄)
黄
(黄，褐)
(黄，褐)
(黄，黄)
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
黄
红
红
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
白
（黄，白）
（红，白）
（红，白）