浙教版2021年中考数学总复习《相似三角形》(含答案) 试卷
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《相似三角形》
一 、选择题
1.下列说法:
①所有等腰三角形都相似；
②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；
③有一个角相等的等腰三角形相似；
④有一个角为60 o的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A.②④ B.①③ C.①②④ D.②③④
2.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90°,CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A.(1,2) B.(1,1) C.(，) D.(2,1)
3.在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)
4.如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是( )
A.6.4m B.7m C.8m D.9m
5.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．
下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC=BO•BE．
其中正确结论的个数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6.如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A.0.36πm2 B.0.81πm2 C.2πm2 D.3.24πm2
7.在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y=﹣(x＜0)，y=(x＞0)的图象上，则sin∠ABO的值为( )
A． B． C． D．
8.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二 、填空题
9.如图，已知两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为1：3把线段AB缩小，则点A的对应点坐标是___________．
10.一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为 ．
11.矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为 ．
12.如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=，则EG ．
三 、解答题
13.如图,△ABC中，AD是角平分线，DE//AC交AB于E，已知AB=12，AC=8，求DE.
14.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高.
15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段CP的长．
16.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G.
(1)求四边形OEBF的面积；
(2)求证：OG•BD=EF2；
(3)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长.
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.答案为：C
5.答案为：A.
解析：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO=90°，
∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB(SAS)，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，∴CD=CB，
∵OD=OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO=∠ADB=90°，
∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°，∴∠ADE=∠BDO，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EDA=∠DBE，
∵∠E=∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO=∠EBC=90°，∠E=∠E，∴△EOD∽△ECB，
∴，∵OD=OB，∴ED•BC=BO•BE，故④正确；
故选：A．
6.B
7.答案为：D.
8.答案为：C.
解析：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，
∵AE∥FM，∴===.
9.答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
10.答案为：3或．
解析：分两种情况：
①若∠DEB=90°，则∠AED=90°=∠C，CD=ED，
连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6，BE=10﹣6=4，
设CD=DE=x，则BD=8﹣x，
∵Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，∴x2+42=(8﹣x)2，解得x=3，∴CD=3；
②若∠BDE=90°，则∠CDE=∠DEF=∠C=90°，CD=DE，
∴四边形CDEF是正方形，∴∠AFE=∠EDB=90°，∠AEF=∠B，
∴△AEF∽△EBD，∴=，设CD=x，则EF=DF=x，AF=6﹣x，BD=8﹣x，
∴=，解得x=，∴CD=，综上所述，CD的长为3或，
11.解：如图1，当点P在CD上时，
∵PD=3，CD=AB=9，∴CP=6，∵EF垂直平分PB，
∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，∴EF=6，
如图2，当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB于Q，
∵PD=3，AD=6，∴AP=3，∴PB===3，
∵EF垂直平分PB，∴∠1=∠2，
∵∠A=∠EQF，∴△ABP∽△EFQ，∴，∴，∴EF=2，
综上所述：EF长为6或2．故答案为：6或2．
12.答案为：
13.
14.解：由题意知AM=BN=1.75m，设CD=xm.∵AE=AM，AM⊥EC，∴∠E=45°，
∴EC=CD=xm，AC=(x－1.75)m.
∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴BN∥CD，∴△ABN∽△ACD，
∴，即，解得x=6.125.
答：路灯CD的高为6.125m.
15.解：
（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，
∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，
∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，
∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP，
（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，BC=13cm，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴BC=CD=BC=，
∵△ABD∽△DCP，∴，∴，
∴CP=16.9cm．
16.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD=×1×1=；
(2)证明：∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
∵OB=BD，OE=EF，
∴OG•BD=EF2；
(3)如图，过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，∴OH=BC=，
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH=x(1﹣x)+(1﹣x)×0.5=﹣(x﹣)2+，
∵a=﹣＜0，∴当x=时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=.
