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【精品讲义】人教版 九年级上册数学 专题01 一元二次方程章末重难点题型（举一反三）（解析版）
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专题01 一元二次方程章末重难点题型【举一反三】
【考点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2018秋•茂名期中）下面关于的方程中：①；②；③；④； ⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【答案】解：①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；
③x+3＝属于分式方程，故错误；
⑤＝x﹣1属于无理方程，故错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
【变式1-1】（2018秋•准格尔旗期中）关于的方程是一元二次方程，则
A． B． C． D．
【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．
【答案】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
a≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2018秋•汨罗市期中）方程是关于的一元二次方程，则
A． B． C． D．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【答案】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，
由解得得m＝±2且m≠﹣2，
∴m＝2．
故选：B．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式1-3】（2018春•杭州期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为
A．1 B． C． D．不能确定
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案．
【答案】解：∵关于x的方程（m+1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1＝2，
解得：m＝1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为零是解题关键．
【考点2 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例2】（2018秋•金牛区校级期中）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是
A．3 B． C． D．0或
【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【答案】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
【变式2-1】（2019春•岱岳区期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2019表示为2（m2﹣2m）+2019，然后利用总体代入的方法计算．
【答案】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2019＝2（m2﹣2m）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了总体代入的计算方法．
【变式2-2】（2019春•蚌埠期中）若方程中，，，满足和，则方程的根是
A．1，0 B．，0 C．1， D．无法确定
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【答案】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选：C．
【点睛】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【变式2-3】（2018秋•桐梓县期中）是方程的根，则式子的值为
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】由m是方程的根，可得m2+m＝1，变形m3+2m2+2018为m3+m2+m2+2018，然后整体代入得结果
【答案】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1
∵m3+2m2+2018
＝m3+m2+m2+2018
＝m（m2+m）+m2+2018
＝m+m2+2018
＝1+2018
＝2019．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m的等式，变形m3+2m2+2018后整体代入．
【考点3 用指定方法解一元二次方程】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例3】（2018秋•镇原县期中）用指定的方法解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2） （配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：x2﹣x＝﹣，
配方得：x2﹣x+＝（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝±，
则x1＝，x2＝；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x＝，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
【变式3-1】（2019秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接开平方法）
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用因式分解法解出方程；
（3）利用公式法解出方程；
（4）利用直接开平方法解出方程．
【答案】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0
x2﹣6x+9＝7+9
（x﹣3）2＝16
x﹣3＝±4
x1＝7，x2＝﹣1；
（2）2x﹣6＝（x﹣3）2
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0
x1＝3，x2＝5；
（3）3x2﹣4x+1＝0
x＝
x1＝1，x2＝；
（4）5（x+1）2＝10
x+1＝±
x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式3-2】（2019秋•来宾期中）按指定的方法解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
【分析】（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；
（2）利用配方法解方程求得答案；
（3）利用公式法，首先判别式△的值，继而求得答案；
（4）利用因式分解法求得方程的解即可．
【答案】解：（1））（2x﹣1）2﹣32＝0
整理，得（2x﹣1）2＝64，
2x﹣1＝±8，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）3x2+4x+1＝0
3x2+4x＝﹣1，
x2+x＝﹣，
x2+x+＝﹣+，
（x+）2＝
x+＝±，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣1；
（3）x2﹣x﹣7＝0
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，
x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）x2﹣1＝3x﹣3，
x2﹣1﹣3x+3＝0，
（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+1﹣3）＝0，
x﹣1＝0，x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2．
【点睛】本题考查了利用解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程．
【变式3-3】（2019秋•泰州月考）按照指定方法解下列方程：
（1） （用直接开平方法）
（2） （用配方法）
（3） （用求根公式法）
（4）（用因式分解法）
【分析】（1）直接利用开平方法解方程；
（2）先变形为x2﹣x＝﹣4，然后利用配方法解方程；
（3）利用求根公式法解方程；
（4）先移项得到7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【答案】解：（1）2x﹣1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x2﹣x＝﹣4，
x2﹣x+＝﹣4+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝+，x2＝﹣；
（3）△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16，
x＝，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（4）7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
（5x+2）（7x﹣6）＝0，
5x+2＝0或7x﹣6＝0，
所以x1＝﹣，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程．
【考点4 一元二次方程根的判别式】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.
