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数学八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定优秀知识点教学设计
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这是一份数学八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定优秀知识点教学设计，共24页。教案主要包含了判定两个三角形全等的基本事实，直角三角形全等的判定方法等内容，欢迎下载使用。
12.2三角形全等的判定
一、判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）
1．基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．
2．这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
二、判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）
1．基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．
2．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】1．此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
2．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
三、判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）
1．基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．
2．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
四、判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）
1．基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．
2．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
五、直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）
1．基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．
2．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
一、1．边边边二、1．SAS三、1．ASA四、1．AAS五、1．HL
1．用边边边（SSS）证明三角形全等
明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．
例 1
如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，依据“SSS”还需要添加一个条件是
A．AD=CDB．AD=CFC．BC∥EFD．DC=CF
【答案】B
【解析】∵AD=FC，∴AD+DC=CF+DC，∴AC=DF，
在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△DEF，故选B．
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，证得AC=DF是解题的关键．
2．用边角边（SAS）证明三角形全等
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
例2
如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．
【解析】∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=EC．
【名师点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解本题的关键．
3．用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等
（1）不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．
（2）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
例3
如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是
A．SSSB．SASC．SAAD．ASA
【答案】D
【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故选D．
例 4
如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD的度数．
【解析】∵AB∥DE，∴∠B=∠E，
∵BF=EC，∴BF-CF=EC-CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS），∴∠1=∠EFD，
又∵∠1=80°，∴∠EFD=80°，
又∵∠EFD+∠BFD=180°，
∴∠BFD=100°．
4．用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等
（1）当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．
（2）在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．
例 5
如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是
A．∠BAC=∠BADB．AC=AD或BC=BD
C．AC=AD且BC=BDD．以上都不对
【答案】B
【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．
【名师点睛】此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
5．全等三角形的判定和性质的综合
寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．
例 6
如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为
A．50°B．30°C．80°D．100°
【答案】B
【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．
例 7
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1=∠2，则下列结论正确的个数为
①B=∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四组三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1=∠2，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°，
在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（ASA），∴∠B=∠C．
同理，根据全等三角形的判定：由，得△ABO≌△ACO（AAS）；
由，得Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；由，得△ADC≌△AEB（AAS）．所以，共有4对全等三角形．故选D．
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了角平分线定理．
1．如图，PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，且PB=PC，则△APB≌△APC的理由是
A．SASB．ASAC．HLD．AAS
2．如图，若∠ABC=∠DCB，当添加下列条件时，仍不能判断△ABC≌△DCB的是
A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
3．如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，是
A．以点为圆心，为半径的弧B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧D．以点为圆心，为半径的弧
4．下列条件中能作出唯一三角形的是
A．AB=4 cm，BC=3 cm，AC=5 cmB．AB=2 cm，BC=6 cm，AC=4 cm
C．∠A=∠B=∠C=60°D．∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
5．如图，小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC=AB，则AO、BO、CO、DO应满足下列的条件是
A．AO=COB．AO=CO且BO=DO
C．AC=BDD．BO=DO
6．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出
A．2个B．4个C．6个D．8个
7．如图，D为△ABC内一点，且AD=BD，若∠ACD=∠DAB=45°，AC=5，则S△ABC=__________．
