人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合优质教案

这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合优质教案，共14页。教案主要包含了三角形的内角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角等内容，欢迎下载使用。

11.2 与三角形有关的角





一、三角形的内角


1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于___________．


2．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有___________个锐角，最多有一个___________．


【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．


（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．


二、直角三角形的性质与判定


1．直角三角形的两个锐角___________．


2．有两个角互余的三角形是___________．


【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：


（1）见直角三角形，可得两锐角互余．


（2）见两角互余，可得直角三角形．


三、三角形的外角


1．定义：三角形的一边与另一边的___________组成的角，叫做三角形的外角．


2．三角形的外角等于___________的和．


3．三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角．


【拓展】


（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．


（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．








一、1． 2．两，钝角或直角 二、1．互余2．直角三角形


三、1．延长线2．与它不相邻的两个内角3．大于








1．三角形内角和定理


1．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．


2．应用


（1）在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．


（2）在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数．


（3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数．


例 1


如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C的度数是





A．80°B．70°C．60°D．50°


【答案】C


【解析】∵AB∥CD，∴∠D=∠A=20°，∵∠COD=100°，∴∠C=180°-∠D-∠COD=60°，故选C．


【名师点睛】


（1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考．


（2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．


2．直角三角形的性质与判定


1．性质：直角三角形的两个锐角互余．


在中，，则．


2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．


在中，，则为直角三角形，且．


3．符号表示：直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形可以写成．


例 2


如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是





A．∠A=∠2B．∠1和∠B都是∠A的余角


C．∠1=∠2D．图中有3个直角三角形


【答案】C


【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠1=∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，


∵∠1+∠A=∠A+∠B=90°，∴∠1和∠B都是∠A的余角，直角有∠ACB、∠ADC、∠BDC共3个，


∠1与∠2只有△ABC是等腰直角三角形时相等，综上所述，错误的结论是∠1=∠2．故选C．


【名师点睛】三角形中若有两个角互余，即它们的和为，则另一个角一定为角，是直角，从而可确定这个三角形为直角三角形．


3．三角形的外角及其性质


1．三角形的外角


三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．


2．三角形外角的性质


（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．


（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．


例 3


如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=78°，则∠2=





A．78°B．80°C．50°D．60°


【答案】A


【解析】∵∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，


又∵∠B=∠1，∴∠2=∠BAC，∵∠BAC=78°，∴∠2=78°．故选A．


【名师点睛】


（1）三角形外角的特点：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形内角的一边；③另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线．


（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，通常只取其中一个，因此，我们常说三角形有三个外角．因为三角形的每个外角同与它相邻的内角是邻补角，所以由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是．


（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，因而证明角不相等时，应设法把求证中的大角放在三角形外角的位置上，把小角放在内角的位置上．


（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：①已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个；②可证一个角等于另两个角的和；③经常利用它证明两个角相等．








1．关于三角形内角的叙述错误的是


A．三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°


C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长


2．已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为


A．100°B．120°C．140°D．160°


3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是


A．150°B．135°C．120°D．100°


4．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是


A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形


5．如图，已知a∥b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是





A．120°B．130°C．140°D．150°


6．将一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为





A．145°B．135°C．120°D．115°


7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为__________．


8．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．





9．已知：如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________．





10．如图，在△ABC中，∠A=55°，∠ABD=32°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．














11．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别是、，检验工人量得，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？

















12．已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，则这个三角形各内角的度数分别为


A．60°，90°，75°B．48°，72°，60°


C．48°，32°，38°D．40°，50°，90°


13．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于





A．25°B．30°C．35°D．40°


14．如图，AB∥CD，图中∠α，∠β，∠γ三角之间的关系是





A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α-∠β+∠γ=180°


C．∠α+∠β-∠γ=180°D．∠α+∠β+∠γ=360°


15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=


___________．





16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．





17．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，则∠C的度数是___________．





18．如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE=58°，则∠A=__________°．





19．如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．











20．已知：如图所示，AB∥CD，DE与BF相交于点E，试探究∠3与∠1，∠2之间有何等量关系？并加以证明．














21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．


（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；


（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．











22．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与


∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：


（1）求∠A1的度数；


（2）∠An的度数．














23．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则


A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°


C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°


24．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为





A．35°B．40°C．45°D．50°


25．（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是





A．45°B．60°C．75°D．85°





1．【答案】B


【解析】A正确，根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和是180°；C正确，三角形中至少有一个角不小于60°，否则三角形内角之和将小于180°；D正确，一个三角形中最大的角所对的边最长，不符合题意；B错误，三角形两个内角的和可能小于60°，如三角形的三个内角可以依次为20°，20°，140°，故B错误，故选B．