【例4】（2019春•阜阳期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为最大的正整数，求此时方程的根．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；
（2）将a的值代入得出方程，解之可得．
【答案】解：（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，
解得：a≤3，
∴a≤3且a≠2；
（2）由题意知a＝3，
则方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
【变式4-1】关于的一元二次方程为
（1）求证：无论为何实数，方程总有实数根；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正数．
【分析】（1）先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m+1）2，然后证明△≥0即可；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝m+2，x2＝﹣m，则m+2＞0且﹣m＞0，解得﹣2＜m＜0，然后找出此范围内的整数即可．
【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）]
＝4m2+8m+4
＝4（m+1）2，
∵4（m+1）2≥0，
∴△≥0，
∴无论m为何实数，方程总有实数根；
（2）解：x＝＝1±（m+1），
所以x1＝m+2，x2＝﹣m，
根据题意得m+2＞0且﹣m＞0，
所以﹣2＜m＜0，
所以整数m为﹣1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式4-2】（2019春•西湖区校级期中）已知、、为三角形的三边，求证：方程没有实数根．
【分析】求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．
【答案】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△＝（a2+c2﹣b2）2﹣4a2c2
＝（a2+c2﹣b2+2ac）（a2+c2﹣b2﹣2ac）
＝[（a+c）2﹣b2][（a﹣c）2﹣b2]，
＝（a+b+c）（a+c﹣b）（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴a+b+c＞0，a+c﹣b＞0，a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0．
∴（a+b+c）（a+c﹣b）（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）＜0．
∴△＜0．
∴原方程没有实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．
【变式4-3】（2018秋•宜昌期末）已知是关于的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求的面积．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x＝4±m，即b＝4+m，c＝4﹣m，讨论：当b＝a＝6时，即4+m＝6，解得m＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC的面积；当c＝a时，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，利用同样方法计算△ABC的面积．
【答案】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝4±m，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝；
当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝，
即△ABC的面积为．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
【考点5 一元二次方程根与系数的关系】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学
知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.
【例5】（2018秋•江汉区月考）已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值；
（1）
（2）
【分析】（1）将所求的代数式进行变形处理：x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2．
（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．
【答案】解：∵x1，x2是方程3x2﹣3x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣．
（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+2×＝．
（2）＝＝＝﹣．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式5-1】（2018秋•北湖区校级月考）已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值．
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】根据根与系数的关系可得：m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014．
（1）将m2﹣m＝2014代入m2﹣m+2015中，即可求出结论；
（2）将m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014代入（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m2﹣m）×（m+n+1）中，即可求出结论；
（3）将m+n＝1，m2﹣m＝2014代入m2﹣2m﹣n+2014＝（m2﹣m）﹣（m+n）+2014中，即可求出结论．
【答案】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2014＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014．
（1）m2﹣m+2015＝2014+2015＝4029；
（2）（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m2﹣m）×（m+n+1）＝2014×2＝4028；
（3）m2﹣2m﹣n+2014＝（m2﹣m）﹣（m+n）+2014＝2014﹣1+2014＝4027．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，解题的关键是：（1）利用根与系数的关系找出m2﹣m＝2014；（2）将（m2﹣m）（m﹣+1）变形为（m2﹣m）×（m+n+1）；（3）将m2﹣2m﹣n+2014变形为（m2﹣m）﹣（m+n）+2014．
【变式5-2】（2018秋•江都区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两个实根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1，x1x2＝，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣中，进而可求k的值；
【答案】解：不存在，
理由：假设成立，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2+4kx+k+1＝0的两个实根，
∴△＝16k2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k≥0，且k≠0
∴k＜0，
∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝，
∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2（x1+x2）2﹣9x1x2＝2×（﹣1）2﹣9×＝2﹣，
∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣，
∴2﹣＝﹣，
∴k＝，
∵k＜0，
∴不存在这样k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系．
【变式5-3】（2018秋•龙湖区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且，恰好是另外两边的边长，已知等腰的一边长为7，求这个三角形的周长．
【分析】分类讨论：若x1＝7时，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m1＝10，m2＝4，当m＝10时，由根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，根据三角形三边的关系，m＝10舍去；当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，根据三角形三边的关系，m＝2舍去．
【答案】解：∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
∴x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，难度适中．
【考点6 有关一元二次方程传播问题】
【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【例6】（2019春•阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．
【分析】设每轮传染的人数是x人，根据有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，列方程求解即可．
【答案】解：设每轮传染的人数是x人，根据题意得：
4x+4+（4x+4）x＝196，
