人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀教学设计

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀教学设计，共11页。教案主要包含了名师点睛等内容，欢迎下载使用。

21.1一元二次方程





1．一元二次方程的定义


（1）等号两边都是 ，只含有一个 （一元），并且 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．


（2）注意以下几点：①只含有 ；②未知数的最高次数是 ；③等号两边都是 ．


2．一元二次方程的一般形式


一元二次方程的一般形式是 ．其中，ax2是 ，a是 ；bx是 ，b是 ；c是 ．


3．一元二次方程的根


使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 ，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中 的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．








1．（1）整式，未知数，未知数的最高次数（2）一个未知数，2，整式


2．ax2+bx+c=0(a≠0)，二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项


3．解，验根








1．一元二次方程的定义及一般形式


1．等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程．


2．一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项


下列方程中是一元二次方程的是


A． B．


C． D．


【答案】C


【解析】A、该方程是一元一次方程，故本选项错误.


B、该方程是二元二次方程，故本选项错误.


C、该方程是一元二次方程，故本选项正确.


D、该方程分式方程，故本选项错误.


故选：C.


【名师点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是.


将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是一6，常数项是1的方程是


A． B．


C． D．


【答案】A


【解析】，


其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是1，故选A.


【名师点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为.


2.一元二次方程的根


1．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．


2．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．


（2019·甘肃）若一元二次方程的一根为，则k的值为


A． B．


C．或 D．或


【答案】A


【解析】把代入方程得 ，解得，故选A.


【名师点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.








1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是


A． B．ax²+bx+c=0


C．(x²+1)+x=0 D．mx²+3x=0


2．若方程x2+ax﹣2a=0的一个根是1，则a的取值是


A．1 B．﹣1


C．0 D．﹣2


3．一元二次方程4x2–3x–5=0的一次项系数是


A．–5B．4


C．–3D．3


4．方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则


A．m≠±2B．m=2


C．m=–2D．m≠2


5．在下列方程中，一定是一元二次方程的是


A． B．


C． D．


6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是


A．2，5，–4B．2，5，4


C．2，–5，–4D．2，，4


7．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是


A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2


C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、2


8．已知实数a,b满足 ,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是


A．x=a,x=b都不是该方程的解


B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解


C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解


D．x=a,x=b都是该方程的解


9．一元二次方程化为一般形式是__________，它的一次项是__________，常数项是__________．


10．关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________．


11．已知关于的方程的一个根是，则__________．


12．关于x的一元二次方程的一个根是0，求n的值．























13．若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，试求整数a，b的值．























14．若一元二次方程 的常数项为0,则m的值为


A．3 B．-3


C．±3 D．±9


15．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是


A．1B．2


C．3D．4


16．已知a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根，则代数式﹣2a2+6a﹣3的值是


A．﹣5 B．﹣6


C．﹣12﹣2 D．﹣12+2


17．关于的方程是一元二次方程，则=__________．


18．已知=0是关于x的一元二次方程，则k为__________．


19．若关于x的一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项之和是0，则k=__________.


20．已知是方程的根，则式子的值为__________．


21．关于x的方程x2+5x–m=0的一个根是2，则m=__________．


22．若一元二次方程ax2–bx–2017=0有一根为x=–1，则a+b=__________．


23．关于x的一元二次方程（a–1）x2+x+（a2–1）=0的一个根是0，则a的值是__________．


24．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.





























25．（2019·遂宁）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为


A．0 B．


C．1 D．


26．（2019·资阳）a是方程的一个根，则代数式的值是_____________.


27．（2019·南京）已知是关于x的方程的一个根，则m=_____________.





1．【答案】C


【解析】A. 中含有分式,故不是一元二次方程;


B.当a=0时， ax²+bx+c =0不是一元二次方程;


C. (x²+1)+x=0是一元二次方程;


D. 当m=0时，mx²+3x=0不是一元二次方程.


故选C.


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键.


2．【答案】A


【解析】根据题意，得12＋a−2a＝0，


解得，a＝1．


故选：A．


【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．


3．【答案】C


【解析】一元二次方程4x2–3x–5=0的一次项系数，即–3x的系数，是–3，故选C．


4．【答案】D


【解析】根据一元二次方程的概念，可知m–2≠0，解得m≠2．故选D．


5．【答案】B


【解析】A. x2+=0是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；


B. 由原方程知x2−2x−19=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；


C. 当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项错误；


D. 该方程中含有2个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项错误.


故答案选B.


