【精品讲义】人教版 九年级上册数学 专题02 二次函数章末重难点题型（举一反三）（解析版）

专题02 二次函数章末重难点题型【举一反三】


【考点1 二次函数的概念】
二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

【例1】（2019秋•泰兴市校级月考）下列函数关系式中，是的二次函数是　　
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．
【答案】解：A、a＝0时，不是二次函数，故A错误；
B、不是二次函数，故B错误；
C、是二次函数，故C正确；
D、不含二次项，不是二次函数，故D错误；
故选：C．
【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数．
【变式1-1】（2019秋•文水县期中）已知函数：①；②；③；④．其中，二次函数的个数为　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数为二次函数即可得到结论．
【答案】解：根据定义②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2是二次函数
故选：B．
【方法总结】本题考查二次函数的定义，解题的关键正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．
【变式1-2】（2019秋•苍溪县期中）已知函数，其图象是抛物线， 则的取值是　　
A ． B ． C ． D ．
【思路点拨】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【答案】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2．
故选：B．
【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．
【变式1-3】（2019秋•南康区期中）若是二次函数，则等于　　
A． B．2 C． D．不能确定
【思路点拨】根据二次函数的定义求解即可．
【答案】解：由题意，得
m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2，
故选：A．
【考点2 二次函数与一次函数图象】
【例2】（2019秋•花都区期中）在同一直角坐标系中与图象大致为　　
A． B． C． D．
【思路点拨】本题由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+b的图象相比较看是否一致．
【答案】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．
故选：A．
【方法总结】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
【变式2-1】（2018秋•厦门期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是　　
A． B． C． D．
【思路点拨】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【答案】解：A、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，
D、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
故选：A．
【方法总结】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
【变式2-2】（2019秋•沂水县期中）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　
A． B． C． D．
【思路点拨】本题形数结合，一次函数y＝ax+b，可判断a、c的符号；根据二次函数y＝a（x+c）2的图象位置，可得a，c．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．
【答案】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误；
B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故B正确；
C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误；
D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误．
故选：B．
【方法总结】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．
【变式2-3】（2016秋•工业园区期中）如图，一次函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是　　

A． B． C． D．
【思路点拨】由直线y＝x与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，且两交点的横坐标均为负数可知：方程ax2+bx+c＝x，即ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个同为异号的实数根，根据二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系即可得．
【答案】解：由图象知直线y＝x与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，且两交点的横坐标均为负数，
∴方程ax2+bx+c＝x，即ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个同为异号的实数根，
∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象与x轴的负半轴有两个交点，
故选：B．
【方法总结】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，由题目已知图象得出方程ax2+bx+c＝x，即ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个同为异号的实数根是解题的关键．
【考点3 二次函数的增减性】
【例3】（2018春•利津县期末）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【思路点拨】由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【答案】解：∵二次函数线y＝﹣（x+1）2+k，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝﹣1．
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k上的三点，
而三点横坐标离对称轴x＝3的距离按由近到远为：
（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴y1＞y2＞y3
故选：A．
【方法总结】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
【变式3-1】（2019秋•宣威市校级月考）已知二次函数，若自变量分别取，，，且，则对应的函数值，，的大小关系正确的是　　
A ． B ． C ． D ．
【思路点拨】先根据抛物线的性质得到抛物线对称轴，则x＞﹣时，y随x的增大而减小，于是由0＜x1＜x2＜x3即可得到y1，y2，y3的大小关系．
【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
而抛物线开口向下，
所以当x＞﹣时，y随x的增大而减小，
所以当0＜x1＜x2＜x3时，y1＞y2＞y3．
故选：A．
【方法总结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
【变式3-2】（2018秋•建昌县期中）已知抛物线过，，，四点，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．不能确定
【思路点拨】根据A（﹣3，0）、B（1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C、D两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系．
【答案】解：∵抛物线过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即y1＜y2．
故选：C．
【方法总结】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．
【变式3-3】（2018•南海区期中）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：


