初中人教版第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合达标测试

这是一份初中人教版第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合达标测试，共12页。试卷主要包含了2同步练习，【答案】C，【答案】B，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

初中数学人教版八年级上册第十一章11.2同步练习





一、选择题


如图，在△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数为( )．





A. 76°


B. 81°


C. 92°


D. 104°





如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A等于( )．





A. 35°B. 95°C. 85°D. 75°


如图，∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，则∠DBA+∠ACE等于( )．





A. 180°B. 180°-∠A


C. 180°+∠AD. 以上答案都不对


如图，下列角中是△ACD的外角的是( )．





A. ∠EADB. ∠BACC. ∠ACBD. ∠CAE


如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°则∠C的度数为( )








A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°


如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于( )





A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°


一个三角形三个内角的度数之比是1:2:3，则这个三角形一定是( )


A. 锐角三角形B. 直角三角形


C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形


下列说法正确的是( )


A. 三角形的内角中最多有一个锐角B. 三角形的内角中最多有两个锐角


C. 三角形的内角中最多有一个直角D. 三角形的三个内角都大于60°


已知a//b，一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，∠2=45°，则∠1的度数为( )





A. 100°B. 135°C. 155°D. 165°


如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是( )





A. 120°B. 90°C. 100°D. 30°


二、填空题


如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是_________．











当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_________．


若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于______．


一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是______．











三、解答题


如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=60°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F，求∠AFC的度数．
































已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A=∠DCB．


(1)试说明∠ACB=90°；


(2)如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F.那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．





























探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规律


在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律．


规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半．


规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．





如图(1)，已知点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P=90°+12∠A，∠M=90°-12∠A


证明规律1：


∵BP、CP是△ABC的角平分线，


∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，(1)


∴∠A=180°-2(∠1+∠2)，(2)


∴∠1+∠2=90°-12∠A，


∴∠P=180°-(∠1+∠2)=90°+12∠A．


证明规律2：


∵∠3=12(∠A+∠ACB)，∠4=12(∠A+∠ABC)，


∴∠3+∠4=12(∠A+∠ACB+∠ABC)+12∠A=90°+12∠A，


∴∠M=180°-(∠3+∠4)=90°-12∠A．


请解决以下问题：


(1)写出上述证明过程中步骤(2)的依据是：______；


(2)如图(2)，已知点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角(∠ACD)平分线CQ的交点，请猜想∠Q和∠A的数量关系，并说明理由．























答案和解析


1.【答案】A





【解析】


【分析】


本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°.先根据三角形内角和，得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DBC，进而根据三角形内角和，即可得到∠BDC的度数．


【解答】


解：∵∠A=46°，∠C=74°，


∴∠ABC=60°，


∵BD平分∠ABC，


∴∠DBC=30°，


∴△BCD中，∠BDC=180°-∠C-∠DBC=76°．


故选A．


2.【答案】C





【解析】


【分析】


本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，根据三角形的外角性质和角平分线的定义，先求得∠ACD=120°，再进一步求得答案．


【解答】


解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，


∴∠ACD=120°，


又∵∠ACD=∠A+∠B，


∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°


=85°．


故选C．


3.【答案】C





【解析】


【分析】


本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，可得∠DBA=∠A+∠ACB，∠ACE=∠A+∠ABC，再利用三角形内角和定理求得答案．


【解答】


解：∵∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，


∴∠DBA=∠A+∠ACB，


∠ACE=∠A+∠ABC，


∴∠DBA+∠ACE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC


=180°+∠A．


故选C．


4.【答案】C





【解析】


【分析】


本题考查了三角形的外角，三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，根据概念，结合图形即可求得答案．


【解答】


解：三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，根据概念，△ACD的外角的是∠ACB．


故选C．


5.【答案】B





【解析】


【分析】


本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键.根据三角形内角和定理计算即可．


【解答】


解：由三角形内角和定理得，∠C=180°-∠A-∠B=80°．


故选B．








6.【答案】B





【解析】


【分析】


本题考查的是三角形内角和定理的应用有关知识，根据三角形内角和定理计算即可．


【解答】


解：由三角形内角和定理得，∠C=180°-∠A-∠B=80°，


故选B．


7.【答案】B





【解析】


【分析】


本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．根据三角形内角和等于180°计算即可．


【解答】


解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，


则x+2x+3x=180°，


解得，x=30°，


则3x=90°，


∴这个三角形一定是直角三角形．


故选B．








8.【答案】C





【解析】


【分析】


本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°.根据内角和定理解答即可．


【解答】


解：A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误；


B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误；


C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确；


D、若三角形的内角都大于60°，则三个内角的和大于180°，这样的三角形不存在，故本选项错误．


故选C．





9.【答案】D





【解析】


【分析】


本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和外角，邻补角和对顶角等知识点．


解题时注意：两直线平行，同位角相等.先利用对顶角相等，求出∠7，再利用三角形内角和求出∠8，再求出∠4，根据同位角相等求出∠5，邻补角求出∠6，最后利用三角形外角求出∠1即可．


