初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试优质课教案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试优质课教案设计，共32页。教案主要包含了圆的有关概念，应用垂径定理作图，利用垂径定理解决实际问题，运用弧，圆内接四边形，圆中计算防漏解，求圆周角时未分类讨论而漏解等内容，欢迎下载使用。

24.1 圆的有关性质





1．圆


在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作______________.


圆心：固定的端点叫作圆心.


半径：线段OA的长度叫作这个圆的______________.


圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“______________”，读作“圆O”.


同时从圆的定义中归纳：


（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；


（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.


圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.


2．垂直于弦的直径


（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的________________，圆有_______________条对称轴.


（2）垂直于弦的______________平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并且________________弦所对的弧.


3．弧、弦、圆心角


（1）顶点在圆心的角叫做_______________.


（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________________，所对的弦也________________.


（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.


在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.


4．圆周角


（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.


特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.


（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的___________.


（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的_______________.


（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_____________，90°的圆周角所对的弦是_______________.


（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_____________，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的______________.








1．圆 半径 ⊙O


2．（1）对称轴 无数 （2）直径 垂直 平分


3．（1）圆心角 （2）相等 相等


4．（2）一半 （3）一半 （4）直角 直径 （5）圆内接多边形 对角互补








一、圆的有关概念


圆中容易混淆的“两组基本概念”


1．弦与直径：（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.


（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.


2．弧与半圆：


（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆.


（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.


下列说法：


①优弧一定比劣弧长；


②面积相等的两个圆是等圆；


③长度相等的弧是等弧；


④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；


⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．


其中不正确的个数是


A．1个B．2个


C．3个D．4个


【答案】C


【解析】在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误；


面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确；


能完全重合的弧是等弧，所以③错误；


经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确；


经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误．


故选：C．


【名师点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．


二、垂径定理及其推论的有关计算与证明


垂径定理应用中常作的辅助线：


（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；


（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.


如图，在⊙O中，直径CD＝5，CD⊥AB于E，OE＝0.7，则AB的长是





A．2.4 B．4.8


C．1.2 D．2.5


【答案】B


【解析】连接AO，


因为，在⊙O中，CD⊥AB于E，


所以，AB=2AE,AE=AO2-OE2=2.52-0.72=2.4.


所以，AB=2AE=2×2.4=4.8，


故选：B.


三、应用垂径定理作图


圆弧中点的确定：由垂径定理可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所以常通过作孤所对的弦的垂直平分线确定孤的中点.


如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是





A．点Q B．点P


C．点R D．点M


【答案】A


【解析】连接BC，





作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点.


故选A.


四、利用垂径定理解决实际问题


利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长，从而解决问题.


（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为





A．B．


C．D．


【答案】A


【解析】根据题意，易知于点D，


，


在中，，


设半径为得：，


解得：，


这段弯路的半径为，


故选：A．


【名师点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．


五、利用圆周角定理及其推论求角的度数


计算圆心角和圆周角时的注意事项：


1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；


2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.


（2019·滨州市）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为





A．60°B．50°


C．40°D．20°


【答案】B


【解析】连接，





∵为的直径，


∴．


∵，


∴，


∴．


故选：B．


【名师点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.


六、运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行证明


圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角相等或倍分关系的方法：


在圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.


（2019·南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．





【答案】见解析


【解析】如图，连接.


∵，


∴.


∴，即.


∴.


∴.





【名师点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．


七、圆内接四边形


如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是





A．50° B．60°


C．80° D．100°


【答案】D


【解析】圆上取一点A，连接AB，AD，





∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.


故选D．


八、圆中计算防漏解


已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则两弦AB，CD间的距离是


A．7 cm B．17 cm


C．12 cm D．7 cm或17 cm


【易错提示】本题应分两种情况解答：（1）两弦在圆心的同侧；（2）两弦在圆心的异侧，易遗漏两弦在圆


心的异侧时的情况.


