八年级上册14.3 因式分解综合与测试优秀教学设计

这是一份八年级上册14.3 因式分解综合与测试优秀教学设计，共13页。教案主要包含了因式分解，用提公因式法分解因式，用平方差公式分解因式，用完全平方公式分解因式等内容，欢迎下载使用。

14.3 因式分解





一、因式分解


定义：把一个多项式化成几个整式的__________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．


【注意】1．因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；


2．因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；


3．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；


4．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．


二、用提公因式法分解因式


1．公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的__________．


2．怎样确定公因式（五看）：


一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；


二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；


三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；


四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；


五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．


3．提公因式法的定义：


一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做__________．


4．提公因式法分解因式的一般步骤：


（1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；


（2）提公因式并确定另一个因式；


（3）把多项式写成这两个因式的积的形式．


【注意】1．多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．


2．提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．


3．若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．


三、用平方差公式分解因式


1．平方差公式的等号两边互换位置，得．


语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的__________的积．


2．特点：（1）等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；


（2）等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．


四、用完全平方公式分解因式


1．完全平方公式的等号两边互换位置，得，．


语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的__________的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．


2．特点：（1）等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．


（2）等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．


3．公式法的定义：


如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做__________．








一、积 二、1．公因式 3．提公因式法 三、1．差 四、1．积 3．公式法








1．提公因式法分解因式


（1）公因式必须是每一项中都含有的因式．


（2）公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式．


（3）要善于发现隐蔽的公因式，如（a-b）与（b-a）是一对相反数，但它们可以变形为相同的因式．


（4）提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式，即用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式．


例 1


若多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2，则另一个因式是


A．3y+4x-1B．3y-4x-1


C．3y-4x+1D．3y-4x


【答案】B


【解析】因为多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2，则另一个因式等于


（-12x2y3+16x3y2+4x2y2）÷（-4x2y2）=3y-4x-1，故选B．


例 2


利用提公因式法分解多项式可以得到


A．B．


C．D．


【答案】B


【解析】根据因式分解法—提公因式，可由公因式的确定方法：多项式的公因式是，所以提取公因式分解为．故选B．


2．用平方差公式分解因式


（1）只有符合平方差公式特点的二项式，才可以运用平方差公式分解因式．


（2）运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两个数的平方差的形式．


例 3


分解因式的结果是


A．（4x+y）（4x-y）B．4（x+y）（x-y）


C．（2x+y）（2x-y）D．2（x+y）（x-y）


【答案】C


【解析】4x2-y2=（2x）2-y2=（2x+y）（2x-y），故选C．


3．用完全平方公式分解因式


只有符合公式左边特点的三顶式，才可以运用完全平方公式分解因式．


例 4


下列各式中能用完全平方公式分解因式的是


A．B．


C．D．


【答案】C


【解析】A选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；B选项不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；C选项符合完全平方公式的特点；D选项不符合完全平方公式的特点，故本选项错误，故选C．


4．综合多种方法进行分解因式


如何选择分解因式的方法：


分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若式中有两项，则可考虑用平方差公式；若式中有三项，则可考虑用完全平方公式．


例 5


把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是


A．x（y2-9）B．x（y+3）2


C．x（y+3）（y-3）D．x（y+9）（y-9）


【答案】C


【解析】xy2-9x=x（y2-9）=x（y+3) （y-3）．故选C．


例 6


分解因式：__________．


【答案】


【解析】





．


故答案为：．








1．多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是


A．2abB．-6ab


C．-6a2bD．-6ab2


2．代数式x3–4x2+4x分解因式的结果为


A．x（x2–4x+4）B．x（x–2）2


C．x（x+2）2D．x（x+2）（x–2）


3．下列各多项式中，能用公式法分解因式的是


A．a2–b2+2abB．a2+b2+ab


C．25n2+15n+9D．4a2+12a+9


4．下列各式的因式分解中正确的是


A．-m2+mn-m=-m（m+n-1）B．9abc-6a2b2=3ab（3-2ab）


C．3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）D．ab2+a2b=ab（a+b）


5．计算（–2）100+（–2）101的结果是


A．2B．–2C．–2100D．2100


6．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是


A．等腰三角形B．直角三角形


C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形


7．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是__________．


8．若a–b=6，ab=7，则ab2–a2b的值为__________．


9．已知x2+y2+2x–4y+5=0，则x+y=__________．


10．把下列各式分解因式：


（1）；（2）；


（3）；（4）；


（5）；（6）；


（7）15；（8）6x（x+y）-4y（x+y）；


（9）；（10）．














11．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）．


（1）；


（2）．











12．讨论993-99能被100整除吗？























13．9（x–y）2+12（x2–y2）+4（x+y）2因式分解为


A．B．


C．D．


14．已知不论x为何值，x2–kx–15=（x+5）（x–3），则k值为


A．2B．–2C．5D．–3


15．简便计算：101×99=__________．


16．分解因式：=__________．


17．分解因式：x2（x-y）2-4（y-x）2．














18．若关于x的多项式3x2+mx+n分解因式的结果为（3x+2）（x-1），求m、n的值．

















19．分解因式：（m,n均为大于1的整数）．

















20．（2019•泸州）把分解因式，结果正确的是


A．B．


C．D．


21．（2019•贺州）把多项式分解因式，结果正确的是


A．B．


C．D．


22．（2019•株洲）下列各选项中因式分解正确的是


A．B．


C．D．


23．（2019•临沂）将进行因式分解，正确的是


A．B．


C．D．


24．（2019•徐州）若，则代数式的值为__________．


25．（2019•广西）因式分解：__________．


26．（2019•吉林）分解因式：__________．


27．（2019•长春）分解因式：__________．


28．（2019•沈阳）因式分解：-x2-4y2+4xy=__________．


29．（2019•咸宁）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是__________（写一个即可）．


