高中数学5.5 三角恒等变换练习

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换练习，共7页。

《两角和与差的正弦余弦公式》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )


A.－eq \f(\r(3),2) B.－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 化简eq \r(2)cs x－eq \r(6)sin x等于( )


A.2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x)) B.2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))


C.2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x)) D.2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))





LISTNUM OutlineDefault \l 3 化简cs α－eq \r(3)sin α的结果可以是( )


A.eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)) B.2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α)) C.eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)) D.2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，A=eq \f(π,4)，cs B=eq \f(\r(10),10)，则sin C等于( )


A.eq \f(2\r(5),5) B.－eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.－eq \f(\r(5),5)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若sin α=eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋α))=( )


A.－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C.－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,3)))，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)的值为( )


A.2eq \r(3) B.eq \r(3) C.1 D.0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知α，β均为锐角，且cs(α＋β)=sin(α－β)，则角α的值为( )


A.eq \f(π,4) B.－eq \f(π,4) C.0 D.无法确定





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=eq \r(3)sin ωx＋cs ωx(ω＞0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的一条对称轴是( )


A.x=－eq \f(π,12) B.x=eq \f(π,12) C.x=－eq \f(π,6) D.x=eq \f(π,6)








、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算sin 15°cs 75°＋cs 15°sin 105°=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin α＋cs β=1，cs α＋sin β=0，则sin(α＋β)=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若sin(α＋β)=eq \f(1,5)，sin(α－β)=eq \f(3,5)，则eq \f(tan α,tan β)=________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知0≤x≤eq \f(π,2)，若eq \r(3)sin x＋cs x=m，则m的取值范围是________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 化简求值：


(1)eq \f(sin 50°－sin 20°cs 30°,cs 20°)；


(2)sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°).









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs α=eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)=eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).


求：①cs(2α－β)的值；②β的值.






























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设方程 12x2－πx－12π=0的两根分别为α，β，求cs αcs β－eq \r(3)sin αcs β－eq \r(3)cs αsin β－sin αsin β的值.


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin(eq \f(π,4)－α)=－eq \f(1,2)，sin(eq \f(π,4)＋β)=eq \f(\r(3),2)，其中eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，eq \f(π,4)＜β＜eq \f(π,2)，求角α＋β的值.






































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；


解析：[∵sin 245°=sin(155°＋90°)=cs 155°，


sin 125°=sin(90°＋35°)=cs 35°，


∴原式=cs 155°cs 35°＋sin 155°sin 35°


=cs(155°－35°)=cs 120°=－eq \f(1,2).]








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：因为cs B=eq \f(\r(10),10)且0

所以sin C=sin(A＋B)=sineq \f(π,4)cs B＋cseq \f(π,4)sin B=eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3\r(10),10)=eq \f(2\r(5),5).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：因为sin α=eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以cs α=eq \f(4,5)，


故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,4)))=cs αcs eq \f(5π,4)－sin αsin eq \f(5π,4)=eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))=－eq \f(\r(2),10).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,3)))=2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))=2sin eq \f(π,3)x，


因为周期为6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)=0 ，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)=0.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A.


解析：由题意得cs αcs β－sin αsin β=sin αcs β－cs αsin β，


即cs α(cs β＋sin β)=sin α(sin β＋cs β)，


因为α，β均为锐角，所以sin β＋cs β≠0，所以cs α=sin α，所以α=eq \f(π,4).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：函数f(x)=eq \r(3)sin ωx＋cs ωx=2sin(ωx＋eq \f(π,6)).


因为y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，所以函数的周期T=π，


所以ω=2，所以f(x)=2sin(2x＋eq \f(π,6)).


令2x＋eq \f(π,6)=eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x=eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z，当k=0时，有x=eq \f(π,6).故选D.











、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－eq \f(1,2)；


解析：∵sin α＋cs β=1，cs α＋sin β=0，


∴sin2α＋cs2β＋2sin αcs β=1①，cs2α＋sin2β＋2cs αsin β=0②，


①②两式相加可得


sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)=1，


∴sin(α＋β)=－eq \f(1,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－2；


解析：由题意得sin αcs β＋cs αsin β=eq \f(1,5)，①


sin αcs β－cs αsin β=eq \f(3,5)，②


①＋②得sin αcs β=eq \f(2,5)，③ ①－②得cs αsin β=－eq \f(1,5)，④


③÷④得eq \f(tan α,tan β)=－2.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：[1,2]；


解析：eq \r(3)sin x＋cs x=2sin(x＋eq \f(π,6))，


因为0≤x≤eq \f(π,2)，所以eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，所以1≤2sin(x＋eq \f(π,6))≤2，所以1≤m≤2.











、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)原式=eq \f(sin20°＋30°－sin 20°cs 30°,cs 20°)


=eq \f(sin 20°cs 30°＋cs 20°sin 30－sin 20°cs 30°,cs 20°)


=eq \f(cs 20°sin 30°,cs 20°)=sin 30°=eq \f(1,2).


(2)设α=θ＋15°，


则原式=sin(α＋60°)＋cs(α＋30°)－eq \r(3)cs α


=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α－\f(1,2)sin α))－eq \r(3)cs α=0.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：①因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，又sin(α－β)=eq \f(\r(10),10)＞0，


所以0＜α－β＜eq \f(π,2)，所以sin α=eq \r(1－cs2α)=eq \f(2\r(5),5)，


cs(α－β)=eq \r(1－sin2α－β)=eq \f(3\r(10),10)，


cs(2α－β)=cs[α＋(α－β)]


=cs αcs(α－β)－sin αsin(α－β)=eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)=eq \f(\r(2),10).


②cs β=cs[α－(α－β)]


=cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)=eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)=eq \f(\r(2),2)，


又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β=eq \f(π,4).]








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：由题意知α＋β=eq \f(π,12)，


故原式=cs(α＋β)－eq \r(3)sin(α＋β)=2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－（α＋β）))


=2sin eq \f(π,12)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,4)cs \f(π,6)－cs \f(π,4)sin \f(π,6)))


=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)－\f(\r(2),2)×\f(1,2)))=eq \f(\r(6)－\r(2),2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：因为eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,4)＜eq \f(π,4)－α＜0.


因为eq \f(π,4)＜β＜eq \f(π,2)，所以eq \f(π,2)＜eq \f(π,4)＋β＜eq \f(3π,4).


由已知可得cs(eq \f(π,4)－α)=eq \f(\r(3),2)，cs(eq \f(π,4)＋β)=－eq \f(1,2)，


则cs(α＋β)=cs[(eq \f(π,4)＋β)－(eq \f(π,4)－α)]


=cs(eq \f(π,4)＋β)·cs(eq \f(π,4)－α)＋sin(eq \f(π,4)＋β)·sin(eq \f(π,4)－α)


=(－eq \f(1,2))×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)×(－eq \f(1,2))=－eq \f(\r(3),2).


因为eq \f(π,2)＜α＋β＜π，


所以α＋β=eq \f(5π,6).