初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数习题，共34页。
1．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，铅球运行路线如图．


（1）求铅球推出的水平距离；


（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m？





2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．


（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？


（2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？





3．如图，已知直线AB经过x轴上的点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知点B坐标为（1，1）


（1）求直线和抛物线的解析式；


（2）如果D为抛物线上的一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求点D坐标．





4．如图，矩形O′A′BC′是矩形OABC绕点B逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3），顶点M的纵坐标为﹣1，求二次函数对称轴右侧的图象上点P，使得△POB是以OB为直角边的直角三角形．





5．张强在一次投掷铅球时，刚出手时铅球离地面m，铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，如图所示：


（1）请确定这个抛物线的顶点坐标；


（2）求抛物线的函数关系式；


（3）张强这次投掷成绩大约是多少？





6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，﹣3）．


（1）求此抛物线的解析式；


（2）若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA的最大面积；


（3）若点Q在x轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠QGA＝45°，求点Q的坐标．





7．已知二次函数y＝a（x2﹣6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．


（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；


（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；


（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．





8．已知抛物线y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．


（1）求抛物线的解析式；


（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；


（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．





9．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．


（1）当m＝0时，求该函数的零点；


（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；


（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．


10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．


（1）求抛物线的解析式；


（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；


（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．





11．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．


（1）求抛物线的函数关系式；


（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；


（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．





12．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．


（1）求二次函数与一次函数的解析式；


（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．





13．已知如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若A（﹣1，0），且OC＝3OA


（1）求抛物线的解析式


（2）若M点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC、CM、MB，求四边形MBAC面积的最大值