【解答】


解：如图，





由图知∠2=∠7=45°,


∴∠8=180°-90°-45°=45°,∴∠4=∠8=45°,


又∵a//b，∴∠5=∠4=45°，


∴∠6=180°-45°=135°，


∴∠1=∠6+∠A=135°+30°=165°，


故选D．


10.【答案】C





【解析】


【分析】


本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角的性质计算即可．


【解答】


解：∠A=∠ACD-∠B


=120°-20°


=100°，


故选C．


11.【答案】20°





【解析】


【分析】


题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC-∠BAD计算即可得解．


【解答】


解：∵BE平分∠ABC，


∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，


∵AD是BC边上的高，


∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，


∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°．


故答案为20°．


12.【答案】36°或18°





【解析】


【分析】


此题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键.根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°-108°-108÷3°=36°，72°÷(1+3)=18°，由此比较得出答案即可．


【解答】


解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°-108°-108÷3°=36°，


当180°-108°=72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷(1+3)=18°，


因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．


故答案为36°或18°．


13.【答案】70°





【解析】解：∵一个直角三角形的一个锐角是20°，


∴它的另一个锐角的大小为90°-20°=70°．


故答案为：70°．


直角三角形．两个锐角互为余角，故一个锐角是20°，则它的另一个锐角的大小是90°-20°=70°．


此题考查的是直角三角形的性质，两锐角互余．


14.【答案】75°





【解析】解：如图，∠1=45°-30°=15°，


∠α=90°-∠1=90°-15°=75°．


故答案为：75°


根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．


本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．


15.【答案】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°．


∵∠B=60°，


∴∠BAE=90°-60°=30°．


∴∠CAE=50°-30°=20°


∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，


∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=70°．


又∵CD平分∠ACB，


∴∠ACD=12∠ACB=35°．


∴∠AFC=180°-35°-20°=125°．





【解析】先根据垂直的定义求∠BAE的度数，再结合图形根据角的和差求出∠CAE的度数，利用三角形的内角和求∠ACB，因CD平分∠ACB，所以可得∠ACD，最后利用△AFC的内角和为180°，求得∠AFC的度数．


此类问题解法不唯一，也可以根据三角形外角的性质求∠AFC的度数．


16.【答案】(1)解：∵CD是AB边上的高，


∴∠CDA=90°，


∴∠A+∠ACD=90°，


∵∠A=∠DCB，


∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠A=90°；





(2)解：∠CFE=∠CEF，


理由是：∵AE平分∠CAB，


∴∠CAE=∠BAE，


∵∠CDA=∠BCA=90°，∠DFA=180°-(∠CDA+∠BAE)，∠CEA=180°-(∠BCA+∠CAE)，


∴∠CEF=∠DFA，


∵∠DFA=∠CFE，


∴∠CFE=∠CEF．





【解析】(1)根据高定义求出∠CDA=90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD=90°，再求出答案即可；


(2)根据角平分线的定义得出∠CAE=∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠CEF=∠DFA，根据对顶角相等求出即可．


本题考查了角平分线的定义，高的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．


17.【答案】三角形内角和等于180°





【解析】解：(1)证明过程中步骤(2)的依据是三角形内角和等于180°，


故答案为：三角形内角和等于180°；


(2)∠Q=12∠A，


理由如下：∵CQ平分∠ACD，


∴∠1=12∠ACD，


∵BQ平分∠ABC，


∴∠2=12∠ABC，


∵∠ACD=∠A+∠ABC，


∴∠A=∠ACD-∠ABC=2(∠1-∠2)，


∵∠1=∠2+∠Q，


∴∠Q=∠1=∠2，


∴∠A=2∠Q，即∠Q=12∠A．


(1)根据三角形内角和定理解答；


(2)根据三角形的外角性质、角平分线的定义解答．


本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．