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人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程本章综合与测试课后作业题
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这是一份人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程本章综合与测试课后作业题，文件包含第2章直线和圆的方程学业水平质量检测原卷版docx、第2章直线和圆的方程学业水平质量检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
一．单项选择题
1．（2020春•南关区校级期末）若直线mx+4y﹣2＝0与直线2x﹣5y﹣12＝0垂直，则实数m的值为（ ）
A．﹣12B．﹣10C．0D．10
【分析】由直线的垂直关系可得2m﹣20＝0，解方程可得m的值．
【解答】解：∵直线mx+4y﹣2＝0与2x﹣5y﹣12＝0垂直，
∴2m﹣20＝0，解得m＝10，
故选：D．
2．（2020春•启东市期末）已知直线l经过两点O（0，0），A（1，），直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】由已知两点的坐标求得直线l的斜率，得到倾斜角，进一步得到直线m的倾斜角，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线m的斜率．
【解答】解：∵直线l经过两点O（0，0），A（1，），∴，
设直线l的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，α＝60°，
则直线m的倾斜角是120°．
∴，
故选：A．
3．（2020春•宿迁期末）已知圆C的圆心在直线y＝﹣x上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4），则圆C的方程是（ ）
A．（x﹣3）2+（y+3）2＝B．（x+3）2+（y﹣3）2＝
C．（x﹣3）2+（y+3）2＝10D．（x+3）2+（y﹣3）2＝10
【分析】由题意设圆心C的坐标（a，﹣a），又过A，B点，可得r＝|AC|＝|BC|，求出a的值，进而求出半径，求出圆的标准方程．
【解答】解：由题意设圆的圆心坐标为C（a，﹣a），可得|AC|＝|BC|，即＝，解得：a＝3，
即圆心坐标（3，﹣3），半径r＝＝，
所以圆的方程为：（x﹣3）2+（y+3）2＝10．
故选：C．
4．（2020春•安徽期末）已知圆x2﹣2ax+y2＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得弦长是2，则a的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求a值．
【解答】解：由圆x2﹣2ax+y2＝0（a＞0），得（x﹣a）2+y2＝a2，
则圆心坐标为（a，0），半径为a，
圆心到直线x﹣y＝0的距离d＝．
又半弦长为，由垂径定理可得：，解得a2＝4．
∵a＞0，∴a＝2．
故选：B．
5．（2020•郑州二模）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4
C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4
【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．
【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，
由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，
设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，
故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，
故选：C．
6．（2020春•龙凤区校级期末）已知△ABC的顶点A（1，2），C（5，2），∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为（ ）
A．3x﹣2y+1＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．x﹣3y﹣5＝0D．x﹣3y+1＝0
【分析】先求出点A关于直线y＝x的对称点，再根据直线方程的两点式即可求解结论．
【解答】解：因为点A（1，2）关于直线y＝x的对称点（2，1）在直线BC上；
故直线BC的方程为：＝，即x﹣3y+1＝0；
故选：D．
7．（2019秋•城关区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．5B．C．5D．
【分析】推导出点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，求出点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（4，﹣2），|PA|+|PB|的最小值为|BC|，由此能求出结果．
【解答】解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，
∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，
设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），
则，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），
∴|PA|+|PB|的最小值为：
|BC|＝＝2．
故选：D．
8．（2020春•金牛区校级期末）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点，的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】由已知求得A与B的坐标，设N（csα，sinα），由两点间的距离公式，求弦长|NB|与|NA|，作商得答案．
【解答】解：∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标为1．
取AB中点E，∵|AB|＝2，∴|BE|＝1，则|BC|＝．
即圆的半径为，则圆心C（1，），E（0，）．
