高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案设计，共7页。

5.5.2《简单的三角恒等变换》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs α=eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )


A.eq \f(\r(5),5) B.－eq \f(\r(5),5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若cs α=eq \f(1,3)，α∈(0，π)，则cs eq \f(α,2)的值为( )


A.eq \f(\r(6),3) B.－eq \f(\r(6),3) C.±eq \f(\r(6),3) D.±eq \f(\r(3),3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知taneq \f(θ,2)=3，则cs θ等于( )


A.eq \f(4,5) B.－eq \f(4,5) C.eq \f(4,15) D.－eq \f(3,5)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若cs α=－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan \f(α,2),1－tan \f(α,2))等于( )


A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.2 D.－2





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，若sin Asin B=cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )


A.等边三角形 B.等腰三角形


C.不等边三角形 D.直角三角形





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设函数f(x)=eq \r(3)cs2ωx＋sin ωxcs ωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的


第一个最高点的横坐标是eq \f(π,6)，则ω的值为( )


A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,3) C.－eq \f(2,3) D.eq \f(2π,3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设a=eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°，b=2sin 13°cs 13°，c= eq \r(\f(1－cs 50°,2))，则有( )


A.c




LISTNUM OutlineDefault \l 3 使函数f(x)=sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的一个θ值是( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)








、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=sin x－cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为 .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)=a，则sin eq \f(θ,4)的值为 .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=sin(2x－eq \f(π,4))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是 .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设a=eq \f(1,2)sin 2°＋eq \f(\r(3),2)cs 2°，b=1－2sin213°，c=eq \f(\r(3),2)，则a，b，c的大小关系是______.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin α=－eq \f(8,17)，且π<α


































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs 2θ=eq \f(7,25)，eq \f(π,2)<θ<π，


(1)求tan θ的值；


(2)求eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sin θ,\r(2)sinθ＋\f(π,4))的值.


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))，g(x)=eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(1,4).


(1)求函数f(x)的最小正周期；


(2)求函数h(x)=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.





























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：A；


解析：[由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)=eq \r(\f(1－cs α,2))=eq \f(\r(5),5).]








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析 由题意知eq \f(α,2)∈(0，eq \f(π,2))，∴cs eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)=eq \r(\f(1＋cs α,2))=eq \f(\r(6),3).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析 cs θ=eq \f(cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2))=eq \f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))=eq \f(1－32,1＋32)=－eq \f(4,5).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析 ∵α是第三象限角，cs α=－eq \f(4,5)，


∴sin α=－eq \f(3,5)，∴eq \f(1＋tan \f(α,2),1－tan \f(α,2))==eq \f(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2),cs \f(α,2)－sin \f(α,2))


=eq \f(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2),cs \f(α,2)－sin \f(α,2))·eq \f(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2),cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))=eq \f(1＋sin α,cs α)=eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))=－eq \f(1,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析 f(x)=eq \f(\r(3),2)cs 2ωx＋eq \f(1,2)sin 2ωx＋eq \f(\r(3),2)＋a=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)＋a，


依题意得 2ω·eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)=eq \f(π,2)⇒ω=eq \f(1,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析 a=sin 30°cs 6°－cs 30°sin 6°=sin(30°－6°)=sin 24°，


b=2sin 13°cs 13°=sin 26°，c=sin 25°，


∵y=sin x在[0，eq \f(π,2)]上是单调递增的，∴a







LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：f(x)=sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋θ＋\f(π,3)))，


当θ=eq \f(2π,3)时，f(x)=2sin(2x＋π)=－2sin 2x为奇函数.











、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－1；


解析 f(x)=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).


∵－eq \f(π,4)≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,4)，∴f(x)min=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))=－1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－ eq \r(\f(1－a,2))；


解析 sin2eq \f(θ,4)=eq \f(1－cs \f(θ,2),2)，∵θ∈(5π，6π)，∴eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))，


∴sin eq \f(θ,4)=－ eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))=－ eq \r(\f(1－a,2)).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：π；


解析 ∵f(x)=eq \f(\r(2),2)sin 2x－eq \f(\r(2),2)cs 2x－eq \r(2)(1－cs 2x)


=eq \f(\r(2),2)sin 2x＋eq \f(\r(2),2)cs 2x－eq \r(2)=sin(2x＋eq \f(π,4))－eq \r(2)，∴T=eq \f(2π,2)=π.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：c＜a＜b；


解析：[a=cs 60°sin 2°＋sin 60°cs 2°=sin 62°，


b=1－2sin213°=cs 26°=sin 64°，


c=eq \f(\r(3),2)=sin 60°，又y=sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为增函数，∴c＜a＜b.]











、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：∵sin α=－eq \f(8,17)，π<α

又∵π<α

∴sin eq \f(α,2)= eq \r(\f(1－cs α,2))= eq \r(\f(1＋\f(15,17),2))=eq \f(4\r(17),17)，


cs eq \f(α,2)=－ eq \r(\f(1＋cs α,2))=－ eq \r(\f(1－\f(15,17),2))=－eq \f(\r(17),17)，


tan eq \f(α,2)=eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))=－4.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)因为cs 2θ=eq \f(7,25)，


所以eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)=eq \f(7,25)，


所以eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)=eq \f(7,25)，解得tan θ=±eq \f(3,4)，


因为eq \f(π,2)<θ<π，所以tan θ=－eq \f(3,4).


(2)因为eq \f(π,2)<θ<π，tan θ=－eq \f(3,4)，


所以sin θ=eq \f(3,5)，cs θ=－eq \f(4,5)，


所以eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sin θ,\r(2)sinθ＋\f(π,4))=eq \f(1＋cs θ＋sin θ,cs θ＋sin θ )=－4.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x－\f(\r(3),2)sin x))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))


=eq \f(1,4)cs2x－eq \f(3,4)sin2x


=eq \f(1＋cs 2x,8)－eq \f(31－cs 2x,8)


=eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,4)，


∴f(x)的最小正周期为T=eq \f(2π,2)=π.


(2)h(x)=f(x)－g(x)=eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,2)sin 2x=eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，


当2x＋eq \f(π,4)=2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值eq \f(\r(2),2).


此时x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝kπ－\f(π,8)，k∈Z)).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解 如图连接AP，设∠PAB=θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，





则AM=90cs θ，MP=90sin θ.


所以PQ=MB=100－90cs θ，


PR=MR－MP=100－90sin θ.


所以S矩形PQCR=PQ·PR


=(100－90cs θ)(100－90sin θ)


=10 000－9 000(sin θ＋cs θ)


＋8 100sin θcs θ.


令t=sin θ＋cs θ(1≤t≤eq \r(2))，


则sin θcs θ=eq \f(t2－1,2).


所以S矩形PQCR=10 000－9 000t＋8 100·eq \f(t2－1,2)=eq \f(8 100,2)(t－eq \f(10,9))2＋950.


故当t=eq \f(10,9)时，S矩形PQCR有最小值950 m2；


当t=eq \r(2)时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000eq \r(2)) m2.