黑龙江省哈尔滨市第六中学校2021届高三9月月考 数学（理）（含答案） 试卷
展开哈尔滨市第六中学2018级高三上学期九月月考
理科数学试题
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设i为虚数单位，，“复数不是纯虚数“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在递减等比数列中，是其前项和，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．已知向量,若,则( )
A．1 B． C． D．
5．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．设是等差数列的前项和，若为大于1的正整数，且，，则（ ）.
A．1000 B．1010
C．1020 D．1030
7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．189 B．1225 C．1024 D．1378
8. 边长为12的正三角形中，为中点，在线段上且，若与交于，则（ ）
A．-12 B． C． D．
9．若，，则的值为( )
A． B． C． D．
10．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B．8 C． D．
11．在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
12．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若，
（m＞0，n＞0），则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．2
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知两个单位向量、的夹角为，向量，则_____．
14.在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.
15.若复数满足，则复数的最大值与最小值的乘积为___________．
16．在中，角所对的边分别为，若角且，则的面积的最大值为_____________.
三、解答题（共70分）
17．（共12分）已知数列的前项和满足,.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
18．（共12分）已知向量.
（1）求的值；
（2）若，且，求.
19．（共12分）设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，证明：
20．（共12分）在中，角所对的边分别为，满足．
（1）求的值；
（2）设外接圆半径为R，且，求b的取值范围．
21.（共12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数既有极大值，又有极小值，记分别为函数的极大值点和极小值点，
求证：
（3）设为整数，且对于任意的正整数，有 求的最小值.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22．（共10分）在平面直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的参数方程，曲线的极坐标方程；
（2）若，是曲线上两点，当时，求的取值范围．
23．（共10分）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2），，求实数的取值范围.
高三理科数学答案
一．选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | A | A | C | B | B | B | B | D | C | B | D |
二．填空题13. 14. 15.24 16.
三．解答题
17.当时，；当时，，综上：.
（2）由（1）知
18.（1）；
（2）因为，所以，而，
所以，因为，，所以.
因此有.
20.（1）设等差数列的公差为，
∵，，∴，，∴.
（2）∵，① ∴时，，∴，
时，，② ①-②得：，
∴ 又也符合上式，∴，又，
∴当时，；当时，，∴数列先单调递增再递减，∴.
，
（3）当时，，在递增
综上：当时，上递增 当时，函数递增，函数递减
（2）当时，
22.（1）曲线的普通方程为，即，故曲线的参数方程为（为参数）．
令，，则可化为，即，
故曲线的极坐标方程为．
（2）将点，代入曲线的极坐标方程，得，
． ∵，∴，
∴．∴的取值范围是．
23.（1）当时，.
当时，；当时，.函数的值域为；
（2）不等式等价于，
即在区间内有解 当时，，此时，，则；
当时，，
函数在区间上单调递增，当时，，则.综上，实数的取值范围是.