又|AB|＝2，且E为AB的中点，∴A（0，），B（0，）．
∵N在圆O上，∴可设N（csα，sinα），
则|NA|＝＝．
|NB|＝．
∴＝．
故选：D．
二．多项选择题
9．（2020春•沭阳县期中）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2
C．直线 的倾斜角为60°
D．过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，得出结论．
【解答】解：∵过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0，或者y＝2x，故A错误；
∵直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，故B正确；
由于直线 的斜率为，故它的倾斜角为30°，故C错误；
∵过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0，故D正确，
故选：BD．
10．（2020春•惠州期末）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）
A．k1＜k3＜k2B．k3＜k2＜k1C．α1＜α3＜α2D．α3＜α2＜α1
【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．
【解答】解：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，
则 k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，
故选：AD．
11．（2020春•扬州期末）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），则实数a的取值可为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由弦AB的中点为M（0，1）可得点M在圆内，可得：﹣3+a＜0，即a＜3，故选出答案．
【解答】解：由题意弦AB的中点为M（0，1），则可得M点在圆内，将点M坐标代入圆的方程可得：﹣3+a＜0，即a＜3，
故选：AB．
12．（2020春•崇川区校级期中）已知圆M：（x﹣1﹣csθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2＝1，直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，下列四个选项，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
B．存在实数k与θ，直线l和圆M相离
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
【分析】A．由题意得圆M与直线l有公共点（1，2），
B．由d≤r判断直线和圆不会相离．
C．由k存在和tanβ存在，对应β存在，θ也存在．
D．举例说明不一定存在实数k，使得直线l和圆M相切．
【解答】解：A．根据题意知圆M的圆心坐标为（1+csθ，2+sinθ），半径为1，
无论θ取何值，都由（1﹣1﹣csθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，
从而圆M过定点（1，2），
又因为直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，可化为k（x﹣1）﹣y+2＝0，
所以直线l过定点（1，2），从而直线l和圆M有公共点．
B．圆心到直线l的距离d＝＝
＝＝|sin（β﹣θ）|≤1＝r，（其中sinβ＝，csβ＝，tanβ＝k）
从而不存在实数k与θ，使直线与圆M相离，所以不正确，
C．因为对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使d＝|sin（θ﹣α）|＝1＝r，
即直线l与圆M相切，所以正确．
D．对任意实数θ，不一定存在实数k，使得直线l与圆M相切，如θ＝0°时，tan90°不存在，所以不正确．
故选：AC．
三．填空题
13．（2020春•北海期末）经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为 ．
【分析】设经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0，把P（2，1）代入，能求出所求的直线方程．
【解答】解：设经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0，
把P（2，1）代入，得：2﹣2×1+c＝0，
解得c＝0，
∴经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为x﹣2y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0．
14．（2020春•乃东区校级期末）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则x2+y2的最大值和最小值分别为 、 ．
【分析】根据题意，分析可得x2+y2﹣4x+1＝0的几何意义为圆x2+y2﹣4x+1＝0，x2+y2的几何意义圆上的一点与原点距离的平方，结合点与圆的位置关系分析圆x2+y2﹣4x+1＝0上的点到原点距离最大值、最小值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则点（x，y）是圆x2+y2﹣4x+1＝0上的点，
设t＝x2+y2，其几何意义为圆上的一点与原点距离的平方，
而圆x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，其圆心为（2，0），半径r＝，
又圆心到原点的距离为＝2，则圆x2+y2﹣4x+1＝0上的点到原点距离最大值为2+，最小值为2﹣，
所以x2+y2的最大值是，x2+y2的最小值是；
故答案为：7+4，7﹣4．
15．（2020•永康市模拟）过定点P（4，t）作直线l，使l被圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0截得的弦长为4，若这样的直线l只有1条，则直线l在y轴的截距为 ．