解得：x＝6或x＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：每轮传染的人数是6个人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【变式6-1】某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外
发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人
收到新年问候的短信？
【分析】本题可设第一轮中某人向x人发短信，那么在第二轮中获得短信的这x人每人又发出了（x+1）条信息，即在第二轮中共发出了x（x+1）条短信，进而我们可列出方程，求出答案．
【答案】解：设第一轮中某人向x人发短信，获得短信的x人，每人向外发（x+1）条短信，
由题意得，
x+x（x+1）＝35，
整理x2+2x﹣35＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣7（舍去）．
答：第一轮5人收到短信，第二轮有30人收到短信．
【点睛】该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程．
【变式6-2】（2019•云南模拟）为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．
【答案】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．
整理，得x2﹣x﹣90＝0．
解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．
答：该县团委应邀请10个足球队参赛．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
【变式6-3】（2019•高阳县一模）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；
（2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手 次；
（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【分析】（1）由握手总数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，即可求出结论；
（2）由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟（n﹣1）人握手，同（1）即可求出握手总数；
（3）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（4）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论．
【答案】解：（1）3×（3﹣1）÷2＝3，5×（5﹣1）÷2＝10．
故答案为：3；10．
（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟（n﹣1）人握手，
∴共握手n（n﹣1）次．
故答案为：n（n﹣1）．
（3）依题意，得：n（n﹣1）＝28，
整理，得：n2﹣n﹣56＝0，
解得：n1＝8，n2＝﹣7（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为8人．
（4）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B），
∴可当成共有（m+2）个人握手，
∴线段总数为（m+2）（m+1）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列出代数式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（4）将线段数当成人握手次数来解决问题．
【考点7 有关一元二次方程面积问题】
【例7】（2019春•瑞安市期中）某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形的一边长为米．
（1）饲养场另一边 米（用含的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值．
【分析】（1）用（总长+2个2米的门的宽度）﹣3x即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，
【答案】解：（1）由题意得：（48﹣3x）米．
故答案是：（48﹣3x）；
（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180
解得x1＝6，x2＝10
【点睛】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式7-1】（2019春•岱岳区期末）如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．
（1）请用含的代数式表示正方形乙的边长： 米；
（2）若丙地的面积为32平方米，请求出的值．
【分析】（1）由甲和乙为正方形，且该地长为x米，宽为120米，可得出丙的长，也即乙的边长．
（2）由（1）已求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解x即可．
【答案】解：（1）因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：（x﹣12）米．
同样乙的边长也为（x﹣12）米
故答案是：（x﹣12）；
（2）结合（1）得，丙的宽为（24﹣x），所以丙的面积为：（x﹣12）（24﹣x）
列方程得，（x﹣12）（24﹣x）＝32
解方程得x1＝20，x2＝16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长，难度不大．
【变式7-2】（2019•贵阳模拟）如图，将边长为的正方形纸片，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中的虚线折起，可以得到一个长方体盒子，、、、正好重合于上底面一点，且，若所得到的长方体盒子的表面积为，求线段的长．
【分析】设AE＝BF＝xcm，由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为xcm，长方体盒子的高为cm，根据长方体盒子的表面积为11cm2列出方程，即可得出线段AE的长．
【答案】解：设AE＝BF＝xcm，
由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为xcm，长方体盒子的高为cm，
∵得到的长方体盒子的表面积为11cm2
∴2[2x2+x（6﹣2x）+x（6﹣2x）]＝11，
整理得：4x2﹣24x+11＝0，
解得x＝0.5或x＝5.5（舍去），
∴线段AE的长0.5cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是用AE的代数式表示出长方体的长、宽、高．
【变式7-3】（2018秋•贵阳期末）已知长方形硬纸板的长为，宽为，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为．（纸板的厚度忽略不计）
（1） ， ；（用含的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面的面积为，求剪掉的小正方形的边长．
【分析】（1）观察图形，根据各线段之间的关系可用含x的代数式表示出EF，GH的长度；
（2）根据矩形的面积公式结合长方体盒子底面M的面积为300cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案为：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长为5cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含x的代数式表示出EF，GH的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【考点8 有关一元二次方程增长率问题】
【例8】（2019春•丰台区期末）“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．北京市将重点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到2022年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景观大道”于一体的城市森林．2018年当年计划新增造林23万亩，2019年计划新增造林面积大体相当于27.8个奥森公园的面积，预计2020年计划新增造林面积达到38.87万亩，求2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）列出方程．
【答案】解：设2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为x，
根据题意得23（1+x）2＝38.87，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为30%．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题，若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
【变式8-1】（2019春•延庆区期末）2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”．自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观．据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次．其中中国馆也是非常受欢迎的场馆．据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？
【分析】设中国馆这两天游客人数的日平均增长率为x．根据“中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人”列出方程并解答．
【答案】解：设中国馆这两天游客人数的日平均增长率为x，
由题意得：4（1+x）2＝9
解得x1＝，x2＝﹣（舍去）
答：中国馆这两天游客人数的日平均增长率为50%．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，其中增长率问题模型为：a（1+x）2＝b（a＜b）．
