高中2.2 基本不等式课后作业题

p C.p=rq





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若－4

A.有最小值1 B.有最大值1


C.有最小值－1 D.有最大值－1





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若0＜a＜b且a＋b=1，试判断eq \f(1,2)，a、b、2ab、a2＋b2的大小顺序________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b∈R，如果ab=1，那么a＋b的最小值为________；如果a＋b=1，那么ab的最大值为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z=0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)最大值为_______.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设a>0，b>0，给出下列不等式：


①a2＋1>a；


②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4；


③(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；


④a2＋9>6a.


其中恒成立的是________(填序号).
































、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x，y∈R＋，且x＋y=4，求eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值.
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x<3，求f(x)=eq \f(4,x－3)＋x的最大值；









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设a＞b＞c，且eq \f(1,a－b)＋eq \f(1,b－c)≥eq \f(m,a－c)恒成立，求m的取值范围.

































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池糖养鱼，挖出的泥土堆在池糖四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池糖周围的基围宽约为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米.





(1)试用x表示S；


(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值.





















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc=1.


求证：eq \r(a)＋eq \r(b )＋eq \r(c)＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).



























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c=1.证明：


(1)ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)；


(2)eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.



























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知不等式ax2-3x＋2<0的解集为A={x|1

(1)求a，b的值；


(2)求函数f(x)=(2a＋b)x＋eq \f(25,b－ax＋a)(x∈A)的最小值．
























































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：A；


解析：因为a2＋b2－2|ab|=(|a|－|b|)2≥0，


所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时，等号成立).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：因为a2＋b2≥2ab，所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，


即2(a2＋b2)≥(a＋b)2=4，所以a2＋b2≥2.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：由eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)=eq \r(ab)知a>0，b>0，所以eq \r(ab)=eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，即ab≥2eq \r(2)，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)))即a=eq \r(4,2)，b=2eq \r(4,2)时取“=”，


所以ab的最小值为2eq \r(2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：a＞b＞0，eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，eq \f(2ab,a＋b)＜eq \f(2ab,2\r(ab))=eq \r(ab).从而eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞eq \f(2ab,a＋b).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：∵x＋2y＋2xy=8，∴y=eq \f(8－x,2x＋2)>0.


∴0

当且仅当x＋1=eq \f(9,x＋1)，即x=2时，取“=”号，此时x=2，y=1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：∵a>2，∴a－2>0.


又∵m=a＋eq \f(1,a－2)=(a－2)＋eq \f(1,a－2)＋2≥2eq \r(a－2×\f(1,a－2))＋2=4


(当且仅当a－2=eq \f(1,a－2)，即a=3时，“=”成立).


即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，∴2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4.


∴n∈(0,4)，综上易知m>n.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：y=3－3x－eq \f(1,x)=3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq \r(3x·\f(1,x))=3－2eq \r(3)，


当且仅当3x=eq \f(1,x)，即x=eq \f(\r(3),3)时取等号.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为eq \f(400,x)米，


总造价y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2·\f(400,x)))×200＋2×250·eq \f(400,x)＋80×400=400·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(900,x)))＋32 000


≥400×2eq \r(x·\f(900,x))＋32 000=56 000(元)，


当且仅当x=eq \f(900,x)，即x=30时等号成立，此时污水池的宽为eq \f(40,3)米.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：A错误，当x<0时或≠1时不成立；B正确，因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，


且eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2；C错误，若运用基本不等式，需eq \r(x2＋2)2=1，x2=-1无实数解；


D错误，y=2-(3x＋eq \f(4,x))≤2-4eq \r(3).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：p=f(eq \r(ab))=lneq \r(ab)，q=f(eq \f(a＋b,2))=lneq \f(a＋b,2)，


r=eq \f(1,2)(f(a)＋f(b))=eq \f(1,2)ln ab=ln eq \r(ab)，函数f(x)=ln x在(0，＋∞)上单调递增，


因为eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)，所以f(eq \f(a＋b,2))>f(eq \r(ab))，所以q>p=r.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：f(x)=eq \f(x2－2x＋2,2x－2)=eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(1,x－1)))，


又∵－40.


∴f(x)=－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x－1＋\f(1,－x－1)))≤－1.


当且仅当x－1=eq \f(1,x－1)，即x=0时等号成立.











、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：a＜2ab＜eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b；


解析：因为0＜a＜b，a＋b=1，所以a＜eq \f(1,2)＜b ①


2ab＜a2＋b2 ②


下面寻找②中数值在①中的位置.


因为a2＋b2＞2(eq \f(a＋b,2))2=eq \f(1,2)，


a2＋b2=a·a＋b2＜a·b＋b2=(1－b)b＋b2=b，所以eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b.