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，可知满足条件的直线l是过P且与CP垂直的直线，由已知圆的半径、弦长及垂径定理求得|CP|，再由两点间的距离公式列式求得t，分类写出l的方程，则答案可求．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0，得（x﹣3）2+（y﹣3）2＝9，
则圆心C（3，3），半径为3．
如图，
要使过定点P（4，t）的直线l被圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0截得的弦长为4，且这样的直线l只有1条，
则P在圆C内部，且直线l是过P且与CP垂直的直线．
∵圆C的半径为3，弦长为4，则|CP|＝．
即|CP|＝，解得t＝1或t＝5．
当t＝1时，P（4，1），，，
此时直线l的方程为y﹣1＝，即x﹣2y﹣2＝0，直线l在y轴上的截距为﹣1；
当t＝5时，P（4，5），，，
此时直线l的方程为y﹣5＝﹣，即x+2y﹣14＝0，直线l在y轴上的截距为7．
综上，直线l在y轴的截距为﹣1或7．
故答案为：﹣1或7．
16．（2020•南京模拟）已知圆O：x2+y2＝4，点A（2，2），直线l与圆O交于P，Q两点，点E在直线l上且满足＝2．若AE2+2AP2＝48，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为 ．
【分析】由题意可得M，Q为线段EP的三等分点，首先证明三角形的中线长定理，可推得AM2+2QM2＝16，由垂径定理可得AM2+2（4﹣OM2）＝16，所以AM2﹣2OM2＝8，设M（x，y），求得M的轨迹方程，考虑M在圆O内，求得分界点的横坐标，进而得到所求横坐标的范围．
【解答】解：点E在直线l上且满足＝2．
可得M，Q为线段EP的三等分点，
先证明在三角形ABC中，AM为边BC上的中线，即＝（+），
可得2＝（2+2+2•）
＝（2+2+2+2﹣2），
则AB2+AC2＝2AM2+2BM2，
在三角形AEP中，可得AE2+AM2＝2AQ2+2QM2，
AQ2+AP2＝2AM2+2QM2，
则AE2+2AP2＝（2AQ2+2QM2﹣AM2）+2AP2＝2（AQ2+AP2）+2QM2﹣AM2
＝2（2AM2+2QM2）+2QM2﹣AM2
＝3AM2+6QM2＝48，
即AM2+2QM2＝16，
即AM2+2（4﹣OM2）＝16，
所以AM2﹣2OM2＝8，
设M（x，y），可得（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2（x2+y2）＝8，
化为x2+y2+4x+4y＝0，
可令x2+y2＝4，联立可得2x2+2x﹣3＝0，解得x＝，
所以由M在圆O内，可得M的横坐标x∈（，）．
故答案为：（，）．
四．解答题
17．（2020春•石家庄期末）已知直线l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0．
（Ⅰ）若l1⊥l2，求m的值；
（Ⅱ）若l1∥l2，且他们的距离为，求m，n的值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用两条直线垂直的性质，求得l1⊥l2时，m的值．
（Ⅱ）由题意利用两条直线垂直的性质、两平行直线间的距离公式，求得l1∥l2时，m、n的值．
【解答】解：（Ⅰ） 直线l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0．
若l1⊥l2，则m+2＝0，求得m＝﹣2．
（Ⅱ）直线l1：x+y+2＝0； 2x+2y+4＝0 l2：mx+2y+n＝0，
若l1∥l2，且他们的距离为，则＝≠，且＝，
求得 m＝2，n＝4+2，或 n＝4﹣2．
18．（2020春•沭阳县期中）已知△ABC的顶点为A（0，4），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．
（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；
（2）求AB边上的高所在的直线方程．
【分析】（1）求出BC的中点坐标，计算中线所在的直线斜率，利用斜截式写出直线方程；
（2）计算直线AB的斜率，求出AB边上的高所在的直线斜率，再求对应直线方程．
【解答】解：（1）△ABC的顶点为A（0，4），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．
所以BC的中点M（﹣1，﹣3），
计算中线AM所在直线的斜率为，
所以BC边上的中线方程为y＝7x+4；
（2）计算直线AB的斜率为，
所以AB边上的高所在的直线方程为：，
化为一般式为x﹣6y﹣21＝0．
19．（2019秋•濮阳期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．
（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【分析】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，通过F，M在圆上，求出变量的值，得到圆的方程．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x＝代入圆的方程，求出y，然后求出限高．
【解答】解：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，
以1m为单位长度建立直角坐标系．
则E（﹣3，0），F（3，0），M（0，3），
由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，
因为F，M在圆上，所以，
解得b＝﹣3，r2＝36．
所以圆的方程为x2+（y+3）2＝36．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，
将P的横坐标x＝代入圆的方程，
得，
得y＝2或y＝﹣8（舍），
所以h＝|CP|﹣0.5＝（y+|DF|）﹣0.5＝（2+2）﹣0.5＝3.5（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．
20．（2020春•龙岗区期末）已知圆O：x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0．
（1）圆O的圆心和半径；
（2）已知点P（2，0），过点P作圆O的切线，试判断过点P可以作出几条切线？并求出切线方程．
【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标与半径；
