【精品】人教版 七年级上册数学 专题01 有理数章末重难点题型（举一反三）（原卷版）

专题01  有理数章末重难点题型（举一反三）

【考点1  科学记数法及近似数】

【方法点拨】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，解决此类问题只需确定a与n的值，其中1≤|a|

＜10，n为整数位数减1，如若数带单位可先将其还原；（2）一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说

这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位，但有一个易错点需注意，如2.019×105很多同学错误的认为

这个数是精确到千分位，解决此类问题需将这个数还原成整数201900，这时能确定这个9应在百位上，因

此这个数精确到百位.

【例1】（•浉河区校级期中）年河南省全年生产总值48055.86亿元，数据“48055.86亿”用科学记数法表示为（　　）

A．4.805586×104 B．0.4805586×105 

C．4.805586×1012 D．4.805586×1013

【变式1-1】（秋•沭阳县期末）某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（　　）

A．它精确到百位 B．它精确到0.01 

C．它精确到千分位 D．它精确到千位

【变式1-2】（•凉州区校级期中）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，我省2017年一季度清理垃圾约1.16×107方，数字1.16×107表示（　　）

A．1.16亿 B．116万 C．1160万 D．11.6亿

【变式1-3】近似数3.5的准确值a的取值范围是（　　）

A．3.45≤a≤3.55 B．3.4＜a＜3.6 

C．3.45≤a＜3.55 D．3.45＜a≤3.55

【考点2  表示相反意义的量】

【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.

【例2】（秋•襄州区期中）一箱苹果的重量标识为“10±0.25”千克，则下列每箱苹果重量中合格的是（　　）

A．9.70千克 B．10.30千克 C．9.60千克 D．10.21千克

【变式2-1】（秋•睢宁县期中）某粮店出售4种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（20±0.1）kg、（20±0.2）kg、（20±0.3）kg、（20±0.4）kg，这种合格面粉最多相差（　　）

A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg D．0.8kg

【变式2-2】（秋•慈溪市期中）213路公交车从起点开始经过A，B，C，D四站到达终点，各站上下车人数如下（上车为正，下车为负）例如（7，﹣4）表示该站上车7人，下车4人．现在起点站有15人，A （4，﹣8），B（6，﹣5），C（7，﹣3），D（1，﹣4）．车上乘客最多时有（　　）名．

A．13 B．14 C．15 D．16

【变式2-3】（秋•封开县期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）

A．﹣3.5 B．+2.5  C．﹣0.6  D．+0.7

【考点3  有理数相关概念】

【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

【例3】（秋•江城区期中）下列说法中正确的是（　　）

A．正数和负数统称为有理数 

B．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0五类 

C．一个有理数不是整数，就是分数 

D．整数包括正整数和负整数

【变式3-1】（秋•常熟市期中）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，，其中有理数的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式3-2】下列说法正确的是（　　）

A．正数与负数互为相反数 

B．符号不同的两个数互为相反数 

C．数轴上原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数 

D．任何一个有理数都有它的相反数

【变式3-3】（秋•东台市期中）下列说法正确的是（　　）

A．绝对值等于3的数是﹣3 

B．绝对值不大于2的数有±2，±1，0 

C．若|a|＝﹣a，则a≤0 

D．一个数的绝对值一定大于这个数的相反数

【考点4  利用数轴判断符号】

【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.

【例4】（秋•宿松县期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式4-1】（秋•西城区期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【变式4-2】（秋•九龙坡区校级期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式4-3】（秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

【考点5  绝对值及偶次乘方的非负性】

【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．

【例5】（2019春•瑞安市期中）若|x+2|+（x+3y+1）2＝0，则yx的值为　   　．

【变式5-1】（秋•蔡甸区期末）若（x﹣2）2与|x+2y|互为相反数，则y﹣x＝　   　．

【变式5-2】（秋•滨湖区校级月考）当x　   　时，2﹣（x+3）2有最大值．

【变式5-3】（秋•江南区校级月考）当x＝　   　时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为　   　．

【考点6  利用相反数、倒数、绝对值定义求值】

【方法点拨】解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是

已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.

【例6】（秋•富顺县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．

（1）直接写出a+b，cd，m的值；

（2）求m+cd+的值．

【变式6-1】（2019春•白塔区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，求m2+（cd+a+b）×m+（cd）的值．

【变式6-2】（秋•临洮县月考）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？

【变式6-3】（秋•湖里区校级月考）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．

求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．

【考点7  利用绝对值、乘方的性质求值】

【方法点拨】解决此类问题需熟知一个数的绝对值或乘方是一个正数，那么这个数应该有两个，需注意进

行分类讨论，另外会熟练运用绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反

数；0的绝对值是0.包括逆向用法.

【例7】（秋•江阴市校级月考）若实数a，b满足a2＝16，|b|＝6，且a﹣b＜0，求a+b的值．

【变式7-1】（秋•孝南区月考）已知|a|＝8，b2＝36，若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．

【变式7-2】（秋•江岸区期中）已知|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，求2x+y的值．

【变式7-3】（秋•泰兴市校级月考）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．

计算a+b﹣c的值．

【考点8  有理数混合运算】

【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，

有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.

【例8】（2019春•黄州区校级月考）计算：

（1）

（2）

【变式8-1】（秋•宝应县期末）计算：

（1）

（2）

【变式8-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）计算：

（1）．

（2）．

【变式8-3】（秋•渝中区校级期末）有理数的计算：

（1）

（2）

【考点9  有理数混合运算的应用】

【方法点拨】对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.

【例9】（秋•新疆期末）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：

（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？

（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？

【变式9-1】（秋•康巴什校级月考）根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃，某

登山运动员攀登2km后，

（1）气温有什么变化？

（2）过一会后运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为﹣15℃，如果当时地面温度为3℃，求此时该登山运动员攀登了少千米？

【变式9-2】（秋•雁塔区校级期末）快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3

（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？

（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？

【变式9-3】小明是“环保小卫士”，课后他经常关心环境天气的变化，最近他了解到上周白天的平均气温，如下表（+表示比前一天升了，﹣表示比前一天下降了．单位：℃）

已知上周周日平均气温是16.9℃，回答下列问题：

（1）这一周哪天的℃平均气温最高是多少？

（2）计算这一周每天的平均气温？

（3）小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃，最低气温是4.2℃，用一句话概括本地的气温变化．

【考点10  有关数轴的探究题】

【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.

【例10】（秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的

原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单

位，

（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：

﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6

①第　   　次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；

②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）

（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

【练10-1】（秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动

（1）当运动到第次时，求点P所对应的有理数．

（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．

【练10-2】（秋•淮阴区期中）已知在纸面上有一数轴（如图1），折叠纸面．

（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣4表示的点与　   　表示的点重合；

（2）若﹣2表示的点与8表示的点重合，回答以下问题：

①16表示的点与　   　表示的点重合；

②如图2，若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是　   　、　   　．

（3）如图3，若m和n表示的点C和点D经折叠后重合，（m＞n＞0），现数轴上P、Q两点之间的距离为a（P在Q的左侧），且P、Q两点经折叠后重合，求P、Q两点表示的数分别是多少？（用含m，n，a的代数式表示）

【练10-3】（秋•海淀区校级期中）下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．

当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|

当A、B两点都不在原点时，

（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|

（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|

（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|

综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|

回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是　   　；

（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为　   　；

（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　   　．