【变式8-2】（2019春•顺义区期末）今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2017年单价为200元，2019年单价为162元．
（1）求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠？
【分析】（1）设平均每年降低的百分率为x，根据2017年及2019年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；
（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：2017 年到 2019 年该品牌足球单价平均每年降低10%；
（2）A商店：162×91＝14742（元）；
B商店：162×0.9×100＝14580（元）．
因为14742＞14580．
所以，去B商店买足球更优惠．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2017年及2019年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．
【变式8-3】（2019•福田区模拟）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2016年图书借阅总量是7500本，2018年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率；
（2）已知2018年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2019年达到1440人，如果2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，那么2019年的人均借阅量比2018年增长，求的值至少是多少？
【分析】（1）设该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该社区2016年及2018年的图书借阅总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019年的借阅总量＝2018年的人均借阅量×（1+增长率）×2019年借阅图书人数结合2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【答案】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为x，
依题意，得：7500（1+x）2＝10800，
解得：x1＝0.2＝20%，x1＝﹣2.2（舍去）．
答：该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为20%．
（2）依题意，得：×（1+a%）×1440≥10800×（1+20%），
解得：a≥12.5．
答：a的值至少是12.5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【考点9 有关一元二次方程利润问题】
【例9】（2019•杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元件，售价为80元件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元件，设一次性购买万件
（1）若，则售价应是 元件；
（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；
【分析】（1）由一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），据此将x＝15代入计算可得；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量求解可得．
【答案】解：（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），
当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），
故答案为：70；
（2）根据题意知，（100﹣2x﹣20）x＝728，
整理，得
﹣2x2+80x＝728．
解得x1＝26，x2＝14．
因为100﹣2x≥50，
所以10＜x≤25．
所以x＝14符合题意．
答：一次性购买14万件产品时，该公司的销售总利润为728万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
【变式9-1】（2019春•闽侯县期末）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）由题意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200，
解得：x＝120，或x＝160．
答：某天小张销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、待定系数法确定一次函数的解析式；根据题意列出关于k、b的关系式和列出方程是解答此题的关键．
【变式9-2】（2019•沙坪坝区校级一模）2019年6月18日是重庆直辖22年的纪念日年来，巴渝大地发生了翻天覆地的变化，一大波网红景点成为城市新地标的同时，也见证着城市面貌的改变，并让一大批重庆特产走出重庆，享誉世界在网红景点“洪崖洞”某重庆特产专卖店销售特产“合川桃片”，其进价为每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加20千克．
（1）若该专卖店“合川桃片”3月31日的销量为280千克，则该天每千克的售价为多少元？
（2）若该专卖店要想4月1日的获利比（1）中3月31日的获利多320元，则每千克“合川桃片”应为多少元？
【分析】（1）设该天每千克的售价为x元，则销量增加20（30﹣x）千克，再根据“原销量100千克+增加销量＝现在销量280千克”列出一元一次方程解答便可；
（2）设每千克“合川桃片”应为y元，根据“每千克利润×销量＝原来利润+增加的利润”列出一元二次方程进行解答便可．
【答案】解：（1）设该天每千克的售价为x元，根据题意得，
100+20（30﹣x）＝280，
解得，x＝21，
答：该天每千克的售价为21元．
（2）设每千克“合川桃片”应为y元，根据题意得，
（y﹣15）[100+20（30﹣y）]＝（21﹣15）×280+320，
解得，y＝25，
答：每千克“合川桃片”应为25元．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，列一元二次方程解应用题，关键是根据售价表示出增加的销量和正确根据等量关系列出方程．
【变式9-3】（2019•沙坪坝区校级二模）某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？
【答案】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有
，
解得．
故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；
（2）依题意有：
（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，
整理，得150a2﹣180a＝0，
解得a1＝，a2＝0（舍去）．
故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【考点10 有关一元二次方程动点问题】
【例10】（2019春•蚌埠期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为．那么运动几秒时，它们相距？的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【分析】设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合PQ＝15，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论，设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【答案】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152，
解得：t1＝9，t2＝12，
∴运动秒或12秒时，P，Q两点相距12厘米．
△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，
依题意，得：x（21﹣x）＝60，
整理，得：x2﹣21x+120＝0，
∵△＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-1】（2019•东台市模拟）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒种后的面积为？
【分析】设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积为31cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【答案】解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，
S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，
＝AB•BC﹣AD•AP﹣CD•CQ﹣BP•BQ，
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）•2x，
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5．
答：运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-2】（2019春•雨花区校级月考）如图所示，、、、是矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动
（1），两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
（2），两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？
【分析】当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．
