人教版八年级上册本节综合公开课教案

这是一份人教版八年级上册本节综合公开课教案，共12页。教案主要包含了多边形及其相关概念，多边形的对角线，凸多边形与正多边形，多边形内角和定理，多边形的外角和定理等内容，欢迎下载使用。

11.3 多边形及其内角和





一、多边形及其相关概念


1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的___________叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形．


2．相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的___________．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的___________．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的___________．


二、多边形的对角线


1．定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的__________，叫做多边形的对角线．


2．规律总结：


①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．


②n边形共有条对角线．


三、凸多边形与正多边形


1．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的___________，那么这个多边形叫做凸多边形．


2．正多边形：各个角都相等，各条边都___________的多边形叫做正多边形．


四、多边形内角和定理：


边形内角和等于___________．正多边形的每个内角的度数为．


五、多边形的外角和定理：


1．多边形的外角和为___________．


2．外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数；


②已知正多边形的边数求外角的度数．








一、1．封闭图形2．内角，外角，对角线 二、1．线段 三、1．同一侧2．相等


四、五、








1．多边形及其相关概念


（1）多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．


（2）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．


例 1


下列说法中，正确说法有


①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；


②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；


③各条边都相等的多边形是正多边形．


A．0个B．1个C．2个D．3个


【答案】A


【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误．②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误．③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．


【名师点睛】（1）多边形有几条边就是几边形，三角形是最简单的多边形．


（2）三角形的三个顶点确定一个平面，但边数大于3的“多边形”的顶点有不共面的情况，所以在多边形的定义中要加上“在平面内”这个条件．


（3）多边形用表示它的各个顶点的字母表示，表示多边形的字母要按顶点的顺序书写，可以按顺时针顺序，也可以按逆时针顺序．


2．多边形的内角和


（1）多边形内角和定理：


边形内角和等于．


（2）多边形内角和定理的推理过程：


①从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，又每个三角形的内角和是，所以边形的内角和是．


②在边形内任取一点，连接，，…，，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去中间的一个周角，即得边形的内角和为．


（3）多边形的内角和的应用：


①己知多边形的边数，求内角和．


②已知多边形的内角和，求边数．


③求正边形的每个内角的度数．


例 2


n边形的每个外角都为72°，则边数n为


A．5B．6C．7D．8


【答案】A


【解析】∵多边形每个外角都等于72°，∴这个多边形的边数是：n=360÷72=5．故选A．


【名师点睛】一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加．


3．多边形的外角和


（1）多边形的外角和定理：多边形的外角和为．


（2）多边形的外角和定理的推理过程：


多边形的每个内角同与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加上外角和为，外角和等于．


（3）多边形的外角和定理的应用：


①已知正多边形的外角度数，求边数．


②已知正多边形的边数，求外角度数．


例 3


一个n边形的内角和是1800°，则n=__________．


【答案】12


【解析】根据题意得：（n-2）·180°=1800°，解得：n=12．故答案为：12．


【名师点睛】（1）边形的外角和与边数无关，总是等于．


（2）正边形的每个内角都相等，则每个外角都相等，又其外角和为，所以正边形的每个外角度数为．








1．下列图中不是凸多边形的是


A．B．C．D．


2．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说法错误的是


A．这个多边形是十边形B．这个多边形的内角和是1800°


C．这个多边形的每个内角都是144°D．这个多边形的外角和是360°


3．下列图形中，内角和与外角和相等的是


A．B．C．D．


4．如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是


A．nB．2n-2C．2nD．2n+2


5．多边形的内角和不可能为


A．180°B．680°C．1080°D．1980°


6．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是___________．


7．某正n边形的一个内角为108°，则n=___________．


8．如果铺满地面，那么用正方形和等边三角形，正六边形三种组合的比例应为__________．


9．根据图中所表示的已知角的度数，可以求出∠α=__________°．





10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于__________．





11．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数．























12．不能够铺满地面的组合图形是


A．正八边形和正方形B．正方形和正三角形


C．正六边形和正方形D．正六边形和正三角形


13．下列说法正确的有


①由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．


A．0个B．1个C．2个D．3个


14．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的


A．内角和增加180°B．外角和增加360°


C．对角线增加一条D．内角和增加360°


15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了___________米．





16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___________．





17．若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线__________条．


18．已知：四边形ABCD如图所示，


（1）填空：∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．


（2）请用两种方法证明你的结论．

















19．若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为，求原多边形的边数．

















20．一个多边形的各内角都相等，且每个内角与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边数．











21．（2019•陇南）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是





A．180°B．360°C．540°D．720°


22．（2019•益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是__________．


23．（2019•株洲）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP=60°，则∠APB=__________度．





24．（2019•广安）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE=__________度．





25．（2019•济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是__________．





26．（2019•宜宾）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB=__________．





27．（2019•岳阳）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为__________．


28．（2019•淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是__________．


29．（2019•泰州）八边形的内角和为__________．


30．（2019•资阳）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是__________．


31．（2019•枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC=__________度．








1．【答案】A


【解析】A．不是凸多边形，整个多边形不是都在每条边所在直线的同侧；


B．是凸多边形，符合凸多边形的定义；


C．是凸多边形，符合凸多边形的定义；


D．是凸多边形，符合凸多边形的定义，故选A．


2．【答案】B


【解析】多边形的边数为：360°÷36°=10，所以，多边形的内角和为：（10-2）·180°=1440°，每一个内角为：180°-36°=144°，多边形的外角和为：360°，所以，说法错误的是B选项．故选B．