0
1
2
3



5
2
1
2

点，、，在函数的图象上，则当，时，与的大小关系正确的是　　
A．y1≥y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
【思路点拨】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A的对称点，利用增减性即可得出答案．
【答案】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），
代入得：且，
解得：a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故选：B．
【方法总结】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．
【考点4 二次函数图象的平移】
【例4】（2018秋•花都区期中）抛物线经过平移得到，平移方法是　　
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
【思路点拨】由抛物线y＝﹣2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【答案】解：∵抛物线y＝﹣2x2得到顶点坐标为（0，0），
而平移后抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
故选：D．
【方法总结】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
【变式4-1】（2019•天津校级期中）已知抛物线与轴相交于点，（点在点左侧），顶点为．平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为　　
A． B． C． D．
【思路点拨】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．
【答案】解：当y＝0，则0＝x2﹣4x+3，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
y＝x2﹣4x+3
＝（x﹣2）2﹣1，
∴M点坐标为：（2，﹣1），
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为：y＝（x+1）2＝x2+2x+1．
故选：A．
【方法总结】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．
【变式4-2】（2018秋•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
【思路点拨】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【答案】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∵把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，
∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），
∴抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．
故选：D．
【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．
【变式4-3】（2018秋•襄州区期中）将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数的图象，用，的值分别是　　
A．， B．， C．， D．，
【思路点拨】把二次函数y＝x2﹣2x+1的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝x2+bx+c的图象．
【答案】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象的顶点坐标为（1，0），
把点（1，0）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（4，﹣2），
∴原抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2，即y＝x2﹣8x+14，
即b＝﹣8，c＝14．
故选：C．
【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【考点5 二次函数的图象与a，b，c的关系】
【例5】（2018秋•渝中区校级期中）已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确的结论有　　

A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【思路点拨】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【答案】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a﹣c＞0，
故②正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
∴4a+c＞﹣2b，
故③正确；
④∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a+c＜0，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确，
故选：C．
【方法总结】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
【变式5-1】（2018秋•苍溪县期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
【答案】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵把x＝1代入抛物线得：y＝a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3b+2c＜0，∴②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c的值最大，
即把x＝m代入得：y＝am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm+b≤a，
即m（am+b）+b≤a，∴③正确；
∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，
则（a+c）2﹣b2＜0，
即（a+c）2＜b2，故④正确；
故选：D．
【方法总结】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法，同时注意特殊点的运用．
【变式5-2】（2018秋•江岸区期中）已知二次函数，过，，．
①若时，则
②若时，则
③若，，且，则
④若，，且，则抛物线的顶点一定在第三象限
上述四个判断正确的有　　个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c，此时，确定不了y的值，∴a+b+c＞0，正确；
②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，分两种情况，a＝b＞0，则y2＞y1，否则，故y1＜y2，故错误；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，a＞0，正确；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．
【答案】解：①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c＞0此时，正确；
②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，也确定不了y1、y2的大小，故y1＜y2，错误；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，
解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正确；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，
即：a+b+c＞0，
把b、c的值代入上式得：a＞1，
则b＞1，c＞﹣2，
顶点的x坐标＝﹣＜0，顶点的y坐标＝＝﹣2﹣＜0，
故顶点一定在第三象限，正确；
故选：C．
【方法总结】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．
【变式5-3】（2019•凉山州）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a；
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；
③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；
④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；
【答案】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，
∴x＝﹣＝﹣，
∴b＝3a，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，
∴10a﹣4b+2c＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，
③正确；
由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，
∴当x＝1时a+b+c＜0，
∵b＝3a，
∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，
∴4b+3c＜0，
④错误；
故选：A．
【方法总结】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
【考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系】
【例6】（2019春•天心区校级期中）函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【思路点拨】由图可知ax2+bx+c﹣2＝0的根的情况即图中图象和x轴交点的横坐标，为两个不相等的正数．
【答案】解：∵函数的顶点的纵坐标为3，
∴直线y＝3与函数图象只有一个交点，
∴y＝ax2+bx+c﹣2，相当于函数y＝ax2+bx+c的图象向下平移2个单位，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0的根为两个不相等的实数根．
故选：A．
【方法总结】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线y＝3与抛物线的交点个数．
【变式6-1】（2019春•安吉县期中）如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　