【变式10-3】（2019•宿迁三模）如图，在矩形中，，，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；
（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．
【答案】解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，b1＝1，b2＝14（舍去），
即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能否等于22cm2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化．
【考点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2018秋•茂名期中）下面关于的方程中：①；②；③；④； ⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【答案】解：①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；
③x+3＝属于分式方程，故错误；
⑤＝x﹣1属于无理方程，故错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
【变式1-1】（2018秋•准格尔旗期中）关于的方程是一元二次方程，则
A． B． C． D．
【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．
【答案】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
a≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2018秋•汨罗市期中）方程是关于的一元二次方程，则
A． B． C． D．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【答案】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，
由解得得m＝±2且m≠﹣2，
∴m＝2．
故选：B．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式1-3】（2018春•杭州期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为
A．1 B． C． D．不能确定
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案．
【答案】解：∵关于x的方程（m+1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1＝2，
解得：m＝1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为零是解题关键．
【考点2 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例2】（2018秋•金牛区校级期中）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是
A．3 B． C． D．0或
【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【答案】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
【变式2-1】（2019春•岱岳区期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2019表示为2（m2﹣2m）+2019，然后利用总体代入的方法计算．
【答案】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2019＝2（m2﹣2m）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了总体代入的计算方法．
【变式2-2】（2019春•蚌埠期中）若方程中，，，满足和，则方程的根是
A．1，0 B．，0 C．1， D．无法确定
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【答案】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选：C．
【点睛】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【变式2-3】（2018秋•桐梓县期中）是方程的根，则式子的值为
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】由m是方程的根，可得m2+m＝1，变形m3+2m2+2018为m3+m2+m2+2018，然后整体代入得结果
【答案】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1
∵m3+2m2+2018
＝m3+m2+m2+2018
＝m（m2+m）+m2+2018
＝m+m2+2018
＝1+2018
＝2019．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m的等式，变形m3+2m2+2018后整体代入．
【考点3 用指定方法解一元二次方程】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例3】（2018秋•镇原县期中）用指定的方法解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2） （配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：x2﹣x＝﹣，
配方得：x2﹣x+＝（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝±，
则x1＝，x2＝；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x＝，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
【变式3-1】（2019秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接开平方法）
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用因式分解法解出方程；
（3）利用公式法解出方程；
（4）利用直接开平方法解出方程．
【答案】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0
x2﹣6x+9＝7+9
（x﹣3）2＝16
x﹣3＝±4
x1＝7，x2＝﹣1；
（2）2x﹣6＝（x﹣3）2
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0
x1＝3，x2＝5；
（3）3x2﹣4x+1＝0
x＝
x1＝1，x2＝；
（4）5（x+1）2＝10
x+1＝±
x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式3-2】（2019秋•来宾期中）按指定的方法解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
【分析】（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；
（2）利用配方法解方程求得答案；
（3）利用公式法，首先判别式△的值，继而求得答案；
（4）利用因式分解法求得方程的解即可．
【答案】解：（1））（2x﹣1）2﹣32＝0
整理，得（2x﹣1）2＝64，
2x﹣1＝±8，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）3x2+4x+1＝0
3x2+4x＝﹣1，
x2+x＝﹣，
x2+x+＝﹣+，
（x+）2＝
x+＝±，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣1；
（3）x2﹣x﹣7＝0
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，
x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）x2﹣1＝3x﹣3，
x2﹣1﹣3x+3＝0，
（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+1﹣3）＝0，
x﹣1＝0，x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2．
【点睛】本题考查了利用解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程．
【变式3-3】（2019秋•泰州月考）按照指定方法解下列方程：
（1） （用直接开平方法）
（2） （用配方法）
（3） （用求根公式法）
（4）（用因式分解法）
【分析】（1）直接利用开平方法解方程；
（2）先变形为x2﹣x＝﹣4，然后利用配方法解方程；
（3）利用求根公式法解方程；
（4）先移项得到7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【答案】解：（1）2x﹣1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x2﹣x＝﹣4，
x2﹣x+＝﹣4+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝+，x2＝﹣；
（3）△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16，
x＝，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（4）7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
（5x+2）（7x﹣6）＝0，
5x+2＝0或7x﹣6＝0，
所以x1＝﹣，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程．
【考点4 一元二次方程根的判别式】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.
