初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形优质教案

这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形优质教案，共11页。教案主要包含了全等形的概念，全等三角形的概念和表示方法，全等三角形的性质等内容，欢迎下载使用。

12.1 全等三角形





一、全等形的概念


定义：能够完全__________的两个图形叫做全等形．


【提示】1．全等形的形状相同，大小相等．


2．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．


3．判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．


二、全等三角形的概念和表示方法


1．全等三角形的概念：


能够完全重合的两个三角形叫做__________．


2．全等三角形的对应元素：


①对应顶点：全等三角形中，能够重合的__________；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．


3．全等三角形的表示方法：


“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在__________的位置上．


三、全等三角形的性质


全等三角形的对应边__________，全等三角形的对应角__________．


数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．


【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，


对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．


但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．


【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：


1．图形特征法：


最长边对最长边，最短边对最短边；


最大角对最大角，最小角对最小角．


2．位置关系法：


①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．


②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．


3．字母顺序法：


根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．








一、1．重合 二、1．全等三角形2．顶点3．对应 三、相等，相等








1．全等形的概念


（1）形状相同的两个图形不一定是全等形，大小相等的两个图形也不一定是全等形，只有形状和大小都相同的图形才是全等形．


（2）方法技巧：


判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．


例 1


下列图形是全等图形的是


A．B．


C．D．


【答案】B


【解析】A、两个图形相似，错误；


B、两个图形全等，正确；


C、两个图形相似，错误；


D、两个图形不全等，错误；


故选B．


2．全等三角形的概念和表示方法


1．全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重台，与它们的位置没有关系．


2．表示全等三角形时，表示对应顶点的字母必须写在对应位置上．


例 2


若△ABC≌△DEF，则下列说法不正确的是


A．和是对应角B．AB和DE是对应边


C．点C和点F是对应顶点D．和是对应角


【答案】A


【解析】∵△ABC≌△DEF，


∴AB和DE是对应边，点C和点F是对应顶点，∠B和∠E是对应角，∠A和∠B是相邻的角，不是对应角，∴说法不正确的是A．故选A．


【名师点睛】本题考查全等三角形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应边和对应角是解题关键．


3．全等三角形的性质


（1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等．


（2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．


例 3


如图，若△ABC≌△EFC，且CF=3 cm，∠EFC=64°，则BC=__________cm，∠B=__________．





【答案】3；64°


【解析】∵△ABC≌△EFC，∴BC=CF=3 cm，∠B=∠EFC=64°．故答案为：3；64°．


例 4


如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB=6 cm，AC=4 cm，BC=5 cm，则AD的长为多少．





【解析】∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，


∴AD=BC=5 cm．


【名师点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，根据已知条件正确确定对应边是解题的关键．








1．下列图形中，和所给图形全等的图形是





A．B．C．D．


2．下列说法中：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④周长相等的两个三角形全等；⑤全等三角形的面积相等；⑥面积相等的两个三角形全等，正确的


A．①②③④⑤B．③④⑤⑥


C．①②③⑤D．①②③④⑤⑥


3．如图，ΔABC≌ΔCDA，∠BAC=∠DCA，则BC的对应边是





A．CDB．CAC．DAD．AB


4．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是





A．B．C．D．


5．如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠EAD=





A．30°B．70°C．40°D．110°


6．如图，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________．





7．如图，△ABE≌△ACD，AE=5 cm，∠A=60°，∠B=30°，则∠ADC=__________°，AD=__________cm．





8．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15 cm，HN=6 cm，EF=4 cm，FH=1 cm，则HG=__________．





9．已知△ABC≌△DFE，∠A=100°，∠B=50°，DF=12 cm，求∠E的度数及AB的长．








10．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．


（1）求∠EBG的度数．


（2）求CE的长．

















11．如图，已知△ABC≌△CDE，下列结论中不正确的是





A．AC=CEB．∠BAC=∠ECD


C．∠ACB=∠ECDD．∠B=∠D


12．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是





A．POB．PQC．MOD．MQ


13．已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=8，则△DEF的周长是__________．


14．如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=24°，那么∠D=__________°．





15．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．


























16．如图，ΔABC≌ΔDEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3 cm，求∠DFE的度数和EC的长．


























