2020-2021学年安徽省合肥五十中天鹅湖校区九年级（上）开学数学试卷

2020-2021学年安徽省合肥五十中天鹅湖校区九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列各式不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．无实数根
3．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
6．（3分）如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）平行四边形ABCD各边中点依次是E，F，G，H，关于四边形EFGH，下面结论一定成立的是（　　）
A．有一个内角等于90° B．有一组邻边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
8．（3分）已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值是（　　）
A．7 B．﹣5 C．7 D．﹣2
9．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．4
10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（　　）

A．3 B．3 C．3﹣3 D．6
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是　 　．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是　 　．

14．（3分）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为　 　．

15．（3分）如图，在平行四边ABCD中，BC＝13，AC＝12，AE平分∠BAC，BA⊥AC，BE⊥AE，F是BC的中点，EF＝　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（6分）计算（﹣）×+（﹣3）2÷．
18．（6分）用适当的方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0．
19．（6分）在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点A固定在格点上．
（1）若m是图中能用网格线段表示的最大无理数，则m＝　 　．
（2）请你画出顶点在格点上边长为的所有菱形ABCD（包含正方形），你画出的菱形面积为　 　．

20．（8分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如表所示，已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）（1≤x＜10）的利润为377（元），求x的值．
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形∠EDC＝∠CAB、∠DEC＝90°．
（1）求证：AC∥DE．
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．
（3）连接DF，若矩形ABCD的面积为S1，四边形CEDF的面积为S2，则＝　 　（直接写答案）．

22．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调査了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表，请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
借阅图书次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
（1）a＝　 　b＝　 　；
（2）该调查统计数据的中位数是　 　，众数是　 　；
（3）若该校共有2000名学生，根据调査结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm．E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动，点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝　 　cm，∠EAD＝　 　．
（2）当x＝2时，求y的值；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．


2020-2021学年安徽省合肥五十中天鹅湖校区九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列各式不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由于C选项的被开方数中含有开的劲方的数，因此C选项不是最简二次根式
【解答】解：＝5，因此该选项不是最简二次根式．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．无实数根
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
故选：C．
3．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
故选：C．
4．（3分）一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据多边形的外角和等于360°，用360除以一个多边形的每个外角的度数，求出这个多边形的边数是多少即可．
【解答】解：∵360÷45＝8，
∴这个多边形的边数是8．
故选：A．
5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
6．（3分）如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答本题．
【解答】解：∵＝＝，故可能是“格点线”的长度，故选项A不符合题意；
∵＝＝，故可能是“格点线”的长度，故选项B不符合题意；
∵＝3，故可能是“格点线”的长度，故选项C不符合题意；
∵＝，故不可能是“格点线”的长度，故选项D符合题意；
故选：D．
7．（3分）平行四边形ABCD各边中点依次是E，F，G，H，关于四边形EFGH，下面结论一定成立的是（　　）
A．有一个内角等于90° B．有一组邻边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【分析】由三角形中位线定理得出EF∥GH，EF＝GH，证出四边形EFGH是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵平行四边形ABCD各边中点依次是E，F，G，H，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴对角线互相平分；
故选：D．

8．（3分）已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值是（　　）
A．7 B．﹣5 C．7 D．﹣2
【分析】欲求a2+a+3b的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：由题意知，ab＝﹣1，a+b＝2，x2＝2x+1，即a2＝2a+1
∴a2+a+3b＝2a+1+a+3b＝3（a+b）+1＝3×2+1＝7．
故选：A．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．4
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝8，且∠A＝60°，可证△ABD是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝8，且∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，
∴BE⊥AD，且∠A＝60°，
∴AE＝4，BE＝AE＝4，
∴PE＝BE＝4，
故选：D．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（　　）

A．3 B．3 C．3﹣3 D．6
【分析】连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵▱ABCD中，∠D＝150°，
∴∠EDM＝30°，
∵E是AD边上的中点，
∴DE＝AD＝BC＝3，AE＝A'E＝3，
∴Rt△DEM中，EM＝，DM＝，
∵CD＝6
∴CM＝，
∴Rt△CEM中，CE＝＝3，
∵A'E+A'C≥CE，
∴A'C≥CE﹣A'E，
∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3﹣3，
故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x＞3　．
【分析】主要考查代数式中字母的取值范围，代数式中主要有二次根式和分式两部分．
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数2x﹣6≥0，解得x≥3；
根据分式有意义的条件，2x﹣6≠0，解得x≠3．
∴x＞3．
故答案为：x＞3．
12．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是　﹣10　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣10，x1x2＝﹣1，
∴（x1+1）（x2+1）＝（x1+x2）+x1•x2+1＝﹣10﹣1+1＝﹣10，
故答案为：﹣10．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是　2　．

【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积和．而两个三角形等底即为正方形的边长，它们的高的和等于正方形的边长，得出阴影部分的面积＝正方形面积的一半即可．
【解答】解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积．
而点P到BC的距离与点Q到AD的距离的和等于正方形的边长，
即△AQD和△BCP的面积的和等于正方形的面积的一半，
故阴影部分的面积＝×22＝2．
故答案为：2．
14．（3分）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为　24　．