【例4】（2019春•阜阳期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为最大的正整数，求此时方程的根．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；
（2）将a的值代入得出方程，解之可得．
【答案】解：（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，
解得：a≤3，
∴a≤3且a≠2；
（2）由题意知a＝3，
则方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
【变式4-1】关于的一元二次方程为
（1）求证：无论为何实数，方程总有实数根；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正数．
【分析】（1）先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m+1）2，然后证明△≥0即可；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝m+2，x2＝﹣m，则m+2＞0且﹣m＞0，解得﹣2＜m＜0，然后找出此范围内的整数即可．
【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）]
＝4m2+8m+4
＝4（m+1）2，
∵4（m+1）2≥0，
∴△≥0，
∴无论m为何实数，方程总有实数根；
（2）解：x＝＝1±（m+1），
所以x1＝m+2，x2＝﹣m，
根据题意得m+2＞0且﹣m＞0，
所以﹣2＜m＜0，
所以整数m为﹣1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式4-2】（2019春•西湖区校级期中）已知、、为三角形的三边，求证：方程没有实数根．
【分析】求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．
【答案】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△＝（a2+c2﹣b2）2﹣4a2c2
＝（a2+c2﹣b2+2ac）（a2+c2﹣b2﹣2ac）
＝[（a+c）2﹣b2][（a﹣c）2﹣b2]，
＝（a+b+c）（a+c﹣b）（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴a+b+c＞0，a+c﹣b＞0，a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0．
∴（a+b+c）（a+c﹣b）（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）＜0．
∴△＜0．
∴原方程没有实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．
【变式4-3】（2018秋•宜昌期末）已知是关于的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求的面积．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x＝4±m，即b＝4+m，c＝4﹣m，讨论：当b＝a＝6时，即4+m＝6，解得m＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC的面积；当c＝a时，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，利用同样方法计算△ABC的面积．
【答案】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝4±m，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝；
当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝，
即△ABC的面积为．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
【考点5 一元二次方程根与系数的关系】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学
知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.
【例5】（2018秋•江汉区月考）已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值；
（1）
（2）
【分析】（1）将所求的代数式进行变形处理：x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2．
（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．
【答案】解：∵x1，x2是方程3x2﹣3x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣．
（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+2×＝．
（2）＝＝＝﹣．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式5-1】（2018秋•北湖区校级月考）已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值．
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】根据根与系数的关系可得：m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014．
（1）将m2﹣m＝2014代入m2﹣m+2015中，即可求出结论；
（2）将m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014代入（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m2﹣m）×（m+n+1）中，即可求出结论；
（3）将m+n＝1，m2﹣m＝2014代入m2﹣2m﹣n+2014＝（m2﹣m）﹣（m+n）+2014中，即可求出结论．
【答案】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2014＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014．
（1）m2﹣m+2015＝2014+2015＝4029；
（2）（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m2﹣m）×（m+n+1）＝2014×2＝4028；
（3）m2﹣2m﹣n+2014＝（m2﹣m）﹣（m+n）+2014＝2014﹣1+2014＝4027．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，解题的关键是：（1）利用根与系数的关系找出m2﹣m＝2014；（2）将（m2﹣m）（m﹣+1）变形为（m2﹣m）×（m+n+1）；（3）将m2﹣2m﹣n+2014变形为（m2﹣m）﹣（m+n）+2014．
【变式5-2】（2018秋•江都区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两个实根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1，x1x2＝，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣中，进而可求k的值；
【答案】解：不存在，
理由：假设成立，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2+4kx+k+1＝0的两个实根，
∴△＝16k2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k≥0，且k≠0
∴k＜0，
∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝，
∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2（x1+x2）2﹣9x1x2＝2×（﹣1）2﹣9×＝2﹣，
∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣，
∴2﹣＝﹣，
∴k＝，
∵k＜0，
∴不存在这样k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系．
【变式5-3】（2018秋•龙湖区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且，恰好是另外两边的边长，已知等腰的一边长为7，求这个三角形的周长．
【分析】分类讨论：若x1＝7时，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m1＝10，m2＝4，当m＝10时，由根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，根据三角形三边的关系，m＝10舍去；当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，根据三角形三边的关系，m＝2舍去．
【答案】解：∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
∴x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，难度适中．
【考点6 有关一元二次方程传播问题】
【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【例6】（2019春•阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．
【分析】设每轮传染的人数是x人，根据有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，列方程求解即可．
【答案】解：设每轮传染的人数是x人，根据题意得：
4x+4+（4x+4）x＝196，
解得：x＝6或x＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：每轮传染的人数是6个人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【变式6-1】某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外