2．【答案】B


【解析】∵∠A=2（∠B+∠C），∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=2（180°-∠A），解得∠A=120°，故选B．


3．【答案】B


【解析】设这个内角为α，则与其相邻的外角为3α，由题意α+3α=180°，解得α=45°，3α=3×45°=135°．故选B．


4．【答案】C


【解析】依题意得∠A-∠B=∠C，即∠A=∠B+∠C，


又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴三角形为直角三角形，故选C．


5．【答案】D


【解析】如图，延长的边与直线相交，





∵，∴，


由三角形的外角性质可得，，故选D．


6．【答案】B


【解析】如图，





由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=135°．故选B．


7．【答案】70°或20°


【解析】如图①，∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°–40°）÷2=70°；如图②：∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAC=50°+90°=140°，


∴∠ABC=∠C=（180°–140°）÷2=20°，故答案为：70°或20°．





8．【答案】66.5°


【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，


∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF．又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），


∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=．


∴∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°．故答案为：66.5°．


9．【答案】360


【解析】如图，





根据三角形中内角和为180°，


∠HGT=180°-（∠1+∠2），∠GHT=180°-（∠5+∠6），∠GTH=180°-（∠3+∠4），


∴∠HGT+∠GHT+∠GTH=540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），


∵∠HGT+∠GHT+∠GTH=180°，∴180°=540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），


∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，故答案为：360．


10．【解析】在△ABC中，∵∠A=55°，∠ACB=70°，


∴∠ABC=55°，


∵∠ABD=32°，


∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=23°，


∵CE平分∠ACB，


∴∠BCE=∠ACB=35°，


∴在△BCE中，∠DEC=∠CBD+∠BCE=58°．


11．【解析】如图，延长交于点．





因为是的一个外角，∴．


因为是的一个外角，所以．


所以．


所以可以判定这个零件不合格．


12．【答案】B


【解析】设第一个内角的度数为x，∵三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，∴另一个内角的度数为x，第三个内角为x，


∴x+x+x=180°，解得x=48°，∴三个内角分别为48°，72°，60°，故选B．


13．【答案】D


【解析】∵在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=180°–100°–20°=60°，∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D=∠B=60°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D–∠A=60°–20°=40°．故选D．


14．【答案】C


【解析】如图，延长AE交直线CD于F，





∵AB∥CD，∴，


∵∠AFD=∠β−∠γ，∴，故选C．


15．【答案】120°


【解析】∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°–42°–60°=78°．


又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，∴∠FBC=∠ABC=21°，∠FCB=∠ACB=39°．


又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，∴∠BFC=180°–21°–39°=120°．故答案为：120°．


16．【答案】50°


【解析】∵∠1+∠2=100°，∴∠ADF+∠AEF=360°−100°=260°，∴∠ADE+∠AED=130°，∴∠A=180°−


130°=50°．


17．【答案】34°


【解析】∵AD是高，∠B=70°，∴∠BAD=90°–70°=20°．∵∠DAE=18°，∴∠BAE=20°+18°=38°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×38°=76°，∴∠C=180–70°–76°=34°．故答案为：34°．


18．【答案】58


【解析】∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠DBE，


∵AC⊥BC，DE⊥BE，∴∠A+∠ABC=90°，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠A=∠BDE=58°．故答案为：58．


19．【解析】∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，


又∵，∠BED=70°，


∴．


∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．


又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．


20．【解析】如图，连接BD．





∵∠3是△BDE的外角，∴∠3=∠DBE+∠BDE，


又∵AB∥CD，


∴∠ABD+∠BDC=180°，


∴∠3=（∠1-∠ABD）+（∠2-∠BDC）=∠1+∠2-（∠ABD+∠BDC）=∠1+∠2-180°．


21．【解析】（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．


（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，即2∠BCD=180°–∠ABC，


∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．


22．【解析】（1）∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，


∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，


又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，


∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，


∴∠A1=∠A，


∵∠A=θ，


∴∠A1=．


（2）同理可得∠A2=∠A1=·=，


所以∠An=．


23．【答案】D


【解析】如图，





∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，


故选D．


24．【答案】C


【解析】∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，


∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=17.5°，∠AFB=∠EFB=90°，∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，


∴AB=BE，∴AF=EF，∴AD=ED，


∴∠DAF=∠DEF，


∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故选C．


25．【答案】C


【解析】如图，





∵∠ACD=90°，∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．帮—重点
1．三角形内角和定理


2．三角形外角及其性质
帮—难点
三角形外角及其性质
帮—易错
三角形外角及其性质