A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5
【思路点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．
【答案】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，
∴3＜t≤4．
故选：B．
【方法总结】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式6-2】（2018秋•福清市期中）函数中与的对应关系如下表所示，方程两实数根中有一个正根，下列对的估值正确的是　　


0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75






0.0725
0.19
0.3125

A． B． C． D．
【思路点拨】利用x＝0.6时，y＝x2+x﹣1＝﹣0.04；x＝0.65时，y＝x2+x﹣1＝0.0725，从而可判断当0.6＜x＜0.65时，y＝x2+x﹣1的值能等于0，从而得到方程x2+x﹣1＝0一个正根x1的范围．
【答案】解：∵x＝0.6时，y＝x2+x﹣1＝﹣0.04；x＝0.65时，y＝x2+x﹣1＝0.0725，
∴当0.6＜x＜0.65时，y＝x2+x﹣1的值能等于0，
∴方程x2+x﹣1＝0两实数根中有一个正根x1，则0.6＜x1＜0.65．
故选：C．
【方法总结】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
【变式6-3】（2019秋•萧山区期中）已知关于的方程，存在，是方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是　　
A． B． C． D．
【思路点拨】令抛物线解析式中y＝0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向上得到a＜x＜b时y小于0，得到x＝m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系．
【答案】解：令函数y＝2+（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn+2，
∴抛物线开口向上，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝﹣2的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝2＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为m＜a＜b＜n．
故选：A．
【方法总结】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．
【考点7 二次函数解析式】
【例7】经过，，三点的抛物线解析式是　　．
【思路点拨】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a＝3，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，
故答案为y＝﹣x2+x+3．
【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式7-1】若二次函数的与的部分对应值如下表：











3
5
3
则二次函数的解析式为　 　．
【思路点拨】取三组对应值（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到抛物线解析式．
【答案】解：把（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．
故答案为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．
【方法总结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【变式7-2】（2019秋•荣成市期中）二次函数在时，有最小值，且函数的图象经过点，则此函数的解析式为　 　．
【思路点拨】由条件可知其顶点坐标为（，），可设顶点式，再把点（0，2）代入可求得函数的解析式．
【答案】解：∵二次函数在x＝时，有最小值，
∴抛物线的顶点是（，），
∴设此函数的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，
∵函数图象经过点（0，2），
∴2＝a（0﹣）2﹣，
解得a＝1，
∴此函数的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x+2．
故答案为y＝x2﹣3x+2．
【方法总结】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．
【变式7-3】（2013秋•潜山县校级月考）抛物线与轴两个交点为，，其形状与抛物线相同，则抛物线解析式为　 　．
【思路点拨】根据抛物线形状相同则a的值相同，再将（﹣1，0），（3，0）代入抛物线求出b，c的值即可．
【答案】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y＝2x2相同，
∴或，
∴解得：或，
∴抛物线解析式为：y＝2x2﹣4x﹣6或y＝﹣2x2+4x+6．
故答案为：y＝2x2﹣4x﹣6或y＝﹣2x2+4x+6．
【方法总结】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出a的值是解题关键．
【考点8 二次函数的应用—销售问题】
【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件与销售单价（元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
（1）设该公司每月获得利润为（元，求每月获得利润（元与销售单价（元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
【答案】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，
即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；

（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5
又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．
∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，
∴当x＝24时，W＝2880，
答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．
【方法总结】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降元，每天获利元．
（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？
（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？
【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；
（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；
【答案】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，
∵20+2x≥44，
∴x≥12，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，获利最大值1232；
答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；
（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴x＝10或x＝20，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，
当10≤x≤20时，y≥1200，
答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；
【方法总结】本题考查一次函数和二次函数的性质；能够从情境中列出函数关系式，借助函数的性质解决实际问题；
【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为，种草所需费用（元与的函数关系图象如图所示，栽花所需费用（元与的函数关系式为．
（1）求（元与的函数关系式；
（2）设这块空地的绿化总费用为（元，请利用与的函数关系式，求绿化总费用的最大值．