发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人
收到新年问候的短信？
【分析】本题可设第一轮中某人向x人发短信，那么在第二轮中获得短信的这x人每人又发出了（x+1）条信息，即在第二轮中共发出了x（x+1）条短信，进而我们可列出方程，求出答案．
【答案】解：设第一轮中某人向x人发短信，获得短信的x人，每人向外发（x+1）条短信，
由题意得，
x+x（x+1）＝35，
整理x2+2x﹣35＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣7（舍去）．
答：第一轮5人收到短信，第二轮有30人收到短信．
【点睛】该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程．
【变式6-2】（2019•云南模拟）为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．
【答案】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．
整理，得x2﹣x﹣90＝0．
解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．
答：该县团委应邀请10个足球队参赛．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
【变式6-3】（2019•高阳县一模）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；
（2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手 次；
（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【分析】（1）由握手总数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，即可求出结论；
（2）由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟（n﹣1）人握手，同（1）即可求出握手总数；
（3）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（4）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论．
【答案】解：（1）3×（3﹣1）÷2＝3，5×（5﹣1）÷2＝10．
故答案为：3；10．
（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟（n﹣1）人握手，
∴共握手n（n﹣1）次．
故答案为：n（n﹣1）．
（3）依题意，得：n（n﹣1）＝28，
整理，得：n2﹣n﹣56＝0，
解得：n1＝8，n2＝﹣7（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为8人．
（4）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B），
∴可当成共有（m+2）个人握手，
∴线段总数为（m+2）（m+1）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列出代数式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（4）将线段数当成人握手次数来解决问题．
【考点7 有关一元二次方程面积问题】
【例7】（2019春•瑞安市期中）某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形的一边长为米．
（1）饲养场另一边 米（用含的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值．
【分析】（1）用（总长+2个2米的门的宽度）﹣3x即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，
【答案】解：（1）由题意得：（48﹣3x）米．
故答案是：（48﹣3x）；
（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180
解得x1＝6，x2＝10
【点睛】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式7-1】（2019春•岱岳区期末）如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．
（1）请用含的代数式表示正方形乙的边长： 米；
（2）若丙地的面积为32平方米，请求出的值．
【分析】（1）由甲和乙为正方形，且该地长为x米，宽为120米，可得出丙的长，也即乙的边长．
（2）由（1）已求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解x即可．
【答案】解：（1）因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：（x﹣12）米．
同样乙的边长也为（x﹣12）米
故答案是：（x﹣12）；
（2）结合（1）得，丙的宽为（24﹣x），所以丙的面积为：（x﹣12）（24﹣x）
列方程得，（x﹣12）（24﹣x）＝32
解方程得x1＝20，x2＝16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长，难度不大．
【变式7-2】（2019•贵阳模拟）如图，将边长为的正方形纸片，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中的虚线折起，可以得到一个长方体盒子，、、、正好重合于上底面一点，且，若所得到的长方体盒子的表面积为，求线段的长．
【分析】设AE＝BF＝xcm，由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为xcm，长方体盒子的高为cm，根据长方体盒子的表面积为11cm2列出方程，即可得出线段AE的长．
【答案】解：设AE＝BF＝xcm，
由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为xcm，长方体盒子的高为cm，
∵得到的长方体盒子的表面积为11cm2
∴2[2x2+x（6﹣2x）+x（6﹣2x）]＝11，
整理得：4x2﹣24x+11＝0，
解得x＝0.5或x＝5.5（舍去），
∴线段AE的长0.5cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是用AE的代数式表示出长方体的长、宽、高．
【变式7-3】（2018秋•贵阳期末）已知长方形硬纸板的长为，宽为，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为．（纸板的厚度忽略不计）
（1） ， ；（用含的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面的面积为，求剪掉的小正方形的边长．
【分析】（1）观察图形，根据各线段之间的关系可用含x的代数式表示出EF，GH的长度；
（2）根据矩形的面积公式结合长方体盒子底面M的面积为300cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案为：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长为5cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含x的代数式表示出EF，GH的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【考点8 有关一元二次方程增长率问题】
【例8】（2019春•丰台区期末）“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．北京市将重点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到2022年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景观大道”于一体的城市森林．2018年当年计划新增造林23万亩，2019年计划新增造林面积大体相当于27.8个奥森公园的面积，预计2020年计划新增造林面积达到38.87万亩，求2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）列出方程．
【答案】解：设2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为x，
根据题意得23（1+x）2＝38.87，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为30%．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题，若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
【变式8-1】（2019春•延庆区期末）2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”．自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观．据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次．其中中国馆也是非常受欢迎的场馆．据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？
【分析】设中国馆这两天游客人数的日平均增长率为x．根据“中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人”列出方程并解答．
【答案】解：设中国馆这两天游客人数的日平均增长率为x，
由题意得：4（1+x）2＝9
解得x1＝，x2＝﹣（舍去）
答：中国馆这两天游客人数的日平均增长率为50%．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，其中增长率问题模型为：a（1+x）2＝b（a＜b）．
【变式8-2】（2019春•顺义区期末）今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2017年单价为200元，2019年单价为162元．
（1）求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠？
【分析】（1）设平均每年降低的百分率为x，根据2017年及2019年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；