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.


6．【答案】C


【解析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，–5，–4．故选C．


7．【答案】A


【解析】一元二次方程3x2−3x＝x＋2整理，得3x2−4x−2＝0，


则a＝3，b＝−4，c＝−2．


故选A．


【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．


8．【答案】D


【解析】∵实数a，b满足，


∴x=a，x=b都是一元二次方程的根．


故选D．


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．


9．【答案】，3x，–2．


【解析】方程可整理为：，，即，根据一元二次方程的一般式（a≠0）可得，该一元二次方程的一般式为，它的一次项是3x，常数项为–2．故答案为：，3x，–2．


10．【答案】


【解析】依题意得m+1≠0，∴m≠−1.


11．【答案】2


【解析】∵关于的方程的一个根是，∴，∴，∴．


12．【答案】


【解析】∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴，∴，∵，∴．


13．【答案】整数a，b的值为a＝1，b＝0或a＝1，b＝－1.


【解析】分五种情况讨论：


①2a+b=2，a-b=1，解得a=1，b=0.


②2a+b=2，a-b=0，解得a=23，b=23，不合题意，舍去．


③2a＋b＝1，a－b＝2，解得a＝1，b＝－1.


④2a＋b＝0，a－b＝2，解得a=23，b=-43，不合题意，舍去．


⑤2a＋b＝2，a－b＝2，解得a=43，b=-23，不合题意，舍去．


∴整数a，b的值为a＝1，b＝0或a＝1，b＝－1.


14．【答案】B


【解析】∵关于x的一元二次方程的常数项是0，


∴，


即，


解得 ．


故选B．


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不等于零．


15．【答案】 B


【解析】方程①，的取值不确定，时，方程可化为，故不一定是一元二次方程；


方程②，可化为，符合定义，是一元二次方程；


方程③，不是整式方程，所以不是一元二次方程；


方程④，因为为任意实数，不是未知数，所以符合定义，是一元二次方程；


方程⑤，含有根号，不是整式方程，所以不是一元二次方程．


综上，②④是一元二次方程，故选B．


16．【答案】A


【解析】∵a是方程的解， ∴，


∴原式=－2()－3=－2－3=－5，


故选A．


【名师点睛】本题主要考查的是方程的解以及整体思想求解，属于中等难度的题型．在解这个问题的时候很多同学就会根据方程的解法求出a的值，然后再代入求值．这里我们需要通过观察，利用好整体思想．


17．【答案】3


【解析】根据题意得，|m−1|=2，且m+1≠0，解得：m=3，∴m的值为3．


18．【答案】–2


【解析】已知=0是关于x的一元二次方程，可得，1–k≥0，解得k=–2．


19．【答案】14


【解析】易得二次项系数、一次项系数、常数项分别是，


因为它们的和是0，即得到，解得k=14．


【名师点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意说项的符号是一定要有前面的符号．


20．【答案】2018


【解析】∵m为方程x2+x−1=0的根，∴m2+m−1=0，∴m2+m=1，


∴m3+2m2+2017=m(m2+m)+m2+2017=m+m2+2017=1+2017=2018．故答案为：2018．


21．【答案】14


【解析】把x=2代入方程：x2+5x–m=0可得4+10–m=0，解得m=14．


22．【答案】2017


【解析】把x=–1代入ax2–bx–2017=0得a+b–2017=0，∴a+b=2017．


23．【答案】–1


【解析】∵关于x的一元二次方程（a–1）x2+x+（a2–1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a–1≠0．∴a2–1=0，且a≠1．解得a=–1．


24．【答案】0


【解析】∵a＝＋－2，


∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.


又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，


∴a－b＋c＝0，


∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.


∴原式＝＝0.


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，本题需注意当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．


25．【答案】D


【解析】关于x的一元二次方程有一个根为，


∴，则a的值为：.


故选D.


26．【答案】8


【解析】∵a是方程的一个根，


∴，


.


故答案为：8.


27．【答案】1


【解析】把代入方程得，解得m=1.故答案为1.帮—重点
一元二次方程的根
帮—难点
根据实际问题列出一元二次方程
帮—易错
（1）若一元二次方程的二次项系数含有字母，则根据一元二次方程的定义求值时，要注意不能忽略隐含条件“”．（2）指出一元二次方程的二次项、一次项和常数项时，一定要注意各项均包含前面的符号．