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初中数学人教版八年级上册第十三章轴对称综合与测试课时训练

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这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章轴对称综合与测试课时训练，共8页。试卷主要包含了5°，等内容，欢迎下载使用。
《轴对称与等腰三角形》

LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．

求证： MN⊥BD.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.

(1)求证：DF=EF.

(2)试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.

求证：CE=CF．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知，如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°

（1）求证：①AC=BD；②∠APB=50°；

（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为，∠APB的大小为

LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE.

(1)求∠DBE的大小；

(2)求证：AD=2BE.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．

请你说明DA﹣DB=DC．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：

已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是：．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

参考答案

LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 证明：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，

∴2DM=EC，2BM=EC，

∴DM=BM，

∵点N是BD的中点，

∴MN⊥BD．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，

又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，

∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，

∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，

即直线AD是线段CE的垂直平分线．

LISTNUM OutlineDefault \l 3

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAE=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，，

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：在CD上取一点E使DE=BD，连接AE．

∵BD=DE，且∠AED为△AEC的外角，∠B=2∠C，

∴∠B=∠AED=∠C+∠EAC=2∠C，

∴∠EAC=∠C，

∴AE=EC；

则CD=DE+EC=AB+BD．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：

∵∠ACB＝90°,CD⊥AB

∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°

∵BF平分∠ABC

∴∠CBF＝∠DBE

∵∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB

∴∠CFB＝∠DEB

∵∠FEC＝∠DEB

∴∠CFB＝∠FEC

∴CE＝CF

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：（1）∵∠AOB=∠COD=50°，

∴∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，

∴∠APB=∠AOB=50°．

（2）解：AC=BD，∠APB=α，理由是：

∵∠AOB=∠COD=50°，

∴∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，

∴∠APB=∠AOB=α，

故答案为：AC=BD，α．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠BAC=45°，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAC=22.5°，

∵AE⊥BE，∴∠BED=90°，

∴∠ACD=∠BED=90°，

∵∠ADC=∠BDE，

∴∠DBE=∠CAD=22.5°.

(2)延长AC、BE交于点G.

∵AE⊥BG，∴∠AEB=∠AEG=90°，

在△AEB和△AEG中，，

∴△AEB≌△AEG，

∴BE=EG，

在△ACD和△BCG中，，

∴△ACD≌△BCG，

∴AD=BG=2BE，

∴AD=2BE.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，

∴AB=BC，BE=BD=DE（等边三角形的边相等），

∠ABC=∠EBD=60°（等边三角形的角是60°）．

∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC

∠ABE=CBD （等式的性质），

在△ABE和△CBD中，，

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE=DC（全等三角形的对应边相等）．

∵AD﹣DE=AE（线段的和差）

∴AD﹣BD=DC（等量代换）．

、综合题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，

∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；

在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD=BE，

故答案为AD=BE．

（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．

证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，

∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；

在△ECB和△ACD中， ∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB=∠CAD；

设BE与AC交于Q，

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°

∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，

则△PCH为等边三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°；

又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE；

在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），

∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．