又2ab＜2(eq \f(a＋b,2))2=eq \f(1,2)，2ab＞2×eq \f(1,2)a=a，


所以a＜2ab＜eq \f(1,2).所以a＜2ab＜eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2，eq \f(1,4)；


解析：因为a，b∈R，所以eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，所以a＋b≥2eq \r(ab)=2.


故当ab=1时，a＋b取最小值2，此时a=b=1.


又当a＋b=1时，eq \r(ab )≤eq \f(a＋b,2)=eq \f(1,2).所以ab≤eq \f(1,4).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1；


解析：eq \f(xy,z)=eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)=eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,4－3)=1


当且仅当x=2y时等式成立，此时z=2y2，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)=－eq \f(1,y2)＋eq \f(2,y)=－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，


当且仅当y=1时等号成立，故所求的最大值为1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：①②③；


解析：由于a2＋1－a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，故①恒成立；


由于a＋eq \f(1,a)≥2，b＋eq \f(1,b)≥2.∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4，故②恒成立；


由于a＋b≥2eq \r(ab)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))，


故(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，故③恒成立；


当a=3时，a2＋9=6a，故④不能恒成立.











、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：法一 ∵x，y∈R＋，


∴(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))=4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥4＋2eq \r(3).


当且仅当eq \f(y,x)=eq \f(3x,y)，即x=2(eq \r(3)－1)，y=2(3－eq \r(3))时取“=”号.


又x＋y=4，∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)≥1＋eq \f(\r(3),2)，故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2).


法二 ∵x，y∈R＋，且x＋y=4，


∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)=eq \f(x＋y,4x)＋eq \f(3x＋y,4y)=1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,4x)＋\f(3x,4y)))≥1＋2eq \r(\f(y,4x)·\f(3x,4y))=1＋eq \f(\r(3),2).


当且仅当eq \f(y,4x)=eq \f(3x,4y)，即x=2(eq \r(3)－1)，y=2(3－eq \r(3))时取“=”号.


∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：∵x<3，∴x－3<0，


∴f(x)=eq \f(4,x－3)＋x=eq \f(4,x－3)＋(x－3)＋3=－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3


≤－2eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3=－1，


当且仅当eq \f(4,3－x)=3－x，即x=1时取等号，


∴f(x)的最大值为－1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：由a＞b＞c，知a-b＞0，a-c＞0.


所以原不等式等价于eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)≥m.


要使原不等式恒成立，只需eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)的最小值不小于m即可.


因为eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)=eq \f(（a－b）＋（b－c）,a－b)＋eq \f(（a－b）＋（b－c）,b－c)=


2＋eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(a－b,b－c)≥2＋2 eq \r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))=4.


当且仅当eq \f(b－c,a－b)=eq \f(a－b,b－c)，即2b=a＋c时，等号成立，


所以m≤4，即m∈(-∞，4].








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)由图形知，3a＋6=x，所以a=eq \f(x－6,3).


则总面积S=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 800,x)－4))·a＋2aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 800,x)－6))=


aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5 400,x)－16))=eq \f(x－6,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5 400,x)－16))=1 832-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10 800,x)＋\f(16x,3)))，


即S=1 832-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10 800,x)＋\f(16x,3)))(x＞0).


(2)由S=1 832-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10 800,x)＋\f(16x,3)))，


得S≤1 832-2eq \r(\f(10 800,x)·\f(16x,3))=1 832-2×240=1 352.


当且仅当eq \f(10 800,x)=eq \f(16x,3)，即x=45时等号成立.


即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：因为 a，b，c都是正实数，且abc=1，


所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))=2eq \r(c)，eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(\f(1,bc))=2eq \r(a)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(\f(1,ac))=2eq \r(b)，


以上三个不等式相加，得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))，


即eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.


得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.


由题设得(a＋b＋c)2=1，


即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca=1.


所以3(ab＋bc＋ca)≤1，


即ab＋bc＋ca≤eq \f(1,3).


(2)因为eq \f(a2,b)＋b≥2a，eq \f(b2,c)＋c≥2b，eq \f(c2,a)＋a≥2c.


故eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c.


所以eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由题意知，1，b是方程ax2-3x＋2=0的两根，且b>1，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3＋2＝0，,ab2－3b＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))


(2)由(1)得f(x)=(2×1＋2)x＋eq \f(25,2－1x＋1)=4x＋eq \f(25,x＋1)


=4(x＋1)＋eq \f(25,x＋1)-4≥2eq \r(4x＋1·\f(25,x＋1))-4=16.


当且仅当4(x＋1)=eq \f(25,x＋1)，即x=eq \f(3,2)∈A时等号成立．


∴函数f(x)的最小值为16.