【正解】第一种情况：两弦在圆心的同侧时，如图，过点O作OE⊥弦CD，交CD于点E，交AB于点F.


∵AB∥CD，∴EF⊥AB，∴线段EF的长是AB，CD间的距离.


∵CD=10 cm，∴DE=5 cm.


∵OD=13 cm，∴由勾股定理可得OE=12 cm.


同理可求OF=5 cm，∴EF=OE−OF=7 cm.





第二种情况：两弦在圆心的异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，延长EO交AB于点F.


∵CD∥AB，∴EF⊥AB.∴线段EF的长是AB，CD间的距离，


∴EF=OE+OF=17 cm.故选D.





九、对圆心角与圆周角的性质理解不透彻


判断：（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.（ ）


（2）相等的圆周角所对的弧相等.（ ）


【易错提示】误以为这两个题均是正确的.如图①，在同心圆中，∠AOB=∠COD，但即.


在图②中，与有公共点M，显然圆周角∠AMB=∠CMD，而.





【正解】（1）错误；（2）错误.


十、求圆周角时未分类讨论而漏解


如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为





A．50°B．80°或50°


C．130°D． 50°或130°


【易错提示】点C可能在优弧上也可能在劣弧上，此题应分两种情况进行讨论.


【正解】①如图所示，当C点在优弧上时，因为∠AOB=100°，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=∠AOB=50°.





②如图所示，当C点在劣弧上时，


因为∠AOB=100°，所以优弧所对的圆心角为：360°−100°=260°，


根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=130°.





综上所述，∠ACB的度数为50°或130°.


故选D.








1．下列语句中不正确的有


①平分弦的直径垂直于弦；②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；③长度相等的两条弧是等弧


A．3个 B．2个


C．1个 D．以上都不对


2．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若AB＝26，CD＝24，则OE的长度为





A．12 B．8


C．7 D．5


3．如图,已知AB是O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE=





A．40° B．60°


C．80° D．120°


4．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=





A．80° B．50°


C．40° D．20°


5．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为





A．15° B．30°


C．45° D．60°


6．⊙O的一条弦长AB=12 cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为


A．12 cm B．6 cm


C．7 cm D．8 cm


7．如图所示，在⊙O中，若∠A＝60°，AB＝3 cm，则OB＝________ cm.





8．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝______．





9．如图，在中，为的直径，，则的度数是_________度.





10．如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.


求证：（1）∠AOE＝∠BOD；


（2）AD=BE.























11．如图，直线，分别交于，，，四点，，相交于点.若的度数是，的度数是，则，你认为正确吗？请说明理由.


























12．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于





A．2 B．2


C．22 D．3


13．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是





A．25° B．35°


C．15° D．20°


14．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为





A．15° B．25°


C．30° D．50°


15．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”


如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是





A．13寸 B．20寸


C．26寸 D．28寸


16．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是





A．80° B．120°


C．100° D．90°


17．如图，AB为ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_______________°．





18．已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是__________cm．


19．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=___________度．





20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________________．








21．（2019·宜昌）如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是





A．B．


C．D．


22．（2019·甘肃省武威市、陇南市、庆阳市、平凉市、白银市、酒泉市、张掖市、临夏自治州）如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是





A．22.5°B．30°


C．45°D．60°


23．（2019·北京市）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；


（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；


（3）连接OM，MN．


根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是





A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°


C．MN∥CDD．MN=3CD


24．（2019·威海市）如图，与x轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的纵坐标为





A．B．


C．D．


25．（2019·菏泽）如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是





A．B．


C．D．


26．（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为





A．B．


C．D．


27．（2019·伊春）如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为__________．





28．（2019·盐城市）如图，点、、、、在上，且弧为，则__________．





29．（2019·宜宾）如图，的两条相交弦、，，，则的面积是__________．





30．（2019·凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦于H，，则⊙O的半径是__________．





31．（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是，则它所对的圆心角的度数是__________．


32．（2019·安徽）如图，ABC内接于O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若O的半径为2，则CD的长为__________．





33．（2019·广州市）如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC.


