四川省成都七中2021届高三上学期入学考试 数学理（含答案）

成都七中 2021 届高三上期入学考试

理科数学

考试时间：120分钟    总分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数的模是（    ）

A．1 B． C．2 D．

3．已知命题，；命题，，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

4．抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（    ）

A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6

6．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（    ）

A． B． C． D．

8．若，为锐角，且满足，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知数列满足，，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第行有个数，），从左至右第行第个数记为（，且），则（    ）．

A． B． C． D．

10．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．正方体中，若，在底面内运动，且满足，则点的轨迹为（    ）

A．椭圆的一部分  B．线段

C．抛物线的一部分  D．圆弧

12．己知函数的定义域为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）

13．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则________．

14．已知，满足，则的最大值为________．

15．在中，，，分别是角，，的对边，且，若，，则的值为________．

16．已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1．若，则该双曲线的离心率为________．

三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）

17．（本题12分）设数列的前项和为，且，，数列满足，点在直线上，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（，为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

根据所给统计量，求关于的回归方程．

附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，．

19．（本题12分）如图，在以为顶点的圆锥中，母线长为，底面圆的直径长为2，为圆心．是圆所在平面上一点，且与圆相切．连接交圆于点，连接，，是的中点，连接，．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（本题12分）已知抛物线，为其焦点，椭圆，，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于，两点，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过抛物线上一点作切线交椭圆于，两点，设与轴的交点为，的中点为，的中垂线交轴为，，的面积分别记为，，若，且点在第一象限．求点的坐标．

21．（本题12分）已知函数，，其中是自然对数的底数．

（1）若曲线在处的切线与曲线也相切．求实数的值；

（2）设，求证：当时，恰好有2个零点．

（22题与23题为选做题，二选一）

22．（本题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的普通方程；

（2）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，，直线与曲线交于，两点，求线段的长度．

23．（本题10分）已知函数，为不等式的解集．

（1）求；

（2）证明：当，时，．

成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试

数学试卷（理科）答案

1-5：CBCBD    6-10：BBBDA    11-12：DB

13．    14．    15．1或3    16．

17．【答案】（Ⅰ）    （Ⅱ）

【解析】（1）由可得，

两式相减得．

又，所以．

故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．

由点在直线上，所以．

则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则．

（Ⅱ）因为，所以．

则，

两式相减得：

∴

18．【答案】（1）；    （2）．

【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，

所求概率为．

（2）对两边取自然对数得

令，，则，且

由所给统计量及最小二乘估计公式有：

，

由得，

所以关于的回归方程为．

19．【解析】（1）证明：是底面圆的直径，与圆切于点，

所以，

又底面，则，，

所以：面，

又因为，在三角形中，

，所以面，∵面

所以：平面平面；

（2）因为，，

∴为二面角的平面角，

∴，如图建立坐标系，易知，

则，，，，，，

由（1）知为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

，

，

解得：，

．

20．【答案】（1）．    （2）

【解析】（1）不妨设在第一象限，由题可知，∴，

又∵，∴，可得，椭圆的方程为．

（2）设则切线的方程为

代入椭圆方程得：，

设，，，

则，，

的方程为，

即，令得，

在直线方程中令得，

，，，∴，，

∴，∴．

化简得，

∴（舍去）∴的坐标为，，

，

因为，故此解符合题意．

21．【解析】（1）由得，所以切线的斜率．

因为切点坐标为，所以切线的方程为．

设曲线的切点坐标为．

由得，所以，得．

所以切点坐标为．因为对也在直线上．所以．

（2）由，得．

令，，当时，，

故在上单调递增．

又因为，且．

所以在上有唯一解，从而在上有唯一解．

不妨设为，则．

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

故是的唯一极值点．

令，则当时，，所以在上单调递减，

从而当时，，即，

所以，

又因为，所以在上有唯一零点．

又因为在上有唯一零点，为1，

所以在上恰好有2个零点．

另解：∵，∴，再证明．

22．【答案】（1）（或）；（2）．

【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），

将①式两边平方，得③，

③②，得，即，

因为，当且仅当，

即时取“”，所以，即或，

所以曲线的普通方程为（或）．

（2）把代入曲线得：，，

则曲线的极坐标方程为，

设，的极坐标分别为，，由

得，即，且

因为，∴或，

满足，不妨设，

所以．

注：没考虑要酌情扣分

23．【解析】（1）

所以不等式的解集为．

（2）要证，只需证，

即证，只需证，即，

即证，只需证

因为，，所以，

所以所证不等式成立．