（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：2017 年到 2019 年该品牌足球单价平均每年降低10%；
（2）A商店：162×91＝14742（元）；
B商店：162×0.9×100＝14580（元）．
因为14742＞14580．
所以，去B商店买足球更优惠．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2017年及2019年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．
【变式8-3】（2019•福田区模拟）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2016年图书借阅总量是7500本，2018年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率；
（2）已知2018年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2019年达到1440人，如果2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，那么2019年的人均借阅量比2018年增长，求的值至少是多少？
【分析】（1）设该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该社区2016年及2018年的图书借阅总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019年的借阅总量＝2018年的人均借阅量×（1+增长率）×2019年借阅图书人数结合2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【答案】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为x，
依题意，得：7500（1+x）2＝10800，
解得：x1＝0.2＝20%，x1＝﹣2.2（舍去）．
答：该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为20%．
（2）依题意，得：×（1+a%）×1440≥10800×（1+20%），
解得：a≥12.5．
答：a的值至少是12.5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【考点9 有关一元二次方程利润问题】
【例9】（2019•杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元件，售价为80元件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元件，设一次性购买万件
（1）若，则售价应是 元件；
（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；
【分析】（1）由一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），据此将x＝15代入计算可得；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量求解可得．
【答案】解：（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），
当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），
故答案为：70；
（2）根据题意知，（100﹣2x﹣20）x＝728，
整理，得
﹣2x2+80x＝728．
解得x1＝26，x2＝14．
因为100﹣2x≥50，
所以10＜x≤25．
所以x＝14符合题意．
答：一次性购买14万件产品时，该公司的销售总利润为728万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
【变式9-1】（2019春•闽侯县期末）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）由题意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200，
解得：x＝120，或x＝160．
答：某天小张销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、待定系数法确定一次函数的解析式；根据题意列出关于k、b的关系式和列出方程是解答此题的关键．
【变式9-2】（2019•沙坪坝区校级一模）2019年6月18日是重庆直辖22年的纪念日年来，巴渝大地发生了翻天覆地的变化，一大波网红景点成为城市新地标的同时，也见证着城市面貌的改变，并让一大批重庆特产走出重庆，享誉世界在网红景点“洪崖洞”某重庆特产专卖店销售特产“合川桃片”，其进价为每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加20千克．
（1）若该专卖店“合川桃片”3月31日的销量为280千克，则该天每千克的售价为多少元？
（2）若该专卖店要想4月1日的获利比（1）中3月31日的获利多320元，则每千克“合川桃片”应为多少元？
【分析】（1）设该天每千克的售价为x元，则销量增加20（30﹣x）千克，再根据“原销量100千克+增加销量＝现在销量280千克”列出一元一次方程解答便可；
（2）设每千克“合川桃片”应为y元，根据“每千克利润×销量＝原来利润+增加的利润”列出一元二次方程进行解答便可．
【答案】解：（1）设该天每千克的售价为x元，根据题意得，
100+20（30﹣x）＝280，
解得，x＝21，
答：该天每千克的售价为21元．
（2）设每千克“合川桃片”应为y元，根据题意得，
（y﹣15）[100+20（30﹣y）]＝（21﹣15）×280+320，
解得，y＝25，
答：每千克“合川桃片”应为25元．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，列一元二次方程解应用题，关键是根据售价表示出增加的销量和正确根据等量关系列出方程．
【变式9-3】（2019•沙坪坝区校级二模）某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？
【答案】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有
，
解得．
故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；
（2）依题意有：
（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，
整理，得150a2﹣180a＝0，
解得a1＝，a2＝0（舍去）．
故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【考点10 有关一元二次方程动点问题】
【例10】（2019春•蚌埠期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为．那么运动几秒时，它们相距？的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【分析】设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合PQ＝15，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论，设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【答案】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152，
解得：t1＝9，t2＝12，
∴运动秒或12秒时，P，Q两点相距12厘米．
△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，
依题意，得：x（21﹣x）＝60，
整理，得：x2﹣21x+120＝0，
∵△＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-1】（2019•东台市模拟）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒种后的面积为？
【分析】设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积为31cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【答案】解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，
S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，
＝AB•BC﹣AD•AP﹣CD•CQ﹣BP•BQ，
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）•2x，
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5．
答：运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-2】（2019春•雨花区校级月考）如图所示，、、、是矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动
（1），两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
（2），两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？
【分析】当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【答案】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．
【变式10-3】（2019•宿迁三模）如图，在矩形中，，，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；
（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．
【答案】解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，b1＝1，b2＝14（舍去），
即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能否等于22cm2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化．
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