人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率综合训练题

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思维导图





新课标要求


①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。


②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。


③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。





知识梳理


一、直线的倾斜角


二、直线的斜率





三、直线的斜率公式


如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.


四、两条直线平行与斜率之间的关系


设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:


五、两条直线垂直与斜率之间的关系





名师导学


知识点1 直线的斜率与倾斜角及其关系


【例1-1】（2020春•广州期末）直线的倾斜角是


A．B．C．D．


【分析】利用直线的倾斜角的定义作答．


【解答】解：由于直线的斜率为，设其倾斜角为，


则．


故它的倾斜角为，


故选：．


【例1-2】（2019秋•三明期末）已知直线的倾斜角为，则的斜率是


A．1B．2C．3D．4


【分析】直接利用直线的倾斜角求出直线的斜率即可．


【解答】解：直线的倾斜角为，则的斜率为：．


故选：．


【变式训练1-1】（2019秋•舟山期末）直线的倾斜角是


A．B．C．D．


【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由直线的方程可得其斜率，则有，结合的范围即可得答案．


【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为，


直线的方程为：，


其斜率，则有，


又由，


则，


故选：．


【变式训练1-2】（2020春•钦州期末）直线的倾斜角为


A．B．C．D．


【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．


【解答】解：因为直线的斜率为，


所以直线的倾斜角为，，所以．


故选：．





知识点2 过两点的直线的斜率


【例2-1】（2020春•南京期末）若直线经过两点，，则直线的斜率为


A．B．C．D．


【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得结论．


【解答】解：直线经过两点，，则直线的斜率为，


故选：．


【例2-2】（2020春•玉林期末）已知直线过点，两点，若直线的倾斜角是，则


A．B．0C．D．


【分析】根据条件，由斜率公式得到关于的方程，再求出的值．


【解答】解：设直线的斜率为，则，


故．


故选：．


【变式训练2-1】（2020春•徐州期末）已知点，，则直线的斜率为


A．B．C．D．2


【分析】由题意利用直线的斜率公式，求出结果．


【解答】解：点，，则直线的斜率为，


故选：．


【变式训练2-2】（2020春•宁波期末）一条直线过点 和，则该直线的倾斜角为


A．30°B．45°C．135°D．


【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角．


【解答】解：一条直线过点 和，则该直线的斜率为，


故该直线的倾斜角为，


故选：．





知识点3 直线斜率的运用


【例3-1】(2019·江西赣州高一期末)已知直线l过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l的斜率存在,则直线l斜率的取值范围为 .


【分析】分别求出直线AP和BP的斜率,再数形结合即可判断.


【解答】直线AP的斜率k=3+2-2+1=-5,


直线BP的斜率k=0+23+1=12,


因为直线l过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段


相交,


所以kl≥12或kl≤-5.


则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-5]∪[12,+∞).


【例3-2】（2020春•红桥区期中）已知、、，且、、三点共线，则 ．


【分析】直接利用直线的斜率相等求出结果．


【解答】解：已知、、，且、、三点共线，


所以，


解得：，


故答案为：．


【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )


A.(-∞,-3 ]∪[1,+∞) B. [-3,1] C.[-1,3] D.以上都不对


【分析】分别求出PA、PB的斜率结合图形即可求出.


【解答】如图所示,直线PB,PA的斜率分别为kPB=1,kPA=-3,





结合图形可知k≥1或k≤-3.


故选A.


【变式训练3-2】（2019秋•绍兴期末）已知点，，在同一直线上，则 ．


【分析】三点，，在同一直线上，可得，利用斜率计算公式即可得出．


【解答】解：三点，，在同一直线上，


，


，


化为：．


故答案为：1．





知识点4 两直线平行的判定


【例4-1】（2019·济南校级月考）判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:


(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);


(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);


(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);


(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).


【分析】斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2⇔k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.


【解答】(1)k1=1-(-2)2-(-1)=1,k2=-1-4-1-3=54,k1≠k2,l1与l2不平行.


(2)k1=1,k2=2-12-1=1,k1=k2,


故l1∥l2或l1与l2重合.


(3)k1=0-11-0=-1,k2=0-32-(-1)=-1,则有k1=k2.


又kAM=3-1-1-0=-2≠-1,


则A,B,M不共线.故l1∥l2.


(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.


【变式训练4-1】（2019·长春高一调研）已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为 .


【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论.


【解答】当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;


当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;


当m≠-2,且m≠-1时,kAB=4-mm-(-2)=4-mm+2,


kMN=3-1m+2-1=2m+1.


因为AB∥MN,所以kAB=kMN,


即4-mm+2=2m+1,解得m=0或m=1.


当m=0或1时,由图形知,两直线不重合.