（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）


（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长.














1．【答案】A


【解析】①平分弦的直径垂直于弦; 错误(弦不是直径)； ②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴,错误（直径所在直线）； ③长度相等的两条弧是等弧;错误（同圆等圆中）.


故选A.


2．【答案】D


【解析】因为AB=26，则OC= ，因为直径AB⊥弦CD，根据垂径定理得： ，在 中， .


故选D.


3．【答案】B


【解析】∵D,C是劣弧EB的三等分点,


∴∠BOE=3∠BOC=120°，


∴∠AOE=180°∠BOE=60°


故选B.


【名师点睛】此题主要考察圆的圆心角度数问题.


4．【答案】A


【解析】∵AB∥CD，


∴∠BCD=∠ABC=40°，


∴∠BOD=2∠BCD=80°．


故选A．


5．【答案】B


【解析】∵AD∥OC，


∴∠DAC=∠OCA，


∵OA=OC，


∴∠OCA=∠OAC，


∴∠OAC=∠DAC=12∠DAB=12×60°=30°.


故选：B.


6．【答案】B


【解析】如图：





∵CD是圆的直径，，AB=12 cm，


∴AE=AB=6 cm（垂径定理）．


故选B．


7．【答案】3


【解析】∵∠A=60°，OA=OB，


∴△OAB为等边三角形，


∴OB=AB=3 cm.


故答案为:3.


8．【答案】65°


【解析】连接





C为优弧ACB的中点,








故答案为：


9．【答案】100


【解析】ABC中，∠B=60°，∠C=70°，


∴，


∴∠BOD=2∠A=100°．


故答案为100°．


10．【解析】（1）∵CA=CB，


∴∠A=∠B，


∵OA=OD，OB=OE，


∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，


∴∠AOD=∠BOE，


∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，


∴∠AOE=∠BOD；


（2）∵∠AOD=∠BOE，


∴AD=BE．


11．【解析】正确，理由如下：如图，连接，，，，.


∵和分别是所对的圆周角和圆心角，


∴，和分别是所对的圆周角和圆心角，


∴.


∴.