8．如图，中，，，点D为AB的中点，点P在线段BC上以的速度由点B向点C移动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A移动，若点Q的移动速度与点P的移动速度相同，则经过__________秒后，≌．
9．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上，试说明：△CDA≌
△CEB．
10．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图所示四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证：OE=OF．
11．如图，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求证：∠DAB=∠EAC．
12．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
13．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．
（1）求证：ΔABC≌ΔDEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．
14．如图，D､E､F分别为△ABC边AC､AB､BC上的点，∠A=∠1=∠C，DE=DF．下面的结论一定成立的是
A．AE=FCB．AE=DEC．AE+FC=ACD．AD+FC=AB
15．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
16．如图，在四边形中，，，，，则图中的全等三角形有
A．2对B．3对C．4对D．5对
17．如图，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAD=50°，BD=EC，则∠C=
A．B．C．D．
18．如图，在△ABC中，AC=3，中线AD=5，则边AB的取值范围是__________．
19．如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的A点，然后姿态不变原地转了一个角度，正好看见了他所在的岸上的一块石头B点，他发现看到B点和A点的视角相等，并测量BC=30 m，则河宽为___________．
20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为D．将△ADC绕点D逆时针旋转90°后，点A落在BD上点A1处，点C落在DA延长线上点C1处，A1C1与AB交于点E．求证：△A1BE≌△AC1E．
21．（2019•安顺）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是
A．∠A=∠DB．AC=DFC．AB=EDD．BF=EC
22．（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是__________（只填一个即可）．
23．（2019•邵阳）如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_________．（不添加任何字母和辅助线）
24．（2019•陕西）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD，求证：CF=DE．
25．（2019•大连）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．
26．（2019•云南）如图，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．
27．（2019•山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．
28．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C=∠BAD；
（2）求证：AC=EF．
29．（2019•益阳）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．
30．（2019•孝感）如图，已知∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AC=BD，求证：AE=BE．
31．（2019•宜昌）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数．
32．（2019•兰州）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．
33．（2019•淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠E=∠C．
34．（2019•乐山）如图，线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：∠B=∠C．
1．【答案】C
【解析】∵Rt△APB和Rt△APC中，，∴Rt△APB≌Rt△APC（HL）．故选C．
2．【答案】D
【解析】A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．
3．【答案】D
【解析】根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选D．
4．【答案】A
【解析】A．符合全等三角形的SSS，能作出唯一三角形，故该选项符合题意，
B．AB+AC=BC，不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；故该选项不符合题意，
C．属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
D．属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
故选A．
5．【答案】B
【解析】如图，连接CD．
AO=CO且BO=DO，（对顶角相等），所以，则DC=AB．故选B．
6．【答案】B
【解析】如图，可以作4个，分别是以D为圆心，AB为半径，作圆，以E为圆心，AC为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．然后以D为圆心，AC为半径，作圆，以E为圆心，AB为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．故选B．
7．【答案】
【解析】如图，过D作FD⊥CD交AC于F，连接BF．
∵∠ACD=45°，∴∠CFD=45°，∴FD=CD．
∵∠CDF=∠ADB=90°，∴∠CDA=∠FDB．
在△ADC和△BDF中，∵CD=DF，∠CDA=∠FDB，AD=DB，
∴△ADC≌△BDF，∴∠ACD=∠BFD=45°，AC=BF．
∵∠CFD=45°，∴∠BFC=90°，∴BF⊥AC，∴S△ABC=AC•BF=×5×5=．故答案为：．
8．【答案】1
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，
∵AB=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点，
∴BD=×10=5 cm，PC=（8-3t）cm，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD=PC，BP=CQ，
∴5=8-3t且3t=3t，
解得t=1，
故答案为：1．
9．【解析】∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，，
∴△CDA≌△CEB．
10．【解析】∵在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
11．【解析】在△ADC和△AEB中，，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠DAC=∠EAB，
∴∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC，即∠DAB=∠EAC．
12．【解析】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE，AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
13．【解析】（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF，
∴AC=DF．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB，
∵∠A=55°，∠B=88°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（55°+88°）=37°，
∴∠F=∠ACB=37°．
14．【答案】C
【解析】∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠1+∠CDF=180°，∠A=∠1，
∴∠AED+∠ADE=∠ADE+∠CDF，∴∠AED=∠CDF，
又∵∠A=∠C，DE=DF，
∴△ADE≌△CFD，∴AE=CD，AD=CF，
又∵AD+CD=AC，∴AE+FC=AC，
∴上述四个结论中，正确的是C中的结论，其余三个结论都是错误的，故选C．
15．【答案】C
【解析】已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段．
故选C．
16．【答案】C
【解析】在△AOB和△COD中，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，