（2）判断P在圆外，可得过点P可以作出圆O的2条切线，当切线的斜率不存在时，直接得到切线方程，当斜率存在时，设出切线方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求k，则切线方程可求．
【解答】解：（1）由圆O：x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1．
∴圆O的圆心为（3，4），半径为1；
（2）把P（2，0）代入圆O的方程的左边，得（2﹣3）2+（0﹣4）2＝17＞1，
可知点P在圆O外部，则过点P作圆O的切线，可以作2条．
当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝2；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0．
由，解得k＝．
∴切线方程为，即15x﹣8y﹣30＝0．
故过点P可以作出圆O的2条切线，切线方程为x＝2和15x﹣8y﹣30＝0．
21．（2020春•常州期末）在平面直角坐标系xOy，中，已知点A（0，﹣2），B（4，0），圆C经过点（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．斜率为k的直线l经过点B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝PA，求点P的坐标；
（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．
【分析】（1）由圆C过三点，设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，进而求出圆的一般方程，由圆的标准方程和一般方程之间的转化求出圆的标准方程；
（2）由k＝2，由题意求出直线l的方程，设P的坐标，满足l的方程，可得横纵坐标之间的关系，由题意可得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝，又可得P的横纵坐标的关系，进而求出P的坐标；
（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T为该圆上任意一点，可得K为MN的中点，设CK的值为d，则d∈[0，），可得该圆的半径的表达式，
再由|CK﹣r|≤CT≤CK+r可得CT的取值范围，T总在以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，再由以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，可得圆心到直线的距离大于半径可得k的取值范围．
【解答】解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由圆C过（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．
可得E＝0，D＝2，F＝﹣1，
所以圆C的方程为：x2+y2+2x﹣1＝0；其标准方程为（x+1）2+y2＝2；
（2）设P（x，y），由PQ与圆C切于Q可得：PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝，
所以：（x+1）2+y2﹣2＝2[（x+1）2+y2]，整理可得：x2+y2﹣2x+8y+9＝0，
因为斜率为k＝2经过点B（4，0）的直线l的方程为y＝2（x﹣4），即y＝2x﹣8，而P在l上，
由解得：或，
所以P（3，﹣2）或（，﹣）；
（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T为该圆上任意一点，则K为MN的中点，设CK＝d，则圆的半径r＝，
因为|CK﹣r|≤CT≤CK+r，所以2﹣2d≤CT2≤2+2d，
因为M，N是圆C上任意两个不同的点，所以d∈[0，），
对于任意d∈[0，），d＝∈[0，1]，所以0≤CT2≤4，
故T总在以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，
故直线l：y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，与该圆无公共点，
所以＞2，解得k或k．
22．（2020春•泰州期末）已知A（0，3），B，C为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上三点．
（1）求r的值；
（2）若直线BC过点（0，2），求△ABC面积的最大值；
（3）若D为曲线x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）由A（0，3）为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上的点即可得r；
（2）方法1：设B（x1，y1），C（x2，y2），
S△ABC＝•1•|x1﹣x2|利用韦达定理即可求解；
方法2：设O到直线BC的距离为d，d∈（0，2]，
S△ABC＝＝＝，即可求解；
（3）直线AB和直线AC的斜率之积为m，
设B（x1，y1），C（x2，y2），D（x0，y0），
即可得m＝⇒，
由可得D（x1+x2，y1+y2﹣3），带入x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）⇒，
求得m即可．
【解答】解：（1）∵A（0，3）为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上的点，∴r2＝9，即r＝3；
（2）方法1：设直线BC的方程为y＝kx+2，B（x1，y1），C（x2，y2），
将y＝kx+2代入x2+y2＝9得，（1+k2）x2+4kx﹣5＝0．
，
S△ABC＝•1•|x1﹣x2|＝＝．
令，则S△ABC＝＝，
∵函数y＝t+在[，+∞）递增，
所以当k＝0时，△ABC面积取得最大值；
方法2，∵直线BC过点（0，2），∴△ABC的面积等于△OBC面积的一半，
设O到直线BC的距离为d，d∈（0，2]，
S△ABC＝＝＝，
令t＝d2∈（0，4]，S△ABC＝＝，
∴当t＝4，即d＝2时，△ABC面积取得最大值；
（3）直线AB和直线AC的斜率之积为m，
设B（x1，y1），C（x2，y2），D（x0，y0），则m＝，
⇒，
∵，，
∴，
整理，
∵，∴（x1，y1﹣3）+（x2，y2﹣3）＝（x0，y0﹣3）．
从而D（x1+x2，y1+y2﹣3），又因为D为x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）上的动点，
