【精品讲义】人教版 九年级上册数学 专题04 圆章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题04  圆章末重难点题型【举一反三】

【人教版】

【考点1  圆的相关概念】

【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用.

【例1】（2019•邗江区校级一模）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，

已知∠DOB＝72°，则∠E等于（　　）

A．36° B．30° C．18° D．24°

【变式1-1】（2019•陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的

圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【变式1-2】（2019秋•萧山区期中）如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，

OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（　　）

A．20° B．30° C．45° D．60°

【变式1-3】（2018秋•瑞安市期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO

＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．130°

【考点2  垂径定理求线段】

【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

【例2】（2019•柯桥区模拟）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式2-1】（2019•渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2.5

【变式2-2】（2019•庐阳区二模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（　　）

A． B． C． D．3cm

【变式2-3】（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4

【考点3  圆周角定理】

【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【例3】（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝

70°，则∠ABC的度数是（　　）

A．20° B．70° C．30° D．90°

【变式3-1】（2019•相城区校级二模）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的

点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（　　）

A．105° B．115° C．125° D．85°

【变式3-2】（2019•碑林区校级一模）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则

∠BAD等于（　　）

A．50° B．55° C．65° D．70°

【变式3-3】（2019•太原二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，

若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（　　）

A．l00° B．105° C．110° D．120

【考点4  圆的内接四边形】

【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角.

【例4】（2019•蓝田县一模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（　　）

A．30° B．50° C．70° D．80°

【变式4-1】（2019•澄海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°

【变式4-2】（2019•嘉祥县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°

【变式4-3】（2018•南岗区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．6 D．8

【考点5  弧长计算】

【方法点拨】n°的圆心角所对的弧长l为：。

【例5】（2019•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，

则的长为　   　．

【变式5-1】（2019•庐江县模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D．若AB＝6，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于　   　．

【变式5-2】（2019•泰顺县模拟）如图，△ABC的顶点C在半径为9的⊙O上，∠C＝40°，边AC，BC分

别与⊙O交于D，E两点，则劣弧DE的长度为　   　．

【变式5-3】（2019•瑶海区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为　   　．

【考点6  正多边形与圆】

【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

【例6】（2019•朝阳区校级四模）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角∠FMG的大小为度　   　．

【变式6-1】（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　   　度．

【变式6-2】（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的

度数是　   　°．

【变式6-3】（2019•江岸区校级模拟）如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是　   　．

【考点7  与圆有关的求最值】

【例7】（2019•清江浦区一模）正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为　   　．

【变式7-1】（2019•亭湖区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为　   　．

【变式7-2】（2018•周村区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为　   　．

【变式7-3】（2018秋•邗江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为　   　．

【考点8  垂径定理的应用】

【例8】（2018秋•朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一

个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．

【变式8-1】（2018秋•丹江口市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB

为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．

【变式8-2】（2018秋•兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．

（1）求油的最大深度；

（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？

【变式8-3】（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．

（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；

（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？

【考点9  切线的性质与判定】

【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

【例9】（2019•白银）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点

B且与BC边相交于点E．

（1）求证：AC是⊙D的切线；

（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

【变式9-1】（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．

【变式9-2】（2019•临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．

【变式9-3】（2019•朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．

【考点10  圆中阴影面积计算】

【方法点拨】圆心角为n°的扇形面积S为：；

【例10】（2018秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．

（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；

（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．

【变式10-1】（2018秋•吴兴区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

【变式10-2】（2019•长春一模）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．

（1）求证：OD⊥DE．

（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．

【变式10-3】（2018秋•富阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，

（1）求证AB是圆的直径；

（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；

（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．