3．【答案】B


【解析】根据多边形内角和公式（n–2）×180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．


设多边形的边数为n，根据题意得（n–2）×180°=360°，解得n=4．故选B．


4．【答案】D


【解析】设多边形边数为x，则（x-2）·180°=n·360°，即x=2n+2，故选D．


5．【答案】B


【解析】A．∵180º÷180º=1，故A是多边形的内角和；


B．∵680°÷180º=2……14，故B不是多边形的内角和；


C．∵1080º÷180º=6，故C是多边形的内角和；


D．∵1980º÷180º=11，故D是多边形的内角和，故选B．


6．【答案】9


【解析】(n−2)⋅180°=3×360°+180°，所以(n−2)⋅180°=6×180°+180°，n−2=7，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．


7．【答案】5


【解析】．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°–108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案为：5．


8．【答案】2∶1∶1


【解析】∵正方形、等边三角形和正六边形的内角的度数分别是90，60，120，


∴正方形、等边三角形和正六边形三种组合的比例应为2∶1∶1，故答案为：2∶1∶1．


9．【答案】50


【解析】∵图中110°角的外角为180°–110°=70°，∴∠α=360°–120°–120°–70°=50°．故答案为：50．


10．【答案】270°


【解析】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=360°–（∠A+∠B）=270°，故答案为：270°．


11．【解析】设这个内角度数为x°，边数为n，


则（n-2）×180°-x=2570°，


n×180°=2930°+x，即x=n×180°-2930°，


∵0°

解得16.2

又∵n为正整数，


∴n=17，


则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°．


12．【答案】C


【解析】A、正八边形和正方形内角分别为135°、90°，由于135×2+90=360，故能铺满，不符合题意；


B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满，不符合题意；


C、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，m=4-n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够铺满，符合题意；


D、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60°，由于2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，故能够铺满，不符合题意，故选C．


13．【答案】 A


【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误；②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误；③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．


14．【答案】A


【解析】因为n边形的内角和是（n–2）•180°，外角和为360°，对角线的条数为，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n–1）•180°，内角和增加：（n–1）•180°–（n–2）•180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变；对角线的条数为 ．所以只有A正确，故选A．


15．【答案】120


【解析】根据多边形的外角和为360°，因为360°÷30°=12，所以他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．


16．【答案】360°


【解析】∵∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°．故答案为：360°．





17．【答案】3


【解析】设多边形的边数是n，则（n-2）·180°=720°，解得n=6，


∴从这个多边形的一个顶点引出对角线是：6-3=3（条），故答案为：3．


18．【解析】（1）四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=．


（2）证法一：如图1，连接AC，


∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠D+∠DAC=180°，


∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠ACD+∠D+∠DAC=360°，


∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°．





证法二：如图2，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，


∵∠PAB+∠ABP+∠APB=180°，∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°，


∠DPC+∠PCD+∠CDP=180°，∠APD+∠ADP+∠DAP=180°，


∴∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×4–360°=360°．


19．【解析】设原多边形的边数为，则增加一边后的边数为．


由多边形内角和定理得，解得，


故原多边形的边数为．


解答本例也可以利用多边形边数每增加，其内角和就增加这一规律来解，即原多边形的内角和为，若设原多边形的边数为，则可得方程，解得．


20．【解析】设一个内角与其外角分别为x°，y°，


则有，


解得或，


∴此多边形的边数为：360°÷60°=6或360°÷120°=3，


∴此多边形的边数为6或3．


21．【答案】C


【解析】黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，故选C．


22．【答案】5


【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，


∴多边形的内角和是900-360=540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．故答案为：5．


23．【答案】66


【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB=108°，


∵AP是∠EAB的角平分线，∴∠PAB=54°，


∵∠ABP=60°，∴∠APB=180°-60°-54°=66°．故答案为：66．


24．【答案】72


【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB=∠ABC=，


∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA=36°，


同理∠ABE=36°，∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°．故答案为：72．


25．【答案】140°


【解析】该正九边形内角和=180°×（9-2）=1260°，


则每个内角的度数=140°．故答案为：140°．


26．【答案】60°


【解析】在六边形ABCDEF中，（6-2）×180°=720°，=120°，∴∠B=120°，


∵AD∥BC，∴∠DAB=180°-∠B=60°，故答案为：60°．


27．【答案】4


【解析】设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=360°，解得：n=4，故答案为：4．


28．【答案】5


【解析】设这个多边形的边数是n，则（n-2）·180°=540°，解得n=5，故答案为：5．


29．【答案】1080°


【解析】（8-2）·180°=6×180°=1080°．故答案为：1080°．


30．【答案】720°


【解析】该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6-2）×180°=720°．


故答案为：720°．


31．【答案】36


【解析】∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，


∴∠BAC=∠BCA=36°．故答案为：36°．帮—重点
1．多边形内角和定理；


2．多边形外角和定理
帮—难点
1．多边形内角和定理的推理过程


2．多边形外角和定理的推理过程
帮—易错
多边形外角和定理的应用