∴，展开得（）+（x22+y）+2x1x2+2y1y2﹣4（y1+y2）+4＝4．
⇒9+9+（y1﹣3）（y2﹣3）+2y1y2﹣4（y1+y2）＝0，
⇒（m+1）y1y2﹣（2m+3）（y1+y2）+9（m+1）＝0．
⇒，
∵y1+y2﹣3≠﹣3，∴y1+y2≠0，
从而5m2+m＝0，（m≠0），∴．
直线AB和直线AC的斜率之积为定值﹣．
一．单项选择题
1．（2020春•南关区校级期末）若直线mx+4y﹣2＝0与直线2x﹣5y﹣12＝0垂直，则实数m的值为（ ）
A．﹣12B．﹣10C．0D．10
【分析】由直线的垂直关系可得2m﹣20＝0，解方程可得m的值．
【解答】解：∵直线mx+4y﹣2＝0与2x﹣5y﹣12＝0垂直，
∴2m﹣20＝0，解得m＝10，
故选：D．
2．（2020春•启东市期末）已知直线l经过两点O（0，0），A（1，），直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】由已知两点的坐标求得直线l的斜率，得到倾斜角，进一步得到直线m的倾斜角，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线m的斜率．
【解答】解：∵直线l经过两点O（0，0），A（1，），∴，
设直线l的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，α＝60°，
则直线m的倾斜角是120°．
∴，
故选：A．
3．（2020春•宿迁期末）已知圆C的圆心在直线y＝﹣x上，且过两点A（2，0），B（0，﹣4），则圆C的方程是（ ）
A．（x﹣3）2+（y+3）2＝B．（x+3）2+（y﹣3）2＝
C．（x﹣3）2+（y+3）2＝10D．（x+3）2+（y﹣3）2＝10
【分析】由题意设圆心C的坐标（a，﹣a），又过A，B点，可得r＝|AC|＝|BC|，求出a的值，进而求出半径，求出圆的标准方程．
【解答】解：由题意设圆的圆心坐标为C（a，﹣a），可得|AC|＝|BC|，即＝，解得：a＝3，
即圆心坐标（3，﹣3），半径r＝＝，
所以圆的方程为：（x﹣3）2+（y+3）2＝10．
故选：C．
4．（2020春•安徽期末）已知圆x2﹣2ax+y2＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得弦长是2，则a的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求a值．
【解答】解：由圆x2﹣2ax+y2＝0（a＞0），得（x﹣a）2+y2＝a2，
则圆心坐标为（a，0），半径为a，
圆心到直线x﹣y＝0的距离d＝．
又半弦长为，由垂径定理可得：，解得a2＝4．
∵a＞0，∴a＝2．
故选：B．
5．（2020•郑州二模）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4
C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4
【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．
【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，
由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，
设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，
故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，
故选：C．
6．（2020春•龙凤区校级期末）已知△ABC的顶点A（1，2），C（5，2），∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为（ ）
A．3x﹣2y+1＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．x﹣3y﹣5＝0D．x﹣3y+1＝0
【分析】先求出点A关于直线y＝x的对称点，再根据直线方程的两点式即可求解结论．
【解答】解：因为点A（1，2）关于直线y＝x的对称点（2，1）在直线BC上；
故直线BC的方程为：＝，即x﹣3y+1＝0；
故选：D．
7．（2019秋•城关区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．5B．C．5D．
【分析】推导出点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，求出点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（4，﹣2），|PA|+|PB|的最小值为|BC|，由此能求出结果．
【解答】解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，
∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，
设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），
则，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），
∴|PA|+|PB|的最小值为：
|BC|＝＝2．
故选：D．
8．（2020春•金牛区校级期末）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点，的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】由已知求得A与B的坐标，设N（csα，sinα），由两点间的距离公式，求弦长|NB|与|NA|，作商得答案．
【解答】解：∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标为1．
取AB中点E，∵|AB|＝2，∴|BE|＝1，则|BC|＝．
即圆的半径为，则圆心C（1，），E（0，）．
又|AB|＝2，且E为AB的中点，∴A（0，），B（0，）．
∵N在圆O上，∴可设N（csα，sinα），
则|NA|＝＝．
|NB|＝．
∴＝．
故选：D．
二．多项选择题
9．（2020春•沭阳县期中）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2
C．直线 的倾斜角为60°