同理可证△AOD≌△COB，在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB，
同理可证△ABC≌△DCA，故选C．
17．【答案】C
【解析】∵∠ADB=∠AEC=100°，∴∠ADE=∠AED=80°，∴AD=AE，
∵∠BAD=50°，∴∠B=180°-100°-50°=30°，
在△ADB与△AEC中，，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
故选C．
18．【答案】7
【解析】如图，延长AD到E，使得DE=AD=5，连接EC．
∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=DC，∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB，∴，即，．
故答案为：．
19．【答案】30 m
【解析】由题意得：在和中，，∴，
∴，故答案为：30 m．
20．【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD，
∵△A1DC1是由△ADC旋转而得，
∴A1D=AD，C1D=CD，∠C1=∠C，
∴∠B=∠C1，BD=C1D，
∴BD－A1D=C1D－AD，即BA1=C1A．
在△A1BE和△AC1E中，，
∴△A1BE≌△AC1E（AAS）．
21．【答案】A
【解析】选项A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选A．
22．【答案】AB=DE
【解析】添加AB=DE；
∵BF=CE，∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，
故答案为：AB=DE．
23．【答案】AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD
【解析】∵∠A=∠A，AD=AE，
∴可以添加AB=AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS，
故答案为：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD．
24．【解析】∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，
∵AC∥BD，∴∠CAF=∠DBE，
在△ACF和△BDE中，
，
∴△ACF≌△BDE，
∴CF=DE．
25．【解析】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE，
∴AF=DE．
26．【解析】在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠D．
27．【解析】∵AD=BE，
∴AD-BD=BE-BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDF中，，
∴△ABC≌△EDF，
∴BC=DF．
28．【解析】（1）∵AB=AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD．
（2）∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠FAE，且∠AEF=∠BAC=90°，AB=AE，
∴△ABC≌△EAF，
∴AC=EF．
29．【解析】由∠ECB=70°得∠ACB=110°，
又∵∠D=110°，
∴∠ACB=∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB=∠E，
∴在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD．
30．【解析】∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AE=BE．
31．【解析】（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
在△ABE和△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE．
（2）∵∠A=100°，∠C=50°，
∴∠ABC=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE∠ABC=15°，
在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°．
32．【解析】∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
33．【解析】∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠CAB=∠EAD，且AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠E．
34．【解析】在△AEB和△DEC中，，
∴△AEB≌△DEC，
∴∠B=∠C．帮—重点
三角形全等的判定
帮—难点
三角形全等的判定和性质的综合运用
帮—易错
三角形全等的判定
12.2三角形全等的判定
一、判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）
1．基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．
2．这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
二、判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）
1．基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．
2．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】1．此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
2．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
三、判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）
1．基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．
2．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
四、判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）
1．基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．
2．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
五、直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）
1．基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．
2．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
一、1．边边边二、1．SAS三、1．ASA四、1．AAS五、1．HL
1．用边边边（SSS）证明三角形全等
明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．
例 1
如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，依据“SSS”还需要添加一个条件是
A．AD=CDB．AD=CFC．BC∥EFD．DC=CF
【答案】B
【解析】∵AD=FC，∴AD+DC=CF+DC，∴AC=DF，
在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△DEF，故选B．
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，证得AC=DF是解题的关键．
2．用边角边（SAS）证明三角形全等
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
例2
如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．
【解析】∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=EC．
【名师点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解本题的关键．
3．用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等
（1）不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．
（2）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
例3
如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是
A．SSSB．SASC．SAAD．ASA
【答案】D
【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．
故选D．
例 4
如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD的度数．
【解析】∵AB∥DE，∴∠B=∠E，