（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方．若∠NBD＝∠DCA，试求E点的坐标．





14．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．


（1）求点A、B、C的坐标；


（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；


（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；


（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．





15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．





（1）b＝ ，c＝ ，点B的坐标为 ；（直接填写结果）


（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；


（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．


16．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．


（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；


（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；


①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？


②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．





17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．


（1）求抛物线的解析式；


（2）猜想△EDB的形状并加以证明；


（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．





18．已知：如图，直线y＝3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．


（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；


（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；


（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．













































































参考答案


1．解：（1）当y＝0时，﹣x2+x+＝0，


解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），


所以推铅球的水平距离是10米．





（2）＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）+＝﹣（x2﹣8x+16）++


＝﹣（x﹣4）2+3，


当x＝4时，y取最大值3，


所以铅球行进高度不能达到4m，最高能达到3m．


2．解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为．


A（0，），B（4，4），C（7，3）


设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，


将点（0，）代入可得：16a+4＝，


解得：a＝﹣，


∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+4；


将C（7，3）点坐标代入抛物线解析式得：


∴﹣（7﹣4）2+4＝3


∴左边＝右边


即C点在抛物线上，


∴此球一定能投中．


（2）能拦截成功．


理由：将x＝1代入y＝﹣（x﹣4）2+4得y＝3


∵3＜3.1


∴他能拦截成功．





3．解：（1）设直线AB所表示的函数解析式为y＝kx+b，


∵它过点A（2，0）和点B（1，1），


∴，


解得．


∴直线AB所表示的函数解析式为y＝﹣x+2，


∵抛物线y＝ax2过点B（1，1），


∴a×12＝1，


解得a＝1，


∴抛物线所表示的函数解析式为y＝x2；





（2）解方程组，


得，，


∴C点坐标为（﹣2，4），


∵B点坐标为（1，1），A点坐标为（2，0），


∴OA＝2，S△OAC＝×2×4＝4，


S△OAB＝×2×1＝1，


∴S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB＝4﹣1＝3，


设D点的纵坐标为yD，


则S△OAD＝×OA×|yD|＝×2×|yD|＝3，


∴yD＝3


y＝3代入y＝x2，


得x＝±，


∴D点坐标为（，3）或（﹣，3）．


4．解：如图，连接OB，


由旋转的性质得，OB＝O′B，


∵B（1，3），


∴点O′（2，0），


∵顶点M的纵坐标为﹣1，


∴M（1，﹣1），


设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，


则a（2﹣1）2﹣1＝0，


解得a＝1，


所以，抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，


①把△AOB绕点O顺时针旋转90°得B′（3，﹣1）的坐标，


所以，直线OB′的解析式为y＝﹣x，


联立，


解得（舍去），，


所以，点P的坐标为（，﹣），


②把△AOB绕点B逆时针旋转90°得到点O′（4，2），


设直线BO′的解析式为y＝kx+b，


则，


解得，


所以，直线O′B的解析式为y＝﹣x+，


联立，


解得，（舍去），


所以，点P的坐标为（，），


综上所述，△POB是以OB为直角边的直角三角形时，P（，﹣）或（，）．





5．解：（1）由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，故能知道顶点坐标为（4，3）；





（2）设抛物线的函数关系式y＝a（x﹣b）2+c，


由题意知b＝4，a＝﹣，c＝3，


故；





（3）令y＝0，解得x＝10，


故张强这次投掷成绩大约是10m．


6．解：（1）把A（6，0），B（﹣2，0），C（0，﹣3）代入物线y＝ax2+bx+c得：


，


解得：，


则抛物线的解析式是y＝x2﹣x﹣3；





（2）如图1，过点H作HM⊥AB于H，


设点H的坐标为：（m，m2﹣m﹣3），


则HM＝﹣m2+m+3，OM＝m，


∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0），


∴OA＝6，OC＝3，


∴AM＝6﹣m，


∴S四边形OCHA


＝S△AMH+S梯形形OMHC


＝AM•HM+（OC+MH）•OM


＝（6﹣m）（﹣m2+m+3）+（3﹣m2+m+3）m


＝﹣m2+m+9，


∴四边形OCHA的最大面积是；＝，


（3）如图2，过点G作GQ⊥AB于Q，


∵点G为该抛物线的顶点，


∴点G的坐标为（2，﹣4），


∴AQ＝GQ＝4，


∴∠AGQ＝45°，


∴点Q的坐标为（2，0）．








7．解：（1）令y＝0，由a（x2﹣6x+8）＝0，


解得x1＝2，x2＝4；


令x＝0，解得y＝8a，


∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），


该抛物线对称轴为直线x＝3，


∴OA＝2，


如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM＝1，


由题意得：O′A＝OA＝2，


∴O′A＝2AM，


∴∠O′AM＝60°，


∴∠OAC＝∠O′AC＝60°，


∴OC＝2，即8a＝2，


∴a＝；





（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，


①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM，


∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，


∴PB≤4，PC≥4，


∴PC＞PB，


又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，


∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，


∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，


②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），


∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），


∴FB＝3，GB＝，


∴3≤PB，


∵PC≥4，


∴PC＞PB，


又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，


∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，


∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；





（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，


如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，


∴PA＝PB，


∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，


∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，﹣a），


点P的坐标是（3，t），


∴PC2＝32+（t﹣8a）2，PD2＝（t+a）2，


由PC＝PD得PC2＝PD2，


∴32+（t﹣8a）2＝（t+a）2，


整理得：7a2﹣2ta+1＝0有两个不相等的实数根，


∴a＝＝，


∴a＝或a＝，


∵t＞3，


∴显然a＝或a＝，满足题意，


∴当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a＝或a＝，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．











8．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），


∴，解得a＝﹣1，c＝3，


∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．





（2）对称轴为x＝＝1，


令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴C（﹣1，0）．


如图1所示，连接AB，与对称轴x＝1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC＝DB+DA＝AB最小．