【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y1（元）与x（m2）的函数关系式
（2）总费用为W＝y1+y2，列出函数关系式即可求解
【答案】解：
（1）依题意
当0≤x≤600时，y1＝k1x，将点（600，18000）代入得18000＝600k1，解得k1＝30
∴y1＝30x
当600＜x≤1000时，y1＝k2x+b，将点（600，18000），（1000，26000）代入得
，解得
∴y1＝20x+600
综上，y1（元）与x（m2）的函数关系式为：
（2）总费用为：W＝y1+y2
∴W＝
整理得
故绿化总费用W的最大值为32500元
【方法总结】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用．根据函数解析式即可求最大值，但要注意自变量的取值范围．
【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商
品在未来40天内的日销售量（件与时间（天的关系如下表：
时间（天
1
3
5
10
36

日销售量（件
94
90
86
76
24

未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件与（天之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
【答案】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0），
将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90
代入，
解得，
∴m＝﹣2t+96；

（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，
则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，
∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．
P2＝（﹣2t+96）•（t+40﹣20）＝﹣t2+8t+1920＝（t﹣44）2﹣16，
∵当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小，
∴t＝21时，P2有最大值，为513元．
∵513＜578，
∴第14天日销售利润最大，最大利润为578元．
【方法总结】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．
【考点9 二次函数的应用—面积问题】
【例9】（2018秋•开封期中）如图，用长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长，设矩形的宽为．
（1）用含的代数式表示矩形的长；
（2）设矩形的面积为，用含的代数式表示矩形的面积，并求出自变量的取值范围；
（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；
（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；
（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．
【答案】解：（1）∵AB＝CD＝xm，
∴BC＝（30﹣2x）m，

（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；

（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5，
此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．
答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．
【方法总结】此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，应注意配方法求最大值在实际中的应用．
【变式9-1】（2018秋•洛阳期中）为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为．
（1）求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）请你帮养殖户小李计算一下边多长时，养殖区面积最大，最大面积为多少？

【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；
（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．
【答案】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，
∴BC×DF＝BC×FC，
∴2FC＝DC，
2BC+8FC＝120，
∴FC＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），
即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；
（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675
可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．
【方法总结】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大值的问题常利函数的增减性来解答．
【变式9-2】（2018秋•洪山区期中）如图，是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点在边上，点在的延长线上，，设的长为米，改造后苗圃的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，此时的长为　　米．
（3）当为何值时改造后的矩形苗圃的最大面积？并求出最大面积．

【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【答案】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；

（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，
解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
答：BE的长为4米；
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；
（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，
所以当x＝2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
【方法总结】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式9-3】（2018秋•鼓楼区期中）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为．
（1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？

【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；
（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．
【答案】解：（1）由题意可得，
y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵24﹣3x≤10，3x＜24，
解得，x≥且x＜8，
∴，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（）；
（2）当y＝45时，
45＝﹣3x2+24x，
解得，x1＝3（舍去），x2＝5，
答：AB的长应为5m．
【方法总结】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【考点10 二次函数的应用—抛物线问题】
【例10】（2019秋•南海区校级期中）如图，已知排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.4米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方1.6米的点向正前方飞出，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网的点处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．
【答案】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，
将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，
解得：a＝﹣，
∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；
由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，
故这次她可以拦网成功；

（3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，
将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝，
∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，
根据题意，得：，
解得：h≥3.025，
答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．
【方法总结】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
【变式10-1】（2019秋•台安县期中）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为．
（1）求球在空中运行的最大高度为多少？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？

【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；
（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．
【答案】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），
∴球在空中运行的最大高度为m；