【分析】根据前a行的点数之和为300，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：1+2+3+…+a＝300，
整理，得：a2+a﹣600＝0，
解得：a1＝24，a2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故答案为：24．
15．（3分）如图，在平行四边ABCD中，BC＝13，AC＝12，AE平分∠BAC，BA⊥AC，BE⊥AE，F是BC的中点，EF＝　3.5　．

【分析】延长BE交AC于H，根据勾股定理求出AB，证明△BAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得到AH＝AB＝5，BE＝EH，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：延长BE交AC于H，
在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴AH＝AB＝5，BE＝EH，
∴HC＝AC﹣AH＝7，
∵BE＝EH，BF＝FC，
∴EF＝HC＝3.5，
故答案为：3.5．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为　或　．

【分析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．
【解答】解：分两种情况：
①当点B′落在AD边上时，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，
∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，
∴AB＝BE，
∴a＝1，
∴a＝；
②当点B′落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，
∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．
在△ADB′与△B′CE中，
，
∴△ADB′∽△B′CE，
∴＝，即＝，
解得a1＝，a2＝﹣（舍去）．
综上，所求a的值为或．
故答案为或．


三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（6分）计算（﹣）×+（﹣3）2÷．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+（3+9﹣6）÷
＝+（12﹣6）÷
＝+4﹣6
＝5﹣6．
18．（6分）用适当的方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】方程找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣5，
∵△＝16+40＝56，
∴x＝＝．
19．（6分）在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点A固定在格点上．
（1）若m是图中能用网格线段表示的最大无理数，则m＝　2　．
（2）请你画出顶点在格点上边长为的所有菱形ABCD（包含正方形），你画出的菱形面积为　5或4　．

【分析】（1）借助网格得出最大的无理数，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质结合网格得出答案即可．
【解答】解：（1）m＝AB＝2；
故答案为：2；

（2）如图所示，菱形ABEF面积为5，菱形ABCD面积为4．
故答案为：5或4．

20．（8分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如表所示，已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）（1≤x＜10）的利润为377（元），求x的值．
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
【分析】（1）该水果每次降价的百分率为y，根据该水果的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据日销售利润＝每千克的利润×日销售量﹣储藏和损耗费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）该水果每次降价的百分率为y，
依题意，得：10（1﹣y）2＝8.1，
解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该水果每次降价的百分率为10%．
（2）依题意，得：（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝377，
整理，得：x2﹣20x+99＝0，
解得：x1＝9，x2＝11（不合题意，舍去）．
答：x的值为9．
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形∠EDC＝∠CAB、∠DEC＝90°．
（1）求证：AC∥DE．
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．
（3）连接DF，若矩形ABCD的面积为S1，四边形CEDF的面积为S2，则＝　2　（直接写答案）．

【分析】（1）要证AC∥DE，只要证明，∠EDC＝∠ACD即可；
（2）要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分别相等；
（3）题意可得S1＝AB×BC，S2＝CD×EF＝AB×BC，即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EDC＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴AC∥DE；

（2）四边形BCEF是平行四边形．
理由如下：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC＝∠AFB＝90°，DC＝AB
在△CDE和△BAF中，
，
∴△CDE≌△BAF（AAS），
∴CE＝BF，DE＝AF，
∵AC∥DE，
即DE＝AF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，
∵AD＝BC，
∴EF＝BC，
∵CE＝BF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（3）如图，连接DF，

∵矩形ABCD的面积为S1＝AB×BC，四边形CEDF的面积为S2＝CD×EF＝AB×BC，
∴＝2，
故答案为2．
22．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调査了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表，请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
借阅图书次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
（1）a＝　17　b＝　20　；
（2）该调查统计数据的中位数是　2次　，众数是　2次　；
（3）若该校共有2000名学生，根据调査结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50人，
∴a＝50﹣（7+13+10+3）＝17，b%＝×100%＝20%，即b＝20，
故答案为：17、20；

（2）由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为：2次、2次；

（3）估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×＝120人．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm．E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动，点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝　3　cm，∠EAD＝　45°　．
（2）当x＝2时，求y的值；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．

【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；
（2）由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，
∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝45°，
故答案为：3，45°；

（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，

∵AP＝，∠DAE＝45°，PF⊥AD，
∴PF＝x＝AF，
∵x＝2，
∴y＝S△PQA＝AQ×PF＝x2＝22＝4（cm2）；

（3）当0＜x≤2时

∵QF＝AF＝x，PF⊥AD
∴PQ＝AP
∵PQ＝cm
∴x＝，
∴x＝；
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD

∴四边形MPFD是矩形
∴PM＝DF＝4﹣x，MD＝PF＝x，
∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，
∵MP2+MQ2＝PQ2，
∴（4﹣x）2+（4﹣x）2＝，
∴x＝4±＞3（不合题意舍去）；
当3＜x≤时，

∵PQ2＝CP2+CQ2，
∴＝1+（7﹣2x）2，
∴x＝，
综上所述：x＝或．