数学九年级上册第二十三章 旋转综合与测试测试题

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《旋转》


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图所示，正方形ABCD中,点F在边BC上，E在边BA的延长线上.


（1）若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合，则旋转中心是点________ ，最少旋转了_______度；


（2）在（1）的条件下，若AE=3，BF=2,求四边形BFDE的面积.






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图所示,已知正方形ABCD的对角线交于O点,O是正方形A′B′C′O ′的一个顶点,两个正方形的边长都为a,若正方形A′B′C′O绕点O任意转动.


试观察其重叠部分 OEBF的面积有无变化,请说明理由;若无变化,求出四边形OEBF的面积.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．


（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；


（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．


△ADP沿点A旋转至△ABP/，连结PP/，并延长AP与BC相交于点Q．


（1）求证：△APP’是等腰直角三角形；


（2）求∠BPQ的大小；


（3）求CQ的长．












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．


（1）求证：△ABD≌△ACE；


（2）求∠ACE的度数；


（3）求证：四边形ABFE是菱形．




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, ÐAOB=ÐCOD =90°．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．





小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．


请你回答：图2中△BCE的面积等于 ．


请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：


如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID．


（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；


（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 ．

















LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．


（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：


（1）EA是∠QED的平分线；


（2）EF2=BE2+DF2．















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．


（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是 __．


（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．


（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边 PM 与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．


(1)在图②中，∠AOF= ；(用含α的式子表示)


(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．






































参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 解：


（1）D ，90.


（2）∵ △DCF旋转后恰好与△DAE重合，


∴ △DCF≌△DAE


∴AE=CF=3


又BF=2


∴BC=BF+CF=5.


∴





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:其重叠部分OEBF的面积无变化.


∵四边形ABCD为正方形,


∴OA=OB, AC ⊥BD,∠OAE=∠OBF=45°.


∵四边形A′B′C′O为正方形,


∴∠C′OA′=90°,即∠BOF+∠BOE=90°.


又∵∠AOE+∠BOE=90°,


∴∠BOF=∠AOE.


在△OAE和△OBF中,OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,∠AOE=∠BOF


∴△AOE≌△BOF,


∴S△AOE=S△BOF.


∴S△AOE+S△OBE=S△BOF+S△OBE,即S△AOB=S四边形OEBF.


∵S△AOB=OA·OB=.


∴S四边形OEBF=.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：








LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明略；45°；.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，


∴∠BAC=∠DAE=40°，


∴∠BAD=∠CAE=100°，


又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，


在△ABD与△ACE中


∴△ABD≌△ACE（SAS）．


（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，


∴∠ACE=40°；


（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，


∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．


∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，


∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，


∴∠BAE=∠BFE，


∴四边形ABFE是平行四边形，


∵AB=AE，


∴平行四边形ABFE是菱形．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：△BCE的面积等于 2 .


（1）如图：以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM .


（2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 3 ．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．





又∵ABCD是正方形，


∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，


∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，


∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．


故∠BQC=90°+45°=135°．


（2）将此时点P的对应点是点P′．





由旋转知，△APB≌△CP′B，


即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．


又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，


才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，


又∵P′B=PB=5，


∴△PBP′也是正三角形，


即∠PP′B=60°，PP′=5．


因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，


∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．


故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，


∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，


在△AQE和△AFE中，


∴△AQE≌△AFE（SAS），


∴∠AEQ=∠AEF，


∴EA是∠QED的平分线；


（2）由（1）得△AQE≌△AFE，


∴QE=EF，


在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）数量关系：相等，位置关系：垂直


故答案为相等且垂直．zhi


（2）成立，理由如下：


∵△MPN是直角三角形，


∴∠MPN=90°．


连接OB，


∴∠OBE=∠C=45°，


∵△ABC，△MPN是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，


∴∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90°，


∴四边形EBFP是矩形，


∴BE=PF


∵PF=CF，


∴BE=CF，


∵OB=OC=0.5AC，


∴在△OEB和△OFC中，


BE＝CF，∠OBE＝∠OCF，OB＝OC


∴△OEB≌△OFC（SAS），故成立，


（3）如图，找BC的中点G，连接OG，


∵O是AC中点，


∴OG∥AB，OG=0.5AB，


∵AB=6，


∴OG=3，


∵OG∥AB，


∴△BHE∽△GOH，


∵EH：HO=2：5，


∴BE：OG=2：5，


而OG=0.5AB=3，


∴BE=1.2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)如图2，∵△OEF绕点O逆时针旋转α角，∴∠DOF=∠COE=α，


∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AOF=90°﹣α；


故答案为90°﹣α；


(2)AF=DE．理由如下：


如图②，∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD=∠COD=90°，OA=OD，


∵∠DOF=∠COE=α，∴∠AOF=∠DOE，


∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF=OE，


在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE(SAS)，


∴AF=DE．