D．过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，得出结论．
【解答】解：∵过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0，或者y＝2x，故A错误；
∵直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，故B正确；
由于直线 的斜率为，故它的倾斜角为30°，故C错误；
∵过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0，故D正确，
故选：BD．
10．（2020春•惠州期末）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）
A．k1＜k3＜k2B．k3＜k2＜k1C．α1＜α3＜α2D．α3＜α2＜α1
【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．
【解答】解：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，
则 k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，
故选：AD．
11．（2020春•扬州期末）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），则实数a的取值可为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由弦AB的中点为M（0，1）可得点M在圆内，可得：﹣3+a＜0，即a＜3，故选出答案．
【解答】解：由题意弦AB的中点为M（0，1），则可得M点在圆内，将点M坐标代入圆的方程可得：﹣3+a＜0，即a＜3，
故选：AB．
12．（2020春•崇川区校级期中）已知圆M：（x﹣1﹣csθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2＝1，直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，下列四个选项，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
B．存在实数k与θ，直线l和圆M相离
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
【分析】A．由题意得圆M与直线l有公共点（1，2），
B．由d≤r判断直线和圆不会相离．
C．由k存在和tanβ存在，对应β存在，θ也存在．
D．举例说明不一定存在实数k，使得直线l和圆M相切．
【解答】解：A．根据题意知圆M的圆心坐标为（1+csθ，2+sinθ），半径为1，
无论θ取何值，都由（1﹣1﹣csθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，
从而圆M过定点（1，2），
又因为直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，可化为k（x﹣1）﹣y+2＝0，
所以直线l过定点（1，2），从而直线l和圆M有公共点．
B．圆心到直线l的距离d＝＝
＝＝|sin（β﹣θ）|≤1＝r，（其中sinβ＝，csβ＝，tanβ＝k）
从而不存在实数k与θ，使直线与圆M相离，所以不正确，
C．因为对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使d＝|sin（θ﹣α）|＝1＝r，
即直线l与圆M相切，所以正确．
D．对任意实数θ，不一定存在实数k，使得直线l与圆M相切，如θ＝0°时，tan90°不存在，所以不正确．
故选：AC．
三．填空题
13．（2020春•北海期末）经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为 ．
【分析】设经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0，把P（2，1）代入，能求出所求的直线方程．
【解答】解：设经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0，
把P（2，1）代入，得：2﹣2×1+c＝0，
解得c＝0，
∴经过点P（2，1）且与直线x﹣2y+4＝0平行的直线方程为x﹣2y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0．
14．（2020春•乃东区校级期末）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则x2+y2的最大值和最小值分别为 、 ．
【分析】根据题意，分析可得x2+y2﹣4x+1＝0的几何意义为圆x2+y2﹣4x+1＝0，x2+y2的几何意义圆上的一点与原点距离的平方，结合点与圆的位置关系分析圆x2+y2﹣4x+1＝0上的点到原点距离最大值、最小值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则点（x，y）是圆x2+y2﹣4x+1＝0上的点，
设t＝x2+y2，其几何意义为圆上的一点与原点距离的平方，
而圆x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，其圆心为（2，0），半径r＝，
又圆心到原点的距离为＝2，则圆x2+y2﹣4x+1＝0上的点到原点距离最大值为2+，最小值为2﹣，
所以x2+y2的最大值是，x2+y2的最小值是；
故答案为：7+4，7﹣4．
15．（2020•永康市模拟）过定点P（4，t）作直线l，使l被圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0截得的弦长为4，若这样的直线l只有1条，则直线l在y轴的截距为 ．
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，可知满足条件的直线l是过P且与CP垂直的直线，由已知圆的半径、弦长及垂径定理求得|CP|，再由两点间的距离公式列式求得t，分类写出l的方程，则答案可求．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0，得（x﹣3）2+（y﹣3）2＝9，
则圆心C（3，3），半径为3．
如图，
要使过定点P（4，t）的直线l被圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+9＝0截得的弦长为4，且这样的直线l只有1条，