12．【答案】C


【解析】∵半径OC⊥弦AB于点D，


∴AC=BC，


∴∠E=12∠BOC=22.5°，


∴∠BOD=45°，


∴△ODB是等腰直角三角形，


∵AB=4，


∴DB=OD=2，


则半径OB等于22+22=22．


故选：C．


13．【答案】A


【解析】∵AB是⊙O的直径，


∴∠ACB=90°，


∵∠ABC=65°，


∴∠CAB=25°，


∵OA=OC，


∴∠OCA=∠CAB=25°，


故选：A．


14．【答案】B


【解析】如图，连接OB，





∵OA⊥BC，∠AOC=50°，


∴∠AOB=∠AOC=50°，


则∠ADB=12∠AOB=25°，


故选：B．


15．【答案】C


【解析】设⊙O的半径为r．


在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，


则有r2=52+（r-1）2，


解得r=13，


∴⊙O的直径为26寸，


故选：C．


16．【答案】B


【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，


∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，


由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，


故选B．


17．【答案】40


【解析】连接BD，如图，


∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，


∴∠ADB=90°，


∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，


∴∠ACD=∠ABD=40°，


故答案为：40．





18．【答案】2或14


【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，





∵AB=16 cm，CD=12 cm，


∴AE=8 cm，CF=6 cm，


∵OA=OC=10 cm，


∴EO=6 cm，OF=8 cm，


∴EF=OF-OE=2 cm；


②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，





∵AB=16 cm，CD=12 cm，


∴AF=8 cm，CE=6 cm，


∵OA=OC=10 cm，


∴OF=6 cm，OE=8 cm，


∴EF=OF+OE=14 cm．


∴AB与CD之间的距离为14 cm或2 cm．


故答案为：2或14．


19．【答案】60


【解析】如图，连接OA，


∵OA=OC，


∴∠OAC=∠C=20°，


∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=60°，


∵OA=OB，


∴∠B=∠OAB=60°，


故答案为：60．





20．【答案】（-1，-2）


【解析】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：





在CB的垂直平分线上找到一点D，


CD═DB=DA=32+12=10，


所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，


即D的坐标为（﹣1，﹣2），


故答案为：（﹣1，﹣2），


21．【答案】A


【解析】，


，


，


．


故选A．


【名师点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．


22．【答案】C


【解析】设圆心为，连接，如图，


∵弦的长度等于圆半径的倍，


即，


∴，


∴为等腰直角三角形， ，


∴°．


故选：C．





【名师点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．


23．【答案】D


【解析】由作图知CM=CD=DN，


∴∠COM=∠COD，故A选项正确；





对于B选项，若OM=MN，则OM=ON=MN，


∴△OMN是等边三角形，


∴∠MON=60°，


∵CM=CD=DN，


∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；


∵∠MOA=∠AOB=∠BON，


∴∠OCD=∠OCM=，


∴∠MCD=，


又∠CMN=∠AON=∠MOA，


∴∠MCD+∠CMN=180°，


∴MN∥CD，故C选项正确；


∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，


∴3CD＞MN，故D选项错误；


故选D．


【名师点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．


24．【答案】B


【解析】连接，，，过作于，于，





∵，


∴，


∵，


∴，


∵，，


∴，


∴，


∴，，


∵，，，


∴四边形是矩形，


∴，，


∴，


∴，


∴点的纵坐标为.


故选B．


【名师点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．


25．【答案】C


【解析】∵是的直径，平分，


∴，，


∴，


∵，


∴，


∴，


∴，选项A成立；


∴，选项B成立；


∴，选项D成立；


∵和中，没有相等的边，


∴与不全等，选项C不成立，


故选C．


【名师点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．


26．【答案】B


【解析】连接，，如图，设半径为，





∵，，


∴，点、、三点共线，


∵，


∴，


在中，


∵，，


即，


解得，


故选：B.


【名师点睛】本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．


27．【答案】


【解析】，


，


，


，


，


故答案为．


【名师点睛】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出.


28．【答案】


【解析】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧为，所以 .


顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：


, ，


.





【名师点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.


29．【答案】


【解析】∵，


而，


∴，


∴为等边三角形，


∵，


∴圆的半径为4，


∴的面积是，


故答案为．


【名师点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．


30．【答案】2


【解析】连接BC，如图所示：


∵AB是⊙O的直径，弦于H，


，


，


，


在中，，


，








即⊙O的半径是2；


故答案为：2





【名师点睛】考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．


31．【答案】30°.


【解析】根据圆周角定理：是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，可知它所对的圆心角的度数是30°


故答案为： 30°.


【名师点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．


32．【答案】


【解析】连接OA，OC，


∵∠COA=2∠CBA=90°，


∴在AOC中，AC=，


∵CD⊥AB，


∴在中，∠CAD=30°，∴,根据勾股定理易得CD=，


故答案为.





【名师点睛】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.


33．【答案】（1）见解析；（2）四边形的周长为.


【解析】（1）如图，线段CD即为所求．





（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x．


∵是直径，


∴，


∴，


∵，


∴ ，


∴，BE=DE，


∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2,


∴，解得：，


∵BO=OA，BE=DE,


∴为的中位线，


∴，


∴四边形的周长为：.


【名师点睛】本题考查了作图能力、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握是解题的关键.帮—重点
垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论
帮—难点
圆的有关概念、圆心角、圆周角的概念
帮—易错
弧、弦、圆心角的关系