四川省阆中中学2021届高三9月月考 数学（理）（含答案） 试卷

四川省阆中中学校高2018级2020年秋第一学月教学质量检测理科数学 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0,1)，则A∩B＝A．(0,1)        B．(0,1]             C．(－1,1)         D．[－1,1]2. 已知i为虚数单位，复数Z＝i(3－ai)，且|z|＝5，则实数a＝A.－4           B.4              C.±4              D.23. 已知sin(θ－)＝，且θ∈(0，)，则cos(θ－)＝A.0            B.                 C.               D.14. f(x)＝x(2019＋ln x)，若＝2 020，则x0等于A．e2           B．1            C．ln 2        D．e5. 等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝A.32        B.31        C.64           D.636．根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到的线性回归方程为＝x＋，则A.>0，>0      B.>0，<0           C.<0，>0      D．<0，<07．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为  优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的 数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是A．乙的逻辑推理能力指标值优于甲的逻辑推理能力指标值B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值8. 若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝A．－1          B．1               C．2                D．e9. 杨洋爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR构成 的标靶图形，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O 旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是A.            B．                         C.            D．10.函数f(x)＝()·sinx的图像大致为11.已知tan θ＋＝4，则cos2＝A.             B.             C.            D.12.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是A．    B.      C.        D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝________.14.已知平面向量＝(2m－1，2)，＝(－2，3m－2)，且⊥。则|2－3|＝            。15.在(2x－1)7的二项展开式中，第四项的系数为                   。16.函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f(x)的最小正周期为2；②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；③f(x)在，k∈Z上是减函数；④f(x)的最大值为A.则正确的结论为________(填序号)．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．     18．南充市的“名师云课堂”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量[0,1 000](1 000,3 000](3 000，＋∞)节数61812 (1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的 节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内， 则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费 20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课 中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．      如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E， M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；                                                                        (2)求二面角A­MA1­N的正弦值．                                                                                 如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x 轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0) 与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.  21．已知函数f(x)＝，其中m∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当常数m∈(2，＋∞)时，函数f(x)在[0，＋∞)上有两个零点， 证明：>ln .    （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l过点 P(1,0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直线l的倾斜角α.     23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数f(x)＝x2－x－15，且|x－a|<1.(1)解不等式|f(x)|>5；(2)求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 
四川省阆中中学校高2018级2020年秋第一学月教学质量检测理科数学答案一.选择题（每题5分，共60分）123456789101112ACDBBBCCDACA二.填空题（每题5分，共20分）13. －         14.          15. -560          16. ①③17. [解]　(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝.令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵f＝，∴sin＝1.又α∈(0，π)，∴－<α－<，∴α－＝，故α＝.因此tan＝＝＝2－.18. 解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.P(X＝0)＝＝，P(X＝20)＝＝＝，P(X＝40)＝＝＝，P(X＝60)＝＝＝，则X的分布列为X0204060P19. [解]　(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面EDC1，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A­MA1­N的正弦值为.20. 解：(1)连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO为△F1AF2的中位线．又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝＝.又离心率e＝＝，a2＝b2＋c2，得a2＝9，b2＝8，故所求椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明：由题可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l的方程分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以＝(－2，－3k＋m)， ＝(4,3k＋m)，所以·＝－8＋m2－9k2.联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化简得m2＝9k2＋8.所以·＝－8＋9k2＋8－9k2＝0，所以⊥，故∠MF1N＝.同理＝(－4，－3k＋m)， ＝(2,3k＋m)，所以⊥，∠MF2N＝.故∠MF1N＝∠MF2N.21. 解：(1)当m＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2＋2，∴f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)．由f′(x)＝x(ex－2)＝0，解得x＝0或x＝ln 2.当x>ln 2或x<0时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．当0<x<ln 2时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)．(2)证明：由f′(x)＝x(ex－2m)＝0，解得x＝0或x＝ln 2m.当x>ln 2m时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2m，＋∞)上单调递增；当0<x<ln 2m时，f′(x)<0，f(x)在[0，ln 2m]上单调递减．∴f(x)的极小值为f(ln 2m)．∵函数f(x)在[0，＋∞)上有两个零点x1，x2(x1<x2)，∴f(ln 2m)<0.由f(0)＝1>0，f(1)＝2－m<0，可知x1∈(0,1)．f(ln 2m)<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(ln 2m，＋∞)上单调递增．∴x2∈(ln 2m，＋∞)．∴x2>ln 2m>ln 4.∵0<x1<1，∴x2－x1>ln 4－1＝ln.22. 解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2，故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsin α－1＝0，       设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2sin α， t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝，解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，故α＝或.23. [解]　(1)因为|x2－x－15|>5，所以x2－x－15<－5或x2－x－15>5，即x2－x－10<0或x2－x－20>0，解得<x<或x<－4或x>5，所以不等式|f(x)|>5的解集为.(2)证明：因为|x－a|<1，所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<1·|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，即|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．