则P在圆C内部，且直线l是过P且与CP垂直的直线．
∵圆C的半径为3，弦长为4，则|CP|＝．
即|CP|＝，解得t＝1或t＝5．
当t＝1时，P（4，1），，，
此时直线l的方程为y﹣1＝，即x﹣2y﹣2＝0，直线l在y轴上的截距为﹣1；
当t＝5时，P（4，5），，，
此时直线l的方程为y﹣5＝﹣，即x+2y﹣14＝0，直线l在y轴上的截距为7．
综上，直线l在y轴的截距为﹣1或7．
故答案为：﹣1或7．
16．（2020•南京模拟）已知圆O：x2+y2＝4，点A（2，2），直线l与圆O交于P，Q两点，点E在直线l上且满足＝2．若AE2+2AP2＝48，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为 ．
【分析】由题意可得M，Q为线段EP的三等分点，首先证明三角形的中线长定理，可推得AM2+2QM2＝16，由垂径定理可得AM2+2（4﹣OM2）＝16，所以AM2﹣2OM2＝8，设M（x，y），求得M的轨迹方程，考虑M在圆O内，求得分界点的横坐标，进而得到所求横坐标的范围．
【解答】解：点E在直线l上且满足＝2．
可得M，Q为线段EP的三等分点，
先证明在三角形ABC中，AM为边BC上的中线，即＝（+），
可得2＝（2+2+2•）
＝（2+2+2+2﹣2），
则AB2+AC2＝2AM2+2BM2，
在三角形AEP中，可得AE2+AM2＝2AQ2+2QM2，
AQ2+AP2＝2AM2+2QM2，
则AE2+2AP2＝（2AQ2+2QM2﹣AM2）+2AP2＝2（AQ2+AP2）+2QM2﹣AM2
＝2（2AM2+2QM2）+2QM2﹣AM2
＝3AM2+6QM2＝48，
即AM2+2QM2＝16，
即AM2+2（4﹣OM2）＝16，
所以AM2﹣2OM2＝8，
设M（x，y），可得（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2（x2+y2）＝8，
化为x2+y2+4x+4y＝0，
可令x2+y2＝4，联立可得2x2+2x﹣3＝0，解得x＝，
所以由M在圆O内，可得M的横坐标x∈（，）．
故答案为：（，）．
四．解答题
17．（2020春•石家庄期末）已知直线l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0．
（Ⅰ）若l1⊥l2，求m的值；
（Ⅱ）若l1∥l2，且他们的距离为，求m，n的值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用两条直线垂直的性质，求得l1⊥l2时，m的值．
（Ⅱ）由题意利用两条直线垂直的性质、两平行直线间的距离公式，求得l1∥l2时，m、n的值．
【解答】解：（Ⅰ） 直线l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0．
若l1⊥l2，则m+2＝0，求得m＝﹣2．
（Ⅱ）直线l1：x+y+2＝0； 2x+2y+4＝0 l2：mx+2y+n＝0，
若l1∥l2，且他们的距离为，则＝≠，且＝，
求得 m＝2，n＝4+2，或 n＝4﹣2．
18．（2020春•沭阳县期中）已知△ABC的顶点为A（0，4），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．
（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；
（2）求AB边上的高所在的直线方程．
【分析】（1）求出BC的中点坐标，计算中线所在的直线斜率，利用斜截式写出直线方程；
（2）计算直线AB的斜率，求出AB边上的高所在的直线斜率，再求对应直线方程．
【解答】解：（1）△ABC的顶点为A（0，4），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．
所以BC的中点M（﹣1，﹣3），
计算中线AM所在直线的斜率为，
所以BC边上的中线方程为y＝7x+4；
（2）计算直线AB的斜率为，
所以AB边上的高所在的直线方程为：，
化为一般式为x﹣6y﹣21＝0．
19．（2019秋•濮阳期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．
（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【分析】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，通过F，M在圆上，求出变量的值，得到圆的方程．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x＝代入圆的方程，求出y，然后求出限高．
【解答】解：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，
以1m为单位长度建立直角坐标系．
则E（﹣3，0），F（3，0），M（0，3），
由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，
因为F，M在圆上，所以，
解得b＝﹣3，r2＝36．
所以圆的方程为x2+（y+3）2＝36．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，
将P的横坐标x＝代入圆的方程，
得，
得y＝2或y＝﹣8（舍），
所以h＝|CP|﹣0.5＝（y+|DF|）﹣0.5＝（2+2）﹣0.5＝3.5（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．
20．（2020春•龙岗区期末）已知圆O：x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0．
（1）圆O的圆心和半径；
（2）已知点P（2，0），过点P作圆O的切线，试判断过点P可以作出几条切线？并求出切线方程．
【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标与半径；
（2）判断P在圆外，可得过点P可以作出圆O的2条切线，当切线的斜率不存在时，直接得到切线方程，当斜率存在时，设出切线方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求k，则切线方程可求．
【解答】解：（1）由圆O：x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1．
∴圆O的圆心为（3，4），半径为1；