设直线AB的解析式为y＝kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：


，解得k＝﹣1，b＝3，


∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．


当x＝1时，y＝2，∴D点坐标为（1，2）．





（3）结论：存在．


如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，


过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y，AN＝OA﹣ON＝3﹣x．


S△ABP＝S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB


＝（OB+PN）•ON+PN•AN﹣OA•OB


＝（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3


＝（x+y）﹣，


∵P（x，y）在抛物线上，∴y＝﹣x2+2x+3，代入上式得：


S△ABP＝（x+y）﹣＝﹣（x2﹣3x）＝﹣（x﹣）2+，


∴当x＝时，S△ABP取得最大值．


当x＝时，y＝﹣x2+2x+3＝，∴P（，）．


所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，）．








9．解：（1）当m＝0时，该函数的零点为和；





（2）令y＝0，得△＝（﹣2m）2﹣4[﹣2（m+3）]＝4（m+1）2+20＞0


∴无论m取何值，方程x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0总有两个不相等的实数根．


即无论m取何值，该函数总有两个零点．





（3）依题意有x1+x2＝2m，x1x2＝﹣2（m+3）


由，


解得m＝1．


∴函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8．


令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4


∴A（﹣2，0），B（4，0）


作点B关于直线y＝x﹣10的对称点B′，连接AB′，


则AB’与直线y＝x﹣10的交点就是满足条件的M点．


易求得直线y＝x﹣10与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，﹣10）．


连接CB′，则∠BCD＝45°


∴BC＝CB’＝6，∠B′CD＝∠BCD＝45°


∴∠BCB′＝90°


即B′（10，﹣6）


设直线AB′的解析式为y＝kx+b，则，


解得：k＝﹣，b＝﹣1；


∴直线AB′的解析式为，


即AM的解析式为．





10．解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在抛物线y＝x2+bx+c上，则，解得，


∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；





（2）存在，理由：


∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，


∴抛物线对称轴为直线x＝，


∴D（，0），且C（0，2），


∴CD＝＝，


∵点P在对称轴上，


∴可设P（，t），


∴PD＝|t|，PC＝，


当PD＝CD时，则有|t|＝，解得t＝±，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；


当PC＝CD时，则有＝，解得t＝0（与D重合，舍去）或t＝4，


此时P点坐标为（，4）；


综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；





（3）当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，


∴A（﹣1，0），B（4，0），





设直线BC解析式为y＝kx+s，由题意可得，解得，


∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，


∵点E是线段BC上的一个动点，


∴可设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m2+m+2），


∴EF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，


∴S△CBF＝×4•EF＝2[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，


∵﹣1＜0，


∴当m＝2时，S△CBF有最大值，最大值为4，


此时﹣x+2＝1，


∴E（2，1），即E为BC的中点，


∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为（2，1）．


11．方法一：


解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：


，


解得：


∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．





（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；


∵点A、B关于直线l对称，


∴PA＝PB，


∴BC＝PC+PB＝PC+PA


设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：


，解得：


∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；


当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．





（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：


MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；


①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：


m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；


②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：


m2+4＝10，得：m＝±；


③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：


m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；


当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；


综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．


方法二：


（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），


∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．





（2）连接BC，


∵l为对称轴，


∴PB＝PA，


∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．





（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），


∵△MAC为等腰三角形，


∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，


（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，


（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，


（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，


经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，


综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．





追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．


（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，


作HG⊥AO，垂足为G，


∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，


∴∠GHO＝∠GAH，


∴△GHO∽△GAH，


∴HG2＝GO•GA，


∵A（﹣1，0），C（0，3），


∴lAC：y＝3x+3，H（﹣，），


∵H为OO′的中点，


∴O′（﹣，），


∵D（1，4），


∴lO′D：y＝x+，lAC：y＝3x+3，


∴x＝﹣，y＝，


∴Q（﹣，）．








12．解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m＝0，解得m＝﹣1，


所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；


当x＝0时，y＝4﹣1＝3，


所以C点坐标为（0，3），


由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝2，


所以B点坐标为（4，3），


将A（1，0）、B（4，3）代入y＝kx+b得，解得，


所以一次函数解析式为y＝x﹣1；





（2）当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．


13．解：（1）∵A（﹣1，0），


∴OA＝1，OC＝3OA＝3，


∴C（0，﹣3），


将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，


∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；


（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，


∴B（3，0），A（﹣1，0），


∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，


当△BCM的面积最大时，四边形MBAC的面积最大


设M（m，m2﹣2m﹣3），


过点M作MQ∥y轴交BC于Q，如图1，则Q（m，m﹣3），


∴MQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，


当m＝时，MN有最大值，


∴S△BCM的最大值为××3＝，


∴S四边形MBAC的最大值为6+＝；


（3）作DH⊥BN于H，如图2，


∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），


∴OA＝1，OC＝3，


∵∠NBD＝∠DCA，


∴Rt△BDH∽Rt△CAO，