17．如图所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分别交于点D、M．证明：CE⊥BF．




















18．（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=





A．∠BB．∠AC．∠EMFD．∠AFB





1．【答案】D


【解析】根据全等图形的定义只需找出与原图形大小相等，形状相同的图形即可，A、B、C选项均不符合题意，只有D符合题意，D中的图形相对于原图形顺时针作了180°的旋转变换．故选D．


2．【答案】C


【解析】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等，因此①②③⑤是正确的；


但是周长相等的两个三角形却不一定全等，比如边长分别为3、4、5的直角三角形和边长为4的等边三角形虽然周长相等，但是却不全等．同样，底为4高为3的三角形，与底为3高为4的三角形，它们面积虽然相等，但是却不全等．因此④⑥是错误的，


故选C．


3．【答案】C


【解析】∵ΔABC≌ΔCDA，∠BAC=∠DCA，∴BC的对应边为DA，故选C．


4．【答案】D


【解析】∵△ACB≌△A′CB′，


∴∠ACB=∠A′CB′，


∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，


即∠ACA′=∠BCB′，


∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，


∴∠ACA′=（110°-30°）=40°．


​故选D．


5．【答案】D


【解析】∵△ABC≌△AED，∴∠C=40°，∠B=30°，∴∠EAD=∠BAC=180°-∠B-∠C=110°，故选D．


6．【答案】∠OBA；OA=OC，OB=OD，AB=CD


【解析】∵△AOB≌△COD，∴∠D=∠OBA，OA=OC，OB=OD，AB=CD．故答案为：∠OBA；OA=OC，OB=OD，AB=CD．


7．【答案】90；5


【解析】在三角形ABE中，∠A=60°，∠B=30°，所以，∠AEB=180-∠A-∠B=90°．


因为，△ABE≌△ACD，


所以AD=AE=5 cm，∠ADC=∠AEB=90°．


故答案为：90；5．


8．【答案】4 cm


【解析】∵△EFG≌△NMH，


∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15 cm，


∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1 cm，


∵△EFG的周长为15 cm，


∴HM=15-6-4=5 cm，


∴HG=5-1=4 cm．


故答案为：4 cm．


9．【解析】∵△ABC≌△DFE，


∴∠D=∠A=100°，∠F=∠B=50°，DF=AB，


∴∠E=180°-100°-50°=30°，


∵DF=12 cm，


∴AB=12 cm．


10．【解析】（1）∵△ABE≌△ACD，∴∠EBA=∠C=42°，


∴∠EBG=180°-42°=138°．


（2）∵△ABE≌△ACD，∴AC=AB=9，AE=AD=6，


∴CE=AC-AE=9-6=3．


11．【答案】C


【解析】由全等三角形的性质可知A、B、D均正确，而∠ACB=∠CED，故C错误．


故选C．


12．【答案】B


【解析】∵△PQO≌△NMO，∴，则只需测出PQ的长即可求出M、N之间的距离．故选B．


13．【答案】19


【解析】∵AB=5，BC=6，AC=8，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+6+8=19．


∵△ABC≌△DEF，


∴△DEF的周长等于△ABC的周长，∴△DEF的周长是19．故答案为：19．


14．【答案】96


【解析】由△ABC≌△ADC可知∠DAC=∠BAC=60°，则∠D=180°-∠DAC-∠ACD=180°-60°-24°=96°，


故答案为：96°．


15．【解析】∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，


∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，


∴∠BAE与∠CAD是对应角，AB与AC，BE与CD，AD与AE是对应边．


16．【解析】△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，


∴∠BCA=180°-∠A-∠B=180°-25°-65°=90°，


∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA=∠DFE，BC=EF，


∴EC=BF=3 cm，∴∠DFE=90°，EC=3 cm．


17．【解析】∵AE⊥AB，


∴∠BAE=90°，


∵△ACE≌△AFB，


∴∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，


∴∠CBA+∠BAE=∠BAC+∠CAF，


∴∠CAF=∠BAE=90°，


而∠ACE=∠F，


∴∠FMC=∠CAF=90°，


∴CE⊥BF．


18．【答案】A


【解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．帮—重点
全等形的概念和全等三角形的表示方法
帮—难点
全等三角形的性质
帮—易错
全等三角形的性质