（2）把P（2，0）代入圆O的方程的左边，得（2﹣3）2+（0﹣4）2＝17＞1，
可知点P在圆O外部，则过点P作圆O的切线，可以作2条．
当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝2；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0．
由，解得k＝．
∴切线方程为，即15x﹣8y﹣30＝0．
故过点P可以作出圆O的2条切线，切线方程为x＝2和15x﹣8y﹣30＝0．
21．（2020春•常州期末）在平面直角坐标系xOy，中，已知点A（0，﹣2），B（4，0），圆C经过点（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．斜率为k的直线l经过点B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝PA，求点P的坐标；
（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．
【分析】（1）由圆C过三点，设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，进而求出圆的一般方程，由圆的标准方程和一般方程之间的转化求出圆的标准方程；
（2）由k＝2，由题意求出直线l的方程，设P的坐标，满足l的方程，可得横纵坐标之间的关系，由题意可得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝，又可得P的横纵坐标的关系，进而求出P的坐标；
（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T为该圆上任意一点，可得K为MN的中点，设CK的值为d，则d∈[0，），可得该圆的半径的表达式，
再由|CK﹣r|≤CT≤CK+r可得CT的取值范围，T总在以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，再由以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，可得圆心到直线的距离大于半径可得k的取值范围．
【解答】解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由圆C过（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．
可得E＝0，D＝2，F＝﹣1，
所以圆C的方程为：x2+y2+2x﹣1＝0；其标准方程为（x+1）2+y2＝2；
（2）设P（x，y），由PQ与圆C切于Q可得：PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝，
所以：（x+1）2+y2﹣2＝2[（x+1）2+y2]，整理可得：x2+y2﹣2x+8y+9＝0，
因为斜率为k＝2经过点B（4，0）的直线l的方程为y＝2（x﹣4），即y＝2x﹣8，而P在l上，
由解得：或，
所以P（3，﹣2）或（，﹣）；
（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T为该圆上任意一点，则K为MN的中点，设CK＝d，则圆的半径r＝，
因为|CK﹣r|≤CT≤CK+r，所以2﹣2d≤CT2≤2+2d，
因为M，N是圆C上任意两个不同的点，所以d∈[0，），
对于任意d∈[0，），d＝∈[0，1]，所以0≤CT2≤4，
故T总在以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，
故直线l：y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，与该圆无公共点，
所以＞2，解得k或k．
22．（2020春•泰州期末）已知A（0，3），B，C为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上三点．
（1）求r的值；
（2）若直线BC过点（0，2），求△ABC面积的最大值；
（3）若D为曲线x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）由A（0，3）为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上的点即可得r；
（2）方法1：设B（x1，y1），C（x2，y2），
S△ABC＝•1•|x1﹣x2|利用韦达定理即可求解；
方法2：设O到直线BC的距离为d，d∈（0，2]，
S△ABC＝＝＝，即可求解；
（3）直线AB和直线AC的斜率之积为m，
设B（x1，y1），C（x2，y2），D（x0，y0），
即可得m＝⇒，
由可得D（x1+x2，y1+y2﹣3），带入x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）⇒，
求得m即可．
【解答】解：（1）∵A（0，3）为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上的点，∴r2＝9，即r＝3；
（2）方法1：设直线BC的方程为y＝kx+2，B（x1，y1），C（x2，y2），
将y＝kx+2代入x2+y2＝9得，（1+k2）x2+4kx﹣5＝0．
，
S△ABC＝•1•|x1﹣x2|＝＝．
令，则S△ABC＝＝，
∵函数y＝t+在[，+∞）递增，
所以当k＝0时，△ABC面积取得最大值；
方法2，∵直线BC过点（0，2），∴△ABC的面积等于△OBC面积的一半，
设O到直线BC的距离为d，d∈（0，2]，
S△ABC＝＝＝，
令t＝d2∈（0，4]，S△ABC＝＝，
∴当t＝4，即d＝2时，△ABC面积取得最大值；
（3）直线AB和直线AC的斜率之积为m，
设B（x1，y1），C（x2，y2），D（x0，y0），则m＝，
⇒，
∵，，
∴，
整理，
∵，∴（x1，y1﹣3）+（x2，y2﹣3）＝（x0，y0﹣3）．
从而D（x1+x2，y1+y2﹣3），又因为D为x2+（y+1）2＝4（y≠﹣3）上的动点，
∴，展开得（）+（x22+y）+2x1x2+2y1y2﹣4（y1+y2）+4＝4．
⇒9+9+（y1﹣3）（y2﹣3）+2y1y2﹣4（y1+y2）＝0，
⇒（m+1）y1y2﹣（2m+3）（y1+y2）+9（m+1）＝0．
⇒，
∵y1+y2﹣3≠﹣3，∴y1+y2≠0，
从而5m2+m＝0，（m≠0），∴．
直线AB和直线AC的斜率之积为定值﹣．
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