高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案及答案，共6页。
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs(α＋eq \f(π,4))=eq \f(1,4)，则sin 2α的值为( )


A.eq \f(7,8) B．-eq \f(7,8) C.eq \f(3,4) D．-eq \f(3,4)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且 sin2α＋cs 2α=eq \f(1,4)，则tan α的值等于( )


A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)=eq \f(1,2)，则tan 2α=( )


A.－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C.－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin 2θ=eq \f(3\r(7),8)，则sin θ=( )


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(3,4)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))=eq \f(3,5)，则cs 2x的值为( )


A.－eq \f(7,25) B.eq \f(14,25) C.－eq \f(16,25) D.eq \f(19,25)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin α=eq \f(2,3)，则cs (π－2α)=( )


A.－eq \f(\r(5),3) B.－eq \f(1,9) C.eq \f(1,9) D.eq \f(\r(5),3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 eq \r(1－sin 24°)等于( )


A.eq \r(2)cs 12° B.2cs 12° C.cs 12°－sin 12° D.sin 12°－cs 12°





LISTNUM OutlineDefault \l 3 sin4eq \f(π,12)- cs4eq \f(π,12)等于( )


A.- eq \f(1,2) B.- eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)














、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知tan α=-eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin(eq \f(π,6)＋α)=eq \f(1,3)，则cs(eq \f(2π,3)-2α)的值等于________．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=2cs2x＋sin 2x的最小值是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α=eq \f(3,5)，则eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α=________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知α为锐角，且taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))=2.


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(sin 2αcs α－sin α,cs 2α)的值.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知tan α=2.


(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；


(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值.












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知角α在第一象限且cs α=eq \f(3,5)，求eq \f(1＋\r(2)cs2α－\f(π,4),sinα＋\f(π,2))的值.















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设函数f(x)=5eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)sin2x－4sin xcs x.


(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))；


(2)若f(α)=5eq \r(3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求角α.















































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：A.


解析：∵cs(α＋eq \f(π,4))=eq \f(1,4)，∴sin 2α=-cs(2α＋eq \f(π,2))=-cs[2(α＋eq \f(π,4))]


=1-2cs2(α＋eq \f(π,4))=1-eq \f(1,16)×2=eq \f(7,8).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：∵sin2α＋cs 2α=eq \f(1,4)，∴sin2α＋cs2α-sin2α=cs2α=eq \f(1,4).∴cs α=±eq \f(1,2).


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α=eq \f(1,2)，sin α=eq \f(\r(3),2).∴tan α=eq \r(3).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 B.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 D.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 A





LISTNUM OutlineDefault \l 3 B.


解析：因为sin α=eq \f(2,3)，所以cs (π－2α)=－cs 2α=－(1－2sin2 α)=－eq \f(1,9).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.


解析：eq \r(1－sin 24°)= eq \r(（sin 12°－cs 12°）2)=cs 12°－sin 12°.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析:原式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))=- cs eq \f(π,6)=- eq \f(\r(3),2).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：-eq \f(5,6)；


解析：eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)=eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)=eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)=tan α-eq \f(1,2)=-eq \f(5,6).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：-eq \f(7,9)；


解析：因为cs(eq \f(π,3)-α)=sin[eq \f(π,2)-(eq \f(π,3)-α)]=sin(eq \f(π,6)＋α)=eq \f(1,3)，


所以cs(eq \f(2π,3)-2α)=2cs2(eq \f(π,3)-α)-1=2×(eq \f(1,3))2-1=-eq \f(7,9).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案：1－eq \r(2)；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案：7；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))=eq \f(1＋tan α,1－tan α)，所以eq \f(1＋tan α,1－tan α)=2,1＋tan α=2－2tan α，所以tan α=eq \f(1,3).


(2)eq \f(sin 2αcs α－sin α,cs 2α)=eq \f(2sin αcs2α－sin α,cs 2α)


=eq \f(sin α2cs2α－1,cs 2α)=eq \f(sin αcs 2α,cs 2α)=sin α.


因为tan α=eq \f(1,3)，所以cs α=3sin α，


又sin2α＋cs2α=1，所以sin2α=eq \f(1,10)，


又α为锐角，所以sin α=eq \f(\r(10),10)，所以eq \f(sin 2αcs α－sin α,cs 2α)=eq \f(\r(10),10).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))=eq \f(2＋1,1－2×1)=- 3.


(2)eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)=eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α)


=eq \f(2tan α,tan2α＋tan α－2)=eq \f(2×2,4＋2－2)=1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


∵cs α=eq \f(3,5)且α在第一象限，∴sin α=eq \f(4,5).


∴cs 2α=cs2α- sin2α=- eq \f(7,25)，


sin 2α=2sin αcs α=eq \f(24,25)，


∴原式=eq \f(1＋\r(2)cs 2αcs \f(π,4)＋sin 2αsin \f(π,4),cs α)=eq \f(1＋cs 2α＋sin 2α,cs α)=eq \f(14,5).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


f(x)=5eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)sin2x－4sin xcs x


=5eq \r(3)cs2x＋5eq \r(3)sin2x－2sin 2x－4eq \r(3)sin2x


=5eq \r(3)－2sin 2x－2eq \r(3)(1－cs 2x)


=3eq \r(3)－2sin 2x＋2eq \r(3)cs 2x


=3eq \r(3)－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2x×\f(1,2)－cs 2x×\f(\r(3),2)))


=3eq \r(3)－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2xcs\f(π,3)－cs 2xsin\f(π,3)))


=3eq \r(3)－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))=3eq \r(3)－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－\f(π,3)))=3eq \r(3)－4sineq \f(π,2)=3eq \r(3)－4.


(2)由f(α)=5eq \r(3)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))=－eq \f(\r(3),2)，


由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，得2α－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(5π,3)))，


∴2α－eq \f(π,3)=eq \f(4π,3)，α=eq \f(5π,6).