∵BF=EC，∴BF-CF=EC-CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS），∴∠1=∠EFD，
又∵∠1=80°，∴∠EFD=80°，
又∵∠EFD+∠BFD=180°，
∴∠BFD=100°．
4．用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等
（1）当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．
（2）在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．
例 5
如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是
A．∠BAC=∠BADB．AC=AD或BC=BD
C．AC=AD且BC=BDD．以上都不对
【答案】B
【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．
【名师点睛】此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
5．全等三角形的判定和性质的综合
寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．
例 6
如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为
A．50°B．30°C．80°D．100°
【答案】B
【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．
例 7
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1=∠2，则下列结论正确的个数为
①B=∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四组三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1=∠2，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°，
在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（ASA），∴∠B=∠C．
同理，根据全等三角形的判定：由，得△ABO≌△ACO（AAS）；
由，得Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；由，得△ADC≌△AEB（AAS）．所以，共有4对全等三角形．故选D．
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了角平分线定理．
1．如图，PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，且PB=PC，则△APB≌△APC的理由是
A．SASB．ASAC．HLD．AAS
2．如图，若∠ABC=∠DCB，当添加下列条件时，仍不能判断△ABC≌△DCB的是
A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
3．如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，是
A．以点为圆心，为半径的弧B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧D．以点为圆心，为半径的弧
4．下列条件中能作出唯一三角形的是
A．AB=4 cm，BC=3 cm，AC=5 cmB．AB=2 cm，BC=6 cm，AC=4 cm
C．∠A=∠B=∠C=60°D．∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
5．如图，小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC=AB，则AO、BO、CO、DO应满足下列的条件是
A．AO=COB．AO=CO且BO=DO
C．AC=BDD．BO=DO
6．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出
A．2个B．4个C．6个D．8个
7．如图，D为△ABC内一点，且AD=BD，若∠ACD=∠DAB=45°，AC=5，则S△ABC=__________．
8．如图，中，，，点D为AB的中点，点P在线段BC上以的速度由点B向点C移动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A移动，若点Q的移动速度与点P的移动速度相同，则经过__________秒后，≌．
9．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上，试说明：△CDA≌
△CEB．
10．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图所示四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证：OE=OF．
11．如图，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求证：∠DAB=∠EAC．
12．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
13．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．
（1）求证：ΔABC≌ΔDEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．
14．如图，D､E､F分别为△ABC边AC､AB､BC上的点，∠A=∠1=∠C，DE=DF．下面的结论一定成立的是
A．AE=FCB．AE=DEC．AE+FC=ACD．AD+FC=AB
15．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
16．如图，在四边形中，，，，，则图中的全等三角形有
A．2对B．3对C．4对D．5对
17．如图，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAD=50°，BD=EC，则∠C=
A．B．C．D．
18．如图，在△ABC中，AC=3，中线AD=5，则边AB的取值范围是__________．
19．如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的A点，然后姿态不变原地转了一个角度，正好看见了他所在的岸上的一块石头B点，他发现看到B点和A点的视角相等，并测量BC=30 m，则河宽为___________．
20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为D．将△ADC绕点D逆时针旋转90°后，点A落在BD上点A1处，点C落在DA延长线上点C1处，A1C1与AB交于点E．求证：△A1BE≌△AC1E．
21．（2019•安顺）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是
A．∠A=∠DB．AC=DFC．AB=EDD．BF=EC
22．（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是__________（只填一个即可）．
23．（2019•邵阳）如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_________．（不添加任何字母和辅助线）
24．（2019•陕西）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD，求证：CF=DE．
25．（2019•大连）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．
26．（2019•云南）如图，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．
27．（2019•山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．
28．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C=∠BAD；
（2）求证：AC=EF．
29．（2019•益阳）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．
30．（2019•孝感）如图，已知∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AC=BD，求证：AE=BE．
31．（2019•宜昌）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数．
32．（2019•兰州）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．
33．（2019•淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠E=∠C．
34．（2019•乐山）如图，线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：∠B=∠C．
1．【答案】C
【解析】∵Rt△APB和Rt△APC中，，∴Rt△APB≌Rt△APC（HL）．故选C．
2．【答案】D
【解析】A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．