（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，
解得：x＝±1.5，
∵x＞0，
∴x＝1.5；
当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，
解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，
由1.5+2.5＝4（m），
故他距离篮筐中心的水平距离是4米．
【方法总结】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式10-2】甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．
（1）当时，①求的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值．

【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；
（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．
【答案】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，
解得：h＝；
②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；

（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：
，
解得：，
∴a＝﹣．
【方法总结】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【变式10-3】（2019秋•萧山区期中）小明跳起投篮，球出手时离地面，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离处达到最高．已知篮筐中心距地面，与球出手时的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线对应的函数关系式；
（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？
（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？

【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；
（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；
（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．
【答案】（本题12分）
（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，
将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，
解得a＝﹣，
∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；

（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝≠3，
∴抛物线不过点（8，3），
故不能正中篮筐中心；
∵抛物线过点（8，），
∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移7/9个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．
（3）由（1）求得的函数解析式，
当y＝3.19时，3.19＝﹣19（x﹣4）2+4
解得：x1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），
x2＝1.3
∴球员乙距离甲球员距离小于1.3米时，即可盖帽成功．
【方法总结】本题是二次函数的应用，属于常考题型，此类题的解题思路为：①先根据已知确定其顶点和与y轴交点或x轴交点，求解析式；②根据图形中的某点坐标得出相应的结论．
【考点11 二次函数与图形面积的综合】
【例11】如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，求的值．

【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA＝OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积＝梯形OBCD面积﹣三角形ACD面积﹣三角形AOB面积，求出即可．
【答案】解：（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，﹣1），
将x＝0，y＝﹣1代入抛物线解析式得：a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2＝﹣x2﹣2x﹣1；
（2）过C作CD⊥x轴，
将C（﹣3，b）代入抛物线解析式得：b＝﹣4，即C（﹣3，﹣4），
则S△ABC＝S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB＝×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1＝3．

【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式11-1】（2019•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为，并经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直线与该二次函数的图象交于点（非原点），求点的坐标和的面积；

【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；
（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；
【答案】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得
0＝a（2﹣1）2﹣3，
解得：a＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；
（2）由题意，得
，
解得：．
∵交点不是原点，
∴B（3，9）．
如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y＝6x﹣9．
当y＝0时，y＝1.5．
∴E（1.5，0），
∴OE＝1.5，
∴S△AOB＝S△AOE+S△BOE，
＝+，
＝9．
答：B（3，9），△AOB的面积为9；
【变式11-2】（2019春•利津县期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求点，点和点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；
（3）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．

【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．
（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【答案】解：（1）由 y＝0，得 x2+x﹣2＝0 解得 x＝﹣2 x＝l，
∴A（﹣2，0），B（l，0），
由 x＝0，得 y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．

设直线 AC 为 y＝kx+b，则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得 k＝﹣l，y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝﹣，当 x＝﹣时，y＝_（﹣）﹣2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）．

（3）过点M作MN⊥x轴与点N，

设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，
S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝（x+2）（﹣x2﹣x+2）+（2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+×1×2
＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4．
∵﹣1＜0，
∴当x＝_l时，S四边形ABCM的最大值为4．
【方法总结】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
【变式11-3】如图，二次函数的图象经过点与．
（1）求，的值；
（2）点是该二次函数图象上，两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形的面积关于点的横坐标的函数表达式，并求的最大值．

【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．
【答案】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
S△OAD＝OD•AD＝×2×4＝4；
S△ACD＝AD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；
S△BCD＝BD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，
则S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．

【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
【考点12 与二次函数有关的存在性问题】
【例12】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y＝7﹣2x只有一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）将C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得c＝b+1，联立抛物线y＝﹣x2+bx+b+1与直线y＝7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△＝0求b的值即可；
（2）直线y＝﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．
【答案】解：（1）把点C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c＝0，解得c＝b+1，
联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b＝0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，
解得b＝﹣10或2，
∵c＝b+1＞0，∴b＝2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在满足题意的点Q．
联立，
解得或，
则A（0，3），B（3，0），
由抛物线y＝﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x＝1，
由勾股定理，得AB＝3，
当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；
当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；
当AB为底时，Q（1，1）．
故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．