综上,m的值为0或1.





知识点5 两直线垂直的判定


【例5-1】（2019·合肥质检）(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;


(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.


【分析】(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.


(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.


【解答】解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.


(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.


当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,


则l1⊥l2,满足题意.


当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.


由l1⊥l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.


综上所述,a的值为0或5.


【变式训练5-1】（2020全国高二课时练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ）


A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直


【答案】A


【解析】直线经过，两点 直线的斜率：


直线的倾斜角为 直线的斜率：，， .





知识点6 平行与垂直的综合应用


【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.





【分析】利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.


【解答】由斜率公式得kOP=t-01-0=t,


kRQ=2-(2+t)-2t-(1-2t)=-t-1=t,kOR=2-0-2t-0=-1t,


kPQ=2+t-t1-2t-1=2-2t=-1t.所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,


从而OP∥RQ,OR∥PQ.


所以四边形OPQR为平行四边形.


又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,


故四边形OPQR为矩形.


【变式训练6-1】2020湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD中，.


（1）求点D的坐标；


（2）试判断平行四边形ABCD是否为菱形.


【解析】(1)设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，


∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，


∴，解得.∴D(－1,6)．


(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，


∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．





名师导练


A组-[应知应会]


1．（2020春•淮安期中）已知直线，则直线的倾斜角为


A．B．C．D．


【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线是与轴垂直的直线，据此可得答案．


【解答】解：根据题意，直线，是与轴垂直的直线，


其倾斜角为；


故选：．


2．（2020春•广陵区校级期中）若直线经过坐标原点和，则它的倾斜角是


A．B．C．或D．


【分析】直接用两点式求直线斜率，然后求倾斜角．


【解答】解：由题可知，直线的斜率，设倾斜角为，则，．


故选：．


3．（2020春•诸暨市校级期中）在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于


A．B．C．D．


【分析】设此直线的倾斜角为，，，已知，可得．


【解答】解：设此直线的倾斜角为，，，


，


．


故选：．


4．（2019秋•郑州期末）过两点，的直线的倾斜角为，则


A．B．C．5D．6


【分析】首先利用点斜式写出直线方程，然后将点的坐标代入求值．


【解答】解：由题意知，直线的方程为：．


把代入，得．


故．


故选：．


5．（2020银川一中高二月考）已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 ( )


A．1个B．2个C．3个D．无数个


【答案】D


【解析】∵由条件知过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．


6．（2020春•沙坪坝区校级期末）过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是


A．B．C．D．或


【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出所在直线的斜率，得到关于的不等式，求解的范围，再由时直线的倾斜角为，符合题意，则答案可求．


【解答】解：由直线的倾斜角的范围是，


得直线的斜率存在时，有或．


又，


或，


解得或．


当直线的斜率不存在时，．


综上，实数的取值范围是．


故选：．


7．（2019秋•公安县期末）若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是


A．B．C．D．


【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．


【解答】解：根据题意，直线经过，，


则直线的斜率，


又由，则，


则有，


又由，


则；


故选：．


8．（多选）（2020春•惠州期末）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是





A．B．C．D．


【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．


【解答】解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，


则，，故，且为钝角，


故选：．


9．（多选）（2020春•无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有


A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角


B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率


C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为


D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为


【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．


【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确；


但由于和轴垂直的直线倾斜角等于，故它的斜率不存在，故错误；


若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为不一定是，如时，此时，直线的倾斜角为．


若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故正确，


故选：．


10．（多选）下列命题中正确的为( )


A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；


B.若两直线平行，则它们的斜率相等；


C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直；


D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.


【答案】AC


【解析】当直线斜率都存在且两直线不重合时,若，则；若，则，可知①③正确,当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误,当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，两直线垂直，但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误.


11．（2020春•资阳期末）若过点，的直线的倾斜角为，则 ．


【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得的值．


【解答】解：由题意可得，求得，


故答案为：．


12．（2020春•宜兴市月考）若直线的斜率为1，则直线的倾斜角为 ．


【分析】设直线的倾斜角为，，，可得，然后求出的值．


【解答】解：设直线的倾斜角为，，．


，解得．


故答案为：．


13．（2020春•北碚区校级期末）已知两点，，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 ．


【分析】由题意画出图形，分别求出，所在直线当斜率，数形结合得答案．


【解答】解：如图，





，，直线经过点．


，．


若直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是，，．


故答案为：，，．


14．（2019秋•闵行区期末）若直线的倾斜角的范围为，，则的斜率的取值范围是 ．


【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出．


【解答】解：直线的倾斜角，，


则的斜率，．


故答案为：，．


15．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______


【答案】


【解析】设，则，，，


，，解得：，即：


16．（2019秋•金凤区校级期末）若三点，，在同一直线上，则实数等于 ．


【分析】三点，，在同一直线上，可得，利用斜率计算公式即可得出．


【解答】解：三点，，在同一直线上，


，


，


即，化为．


解得．


故答案为．


17．（2020山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．


(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；


(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；


(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；


(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．


【解析】 (1)k1＝－10，k2＝＝，∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2.