∴＝，即＝，即BH＝3DH，


∵直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，


∴ON＝OC＝3，


∴△BON为等腰直角三角形，


∴BN＝3，∠BNO＝45°，


∴∠DNH＝45°


∴△DHN为等腰直角三角形，


∴DH＝HN＝DN，


∴3+DH＝3DH，解得DH＝，


∴DN＝DH＝3，


∴D（0，6），


设直线BD的解析式为y＝kx+b，


把D（0，6），B（3，0）代入得，解得，


∴直线BD的解析式y＝﹣2x+6，


解方程组，解得或，


∴E（﹣3，12）．





14．解：


（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．


令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，


解得，x＝﹣3或x＝l，


∴A（﹣3，0），B（1，0）．


（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．


∵M（m，0），


∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，


∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．


（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，


∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．


∵A（﹣3，0），C（0，3），


设直线AC的解析式y＝kx+b，


∴


解得k＝l，b＝3，


∴解析式y＝x+3，


令x＝﹣2，则y＝1，


∴E（﹣2，1），


∴EM＝1，AM＝1，


∴S＝AM×EM＝．


（4）∵M（﹣2，0），抛物线的对称轴为x＝﹣l，


∴N应与原点重合，Q点与C点重合，


∴DQ＝DC，


把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，


∴D（﹣1，4），


∴DQ＝DC＝．


∵FG＝2DQ，


∴FG＝4．


设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），


∵点G在点F的上方且FG＝4，


∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4．


解得n＝﹣4或n＝1，


∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．


15．解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．


∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．


∵令x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．


∴点B的坐标为（﹣1，0）．


故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．


（2）存在．


理由：如图所示：





①当∠ACP1＝90°．


由（1）可知点A的坐标为（3，0）．


设AC的解析式为y＝kx﹣3．


∵将点A的坐标代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，


∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．


∴直线CP1的解析式为y＝﹣x﹣3．


∵将y＝﹣x﹣3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝1，x2＝0（舍去），


∴点P1的坐标为（1，﹣4）．


②当∠P2AC＝90°时．


设AP2的解析式为y＝﹣x+b．


∵将x＝3，y＝0代入得：﹣3+b＝0，解得b＝3．


∴直线AP2的解析式为y＝﹣x+3．


∵将y＝﹣x+3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），


∴点P2的坐标为（﹣2，5）．


综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．


（3）如图2所示：连接OD．





由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．


根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．


由（1）可知，在Rt△AOC中，


∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，


∴D是AC的中点．


又∵DF∥OC，


∴．


∴点P的纵坐标是．


∴，解得：．


∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．


16．解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．


抛物线的对称轴是：直线x＝1．





（2）①设直线BC的函数关系式为：y＝kx+b．


把B（3，0），C（0，3）分别代入得：


解得：．


所以直线BC的函数关系式为：y＝﹣x+3．


当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，


∴E（1，2）．


当x＝m时，y＝﹣m+3，


∴P（m，﹣m+3）．


在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4．


∴D（1，4）


当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，


∴F（m，﹣m2+2m+3）


∴线段DE＝4﹣2＝2，


线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m


∵PF∥DE，


∴当PF＝ED时，四边形PEDF为平行四边形．


由﹣m2+3m＝2，


解得：m1＝2，m2＝1（不合题意，舍去）．


因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．


②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），


可得：OB＝OM+MB＝3．


∵S＝S△BPF+S△CPF


即S＝PF•BM+PF•OM＝PF•（BM+OM）＝PF•OB．


∴S＝×3（﹣m2+3m）＝﹣m2+m（0≤m≤3）．





17．解：


（1）在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，


∴A（4，0），C（0，3），


∵抛物线经过O、A两点，


∴抛物线顶点坐标为（2，3），


∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，


把A点坐标代入可得0＝a（4﹣2）2+3，解得a＝﹣，


∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+3x；


（2）△EDB为等腰直角三角形．


证明：


由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），


∴DE2＝32+12＝10，BD2＝（4﹣3）2+32＝10，BE2＝42+（3﹣1）2＝20，


∴DE2+BD2＝BE2，且DE＝BD，


∴△EDB为等腰直角三角形；


（3）存在．理由如下：


设直线BE解析式为y＝kx+b，


把B、E坐标代入可得，解得，


∴直线BE解析式为y＝x+1，


当x＝2时，y＝2，


∴F（2，2），


①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，


∴点M的纵坐标为2或﹣2，


在y＝﹣x2+3x中，令y＝2可得2＝﹣x2+3x，解得x＝，


∵点M在抛物线对称轴右侧，


∴x＞2，


∴x＝，


∴M点坐标为（，2）；


在y＝﹣x2+3x中，令y＝﹣2可得﹣2＝﹣x2+3x，解得x＝，


∵点M在抛物线对称轴右侧，


∴x＞2，


∴x＝，


∴M点坐标为（，﹣2）；


②当AF为平行四边形的对角线时，


∵A（4，0），F（2，2），


∴线段AF的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1），


设M（t，﹣t2+3t），N（x，0），


则﹣t2+3t＝2，解得t＝，


∵点M在抛物线对称轴右侧，


∴x＞2，


∵t＞2，


∴t＝，


∴M点坐标为（，2）；


综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（，2）或（，﹣2）．


18．解：（1）令y＝3x+3＝0得：x＝﹣1，


故点C的坐标为（﹣1，0）；


令x＝0得：y＝3x+3＝3×0+3＝3


故点A的坐标为（0，3）；


∵△OAB是等腰直角三角形．


∴OB＝OA＝3，


∴点B的坐标为（3，0），


设过A、B、C三点的抛物线的解析式y＝ax2+bx+c，





解得：


∴解析式为：y＝﹣x2+2x+3；





（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，


∴


解得：


∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3


∵线CD∥AB


∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+b


∵经过点C（﹣1，0），


∴﹣（﹣1）+b＝0


解得：b＝﹣1，


∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣1，


令﹣x﹣1＝﹣x2+2x+3，


解得：x＝﹣1，或x＝4，


将x＝4代入y＝﹣x2+2x+3＝﹣16+2×4+3＝﹣5，


∴点D的坐标为：（4，﹣5）；





（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，


过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y，BN＝OB﹣ON＝3﹣x．


S△ABP＝S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB


＝（OA+PN）•ON+PN•BN﹣OA•OB


＝（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3


＝（x+y）﹣，


∵P（x，y）在抛物线上，∴y＝﹣x2+2x+3，代入上式得：


S△PAB＝（x+y）﹣＝﹣（x2﹣3x）＝﹣（x﹣）2+，


∴当x＝时，S△PAB取得最大值．


当x＝时，y＝﹣x2+2x+3＝，


∴P（，）．


所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；


P点的坐标为（，），最大值为：．