【方法总结】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，根据等腰三角形的性质，分类求Q点的坐标．
【变式12-1】（2019•齐齐哈尔一模）如图， 过点、的抛物线与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．
（1） 求抛物线解析式；
（2） 求抛物线顶点的坐标；
（3） 若抛物线的对称轴上存在点使，求此时的长 ．

【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得解析式；
（2）把抛物线解析式化成顶点式，即可得出顶点坐标；
（3）求出△POC的面积，由三角形的面积关系得出PF＝3，求出直线BC的解析式，得出F的坐标，再分两种情况讨论，即可得出DP的长．
【答案】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：b＝2，c＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（3）设BC与抛物线的对称轴交于点F，如图所示：
则点F的横坐标为1，
∵y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴OC＝3，
∴△POC的面积＝×3×1＝，
∵△PCB的面积＝△PCF的面积+△PBF的面积＝PF（1+2）＝3×，
解得：PF＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+a，则，
解得：a＝3，k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴F的坐标为（1，2），
∴EF＝2，
当点P在F的上方时，PE＝PF+EF＝5，
∴DP＝5﹣4＝1；
当点P在F的下方时，PE＝PF﹣EF＝3﹣2＝1，
∴DP＝4+1＝5；
综上所述：DP的长为1或5．

【方法总结】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式；求出抛物线的顶点坐标和与y的交点坐标是本题的关键．
【变式12-2】如图， 已知抛物线与轴交于点、两点， 与轴交于点， 点的坐标为，抛物线与直线交于、两点 ． 连接、．
（1） 求的值 ．
（2） 抛物线上有一点，满足，求点的坐标 ．

【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；
【答案】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+3过（3，0），
∴0＝﹣9+3m+3，
∴m＝2
（2）由，得，，
∴D（，﹣），
∵S△ABP＝4S△ABD，
∴AB×|yP|＝4×AB×，
∴|yP|＝9，yP＝±9，
当y＝9时，﹣x2+2x+3＝9，无实数解，
当y＝﹣9时，﹣x2+2x+3＝﹣9，x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．
【方法总结】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
【变式12-3】（2018•绥阳县模拟）如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上点和点之间是否存在一点使得四边形的面积最大，若存在求出四边形的最大面积，若不存在，请说明理由．
（3）直线上有一点，使得时，过作轴于，点为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，，四点为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标．

【思路点拨】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出点C，D坐标，再建立四边形OBHC的面积于点H横坐标的函数关系式即可得出结论；
（3）先确定出点E的坐标，利用待定系数法得出直线BD的解析式，利用PC＝PE建立方程即可求出a，求出点P坐标，设出点M的坐标，进而得出点G，N的坐标，利用FM＝MG建立方程求解即可得出结论．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）当x＝﹣1时，y＝﹣4，所以点D（﹣1，﹣4）
当x＝0时，y＝﹣3，所以点C（0．﹣3）
设点H（a，a2+2a﹣3）（﹣3＜a＜﹣1）
所以S四边形OBHC＝S△OBH+S△OCH
＝OB×|a2+2a﹣3|+OC×|a|
＝（3﹣2a﹣a2）﹣a
＝﹣a2﹣+
当a＝﹣＝﹣时，S四边形OBHC＝．

（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣6，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2＝（m+1）2+（﹣2m﹣6）2，PC2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∵PC＝PE，
∴（m+1）2+（﹣2m﹣6）2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣2×（﹣2）﹣6＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM＝MG，
∴|d+2|＝|d2+2d﹣3|，
∴d＝或d＝，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．

【方法总结】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的顶点坐标，勾股定理，正方形的性质，解（2）的关键是用PC＝PE建立方程求解，解（3）的关键是解绝对值方程，是一道中等难度的中考常考题．