(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，k2＝＝0，


则l2∥x轴，∴l1⊥l2.


(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，∴k1＝k2.


又kAM＝＝－2≠k1，∴l1∥l2.


(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.


18．（2019秋•平遥县月考）已知直线过点，，求直线的斜率和倾斜角的取值范围．


【分析】设直线的倾斜角为，，根据斜率的计算公式分类讨论：和，倾斜角与斜率的关系求得直线的倾斜角的取值范围．


【解答】解：设直线的倾斜角为，，


由题意知，，，


当时，直线的斜率不存在，此时；


当时，直线的斜率，所以，


综上得，直线的倾斜角的取值范围是，，，


斜率的取值范围是．


19．（2020全国课时练）已知，，三点，若直线AB的倾斜角为，且直线，求点A，B，C的坐标．


【解析】，


解得（舍去），，点，．


，解得，点.


20．（2019秋•武城县校级月考）（1）求证：，，三点共线．


（2）若三点共线，求的值．


【分析】（1）求出直线的斜率，证明三点共线即可；


（2）根据三点共线，得到关于的方程，解出即可．


【解答】（1）证明：，，，


，


又直线与有公共点


直线与直线为同一条直线即、、设共线


（2）解：题意得直线，的斜率都存在


，，三点共线


，即





21．（2019秋•芜湖期末）已知点，，．


（1）若，，三点共线，求实数的值．


（2）若为直角三角形，求实数的值．


【分析】（1）由，，三点共线，可得．利用斜率计算公式即可得出．


（2），，．利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．


【解答】解：（1），，三点共线，．


即，


解得：．


（2），，．


若，则，解得．


若，，解得．


若，，解得．


故，3，．


22．（2019秋•静宁县校级期末）已知，，．


（1）求点的坐标，满足，．


（2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角．


【分析】（1）设，根据得出，然后由得出，解方程组即可求出的坐标．


（2）设由得出，解方程求出的坐标，然后即可得出结果．


【解答】解：设


由已知得，又，可得 即①


由已知得，又，可得，即②


联立①②求解得，





（2）设


，


又，


解得


，又，


轴


故直线的倾斜角为．


23．（2019春•孝感期末）已知，，，，，，四点构成的四边形是平行四边形，求点的坐标．


【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点的坐标．


【解答】解：由题，，，


所以，，


设的坐标为，分以下三种情况：


①当为对角线时，有，，


所以，


得，y=5.


②当为对角线时，有，，


所以，


得，


③当为对角线时，有，


所以，


得，


所以的坐标为或或．





B组-[素养提升]


1．（2019秋•芜湖期末）已知直线方程为，，和，分别为直线上和外的点，则方程，，，表示


A．过点且与垂直的直线B．与重合的直线


C．过点且与平行的直线D．不过点，但与平行的直线


【分析】利用点在直线上推出，，判断与方程的关系，利用直线的平移，推出结论．


【解答】解：由题意直线方程为，则方程，，，，两条直线平行，


，为直线上的点，，，，，，，化为，，，


显然，满足方程，，，，


所以，，，表示过点且与平行的直线．


故选：．


2．（2019秋•全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数在，，处的函数值分别为，，，则在区间，上可以用二次函数来近似代替：，其中，，．若令，，，请依据上述算法，估算的值是


A．B．C．D．


【分析】根据题意设，且，，，


计算对应的、、和的值，求出、和的值，代入题目中的二次函数计算即可．


【解答】解：设，且，，，


则有，，；


所以，，，


由，


可得，


．


故选：．


3．（2019秋•越城区校级期中）已知两点，．且实数，，求直线的倾斜角的取值范围．


【分析】分类讨论，当时，直线倾斜角；②当时，直线的斜率为，再利用正切函数的单调性求出倾斜角的范围


【解答】解：①当时，直线倾斜角；


②当时，直线的斜率为，


，，


，，，


，，，


综合①②知，直线的倾斜角，．


定义
当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
规定
当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°
记法
α
图示
范围
0°≤α<180°
作用
(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;


(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可
定义(α为直线的倾斜角)
α≠90°
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率
α=90°
直线斜率不存在
记法
常用小写字母k表示,即k=tan α
范围
R
作用
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度
前提条件
α1=α2≠90°
α1=α2=90°
对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
图 示
对应


关系
l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1
l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2.
图示