30．（2019•常德）若，则的值为__________．


31．（2019•大庆）分解因式：__________．


32．（2019•宜宾）分解因式：__________．


33．（2019•河池）分解因式：．





1．【答案】B


【解析】多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y中，各项系数的最大公约数是-6，


各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，


所以它的公因式是-6ab．故选B．


2．【答案】B


【解析】x3–4x2+4x=x（x2–4x+4）=x（x–2）2，故选B．


3．【答案】D


【解析】A、原式不能利用公式分解；


B、原式不能利用公式分解；


C、原式不能利用公式分解；


D、原式=（2a+3）2，符合题意，


故选D．


4．【答案】D


【解析】选项A，原式=-m（m-n+1）；选项B，原式=3ab（3c-2ab）；选项C，原式=3x（a2-2b+1）；选项D，原式=ab（a+b）．故选D．


5．【答案】C


【解析】（–2）100+（–2）101=（–2）100+（–2）×（–2）100=（–2）100×（1–2）=–（–2）100=–2100，


故选C．


6．【答案】C


【解析】∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，


∴a3–b3–a2b+ab2–ac2+bc2=0，


∴（a3–a2b）+（ab2–b3）–（ac2–bc2）=0，


∴a2（a–b）+b2（a–b）–c2（a–b）=0，


∴（a–b）（a2+b2–c2）=0，


∴a–b=0或a2+b2–c2=0．


∴a=b或a2+b2=c2．


故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．


故选C．


7．【答案】98


【解析】∵x+y=10，xy=1，∴x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2-2xy]=1×（102-2×1）=98．故答案为：98．


8．【答案】–42


【解析】当a-b=6，ab=7时，ab2-a2b=ab（b-a）=7×（-6）=-42．


故答案为：-42．


9．【答案】1


【解析】∵x2+y2+2x–4y+5=（x+1）2+（y–2）2，


x2+y2+2x–4y+5=0，即（x+1）2+（y–2）2=0，


又∵（x+1）20，（y–2）20，


∴x=–1，y=2，


∴x+y=1．故答案为：1．


10．【解析】（1）原式=3xy（x-2）．


（2）原式=．


（3）原式=．


（4）原式．


（5）原式=．


（6）原式=．


（7）原式=．


（8）原式=2（x+y）（3x-2y）．


（9）原式=．


（10）原式=．


11．【解析】（1）原式=（201+199）×（201-199）


=400×2


=800．


（2）原式=1.99×（1.99+0.01）


=1.99×2


=3.98．


12．【解析】993-99


=99×992-99


=99×（992-1）


=99×9800


=99×98×100．


其中有一个因数为100，所以993-99能被100整除．


13．【答案】C


【解析】9（x－y）2+12（x2－y2）+4（x+y）2，


=[3（x－y）]2+12（x+y）（x－y）+[2（x+y）]2，


=[3（x+y）+2（x－y）]2，


=（5x－y）2．


故选C．


14．【答案】B


【解析】∵x2–kx–15=（x+5）（x–3）=x2+2x–15，∴k=–2．故选B．


15．【答案】9999


【解析】101×99=（100+1）×99=9900+99=9999．


16．【答案】


【解析】提取公因式分解因式即可，即原式=．故答案为：．


17．【解析】x2（x-y）2-4（y-x）2


=x2（x-y）2-4（x-y）2


=（x-y）2（x2-4）


=（x-y）2（x+2）（x-2）．


18．【解析】由题意可得：（3x+2）（x-1）=3x2+2x-3x-2=3x2-x-2=3x2+mx+n，


所以m=-1，n=-2．


19．【解析】．


20．【答案】C


【解析】==，


故选C．


21．【答案】B


【解析】，故选B．


22．【答案】D


【解析】A．，故此选项错误；


B．，故此选项错误；


C．，故此选项错误；


D．，正确．


故选D．


23．【答案】C


【解析】，故选C．


24．【答案】4


【解析】∵，


∴，


∴，


故答案为：．


25．【答案】


【解析】．


故答案为：．


26．【答案】（a+1）（a–1）


【解析】（a+1）（a–1）．


故答案为：（a+1）（a–1）．


27．【答案】


【解析】．


故答案为：．


28．【答案】-（x-2y）2


【解析】-x2-4y2+4xy


=-（x2+4y2-4xy）


=-（x-2y）2．


29．【答案】–1


【解析】令，整式为


故答案为：（答案不唯一）．


30．【答案】4


【解析】∵，


∴；


故答案为：4．


31．【答案】


【解析】，


故答案为：（ab–1）（a+b）．


32．【答案】


【解析】原式．


故答案为：．


33．【解析】原式





．帮—重点
用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式
帮—难点
综合运用多种方法进行分解因式
帮—易错
分解因式时用错公式