3．【答案】D
【解析】根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选D．
4．【答案】A
【解析】A．符合全等三角形的SSS，能作出唯一三角形，故该选项符合题意，
B．AB+AC=BC，不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；故该选项不符合题意，
C．属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
D．属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
故选A．
5．【答案】B
【解析】如图，连接CD．
AO=CO且BO=DO，（对顶角相等），所以，则DC=AB．故选B．
6．【答案】B
【解析】如图，可以作4个，分别是以D为圆心，AB为半径，作圆，以E为圆心，AC为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．然后以D为圆心，AC为半径，作圆，以E为圆心，AB为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．故选B．
7．【答案】
【解析】如图，过D作FD⊥CD交AC于F，连接BF．
∵∠ACD=45°，∴∠CFD=45°，∴FD=CD．
∵∠CDF=∠ADB=90°，∴∠CDA=∠FDB．
在△ADC和△BDF中，∵CD=DF，∠CDA=∠FDB，AD=DB，
∴△ADC≌△BDF，∴∠ACD=∠BFD=45°，AC=BF．
∵∠CFD=45°，∴∠BFC=90°，∴BF⊥AC，∴S△ABC=AC•BF=×5×5=．故答案为：．
8．【答案】1
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，
∵AB=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点，
∴BD=×10=5 cm，PC=（8-3t）cm，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD=PC，BP=CQ，
∴5=8-3t且3t=3t，
解得t=1，
故答案为：1．
9．【解析】∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，，
∴△CDA≌△CEB．
10．【解析】∵在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
11．【解析】在△ADC和△AEB中，，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠DAC=∠EAB，
∴∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC，即∠DAB=∠EAC．
12．【解析】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE，AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
13．【解析】（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF，
∴AC=DF．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB，
∵∠A=55°，∠B=88°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（55°+88°）=37°，
∴∠F=∠ACB=37°．
14．【答案】C
【解析】∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠1+∠CDF=180°，∠A=∠1，
∴∠AED+∠ADE=∠ADE+∠CDF，∴∠AED=∠CDF，
又∵∠A=∠C，DE=DF，
∴△ADE≌△CFD，∴AE=CD，AD=CF，
又∵AD+CD=AC，∴AE+FC=AC，
∴上述四个结论中，正确的是C中的结论，其余三个结论都是错误的，故选C．
15．【答案】C
【解析】已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段．
故选C．
16．【答案】C
【解析】在△AOB和△COD中，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，
同理可证△AOD≌△COB，在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB，
同理可证△ABC≌△DCA，故选C．
17．【答案】C
【解析】∵∠ADB=∠AEC=100°，∴∠ADE=∠AED=80°，∴AD=AE，
∵∠BAD=50°，∴∠B=180°-100°-50°=30°，
在△ADB与△AEC中，，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
故选C．
18．【答案】7
【解析】如图，延长AD到E，使得DE=AD=5，连接EC．
∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=DC，∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB，∴，即，．
故答案为：．
19．【答案】30 m
【解析】由题意得：在和中，，∴，
∴，故答案为：30 m．
20．【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD，
∵△A1DC1是由△ADC旋转而得，
∴A1D=AD，C1D=CD，∠C1=∠C，
∴∠B=∠C1，BD=C1D，
∴BD－A1D=C1D－AD，即BA1=C1A．
在△A1BE和△AC1E中，，
∴△A1BE≌△AC1E（AAS）．
21．【答案】A
【解析】选项A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选A．
22．【答案】AB=DE
【解析】添加AB=DE；
∵BF=CE，∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，
故答案为：AB=DE．
23．【答案】AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD
【解析】∵∠A=∠A，AD=AE，
∴可以添加AB=AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS，
故答案为：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD．
24．【解析】∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，
∵AC∥BD，∴∠CAF=∠DBE，
在△ACF和△BDE中，
，
∴△ACF≌△BDE，
∴CF=DE．
25．【解析】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE，
∴AF=DE．
26．【解析】在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠D．
27．【解析】∵AD=BE，
∴AD-BD=BE-BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDF中，，
∴△ABC≌△EDF，
∴BC=DF．
28．【解析】（1）∵AB=AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD．
（2）∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠FAE，且∠AEF=∠BAC=90°，AB=AE，
∴△ABC≌△EAF，
∴AC=EF．
29．【解析】由∠ECB=70°得∠ACB=110°，
又∵∠D=110°，
∴∠ACB=∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB=∠E，
∴在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD．
30．【解析】∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AE=BE．
31．【解析】（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
在△ABE和△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE．
（2）∵∠A=100°，∠C=50°，
∴∠ABC=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE∠ABC=15°，
在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°．
32．【解析】∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
33．【解析】∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠CAB=∠EAD，且AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠E．
34．【解析】在△AEB和△DEC中，，
∴△AEB≌△DEC，
∴∠B=∠C．帮—重点
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