2021届重庆南开中学高高三第一次质量检测数学试题（试题+解析）【高斯课堂】
展开重庆南开中学高2021级高三第一次质量检测
数学试题
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知（为虚数单位），则实数等于（ ）．
A．1 B． C． D．0
3．命题“，”的否定是（ ）．
A．，均有 B．，均有
C．，使得 D．，使得
4．下列函数中，值域为且在定义域上为单调递增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知，若，则实数的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉。声音越大，涌起的泉水越高。已知听到的声强与标准声调（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝。已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若同学大喝一声的声强大约相当于100个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）米．
A． B．7 C．50 D．60
8．已知函数，，若方程有4个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（ ）．
A．
B．函数为偶函数
C．函数在上有1011个零点
D．函数在上为减函数
11．已知，且实数，满足成立，则以下正确的是（ ）．
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为9 D．的最大值为3
12．已知，，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题：
13．______．
14．已知函数（其中为的导函数），则______．
15．已知，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为______．
16．已知函数为奇函数，且的图像和函数的图像交于不同两点、，若线段的中点落在直线上，则实数的值为______．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知二次函数顶点坐标为，且图像和轴两次点间的距离为4．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18．为了解学生课余学习时间的多少是否与成绩好坏有关，现随机抽取某校高三年级30名学生进行问卷调查，得到如下列联表（以平均每天课余学习时间是否达到4小时，最近一次月考总成绩是否在年级前100名（含）为标准）：
| 4小时以上 | 不足4小时 | 合计 |
前100名（含） |
| 2 |
|
100名以后 |
| 18 |
|
合计 |
|
| 30 |
已知在这30人中随机抽取1人，抽到最近一次月考总成绩在前100名的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整，并据此判断是否有％的把握认为课余学习时间达到4小时和成绩在年级前100名有关？说明你的理由；
（2）通过统计发现，这30位同学最近一次月考数学成绩（分）近似服从正态分布，若这30位同学所在的高三年级有800人，试以这30人的成绩分布情况估计高三年级最近一次月考数学成绩在130分及以上的大概有多少人？（最后结果小数部分四舍五入成整数）
（参考公式：，其中）
，．
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在极小值，且极小值大于，求实数的取值范围．
20．重庆作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，近几年每年都有大量游客来重庆参观旅游．为了更合理的配置旅游资源，管理部门对首次来重庆旅游的游客进行了问卷调查．据统计，其中的游客计划只游览千年古镇——磁器口古镇，另外的游客计划既游览磁器口，又准备“打卡”洪崖洞景区．每位游客若只游览磁器口，则记0分，若既游览磁器口，又“打卡”洪崖洞，则记一分．假设每位首次来磁器口游览的游客是否“打卡”洪崖洞相互独立，并且以频率估计概率．
（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）在参观洪崖洞景区某特色景点入口处景区摄影部会为每位游客拍一张与该景点的合影，游客若要带走则需支付20元，没卖出去的照片统一销毁．运营一段时间后，经过统计，只有20％的游客会选择带走照片．经过调查研究发现照片收费与游客消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的概率平均增加．已知每张照片的综合成本为3元，若每位游客是否购买照片相互独立，则应如何定价才能使得每天的平均利润最大？
21．已知椭圆上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点、落在椭圆上，求动直角面积的最大值．
22．已知函数．
（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围．
参考答案
1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D
7．D
【解析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，
则同学的声强为，喷出泉水高度为70，
，，
相减得．
8．C
【解析】由题知开口向下，且最大值为1的二次函数，
令，则关于的方程有两个小于1的实根，
画出图像易知当且仅时满足题意．
9．ABC
10．ABC
11．ABD
【解析】为奇函数，，
定义域为，则，，并且，
，A正确；
当，时，最小值为，最大值为3，B、D正确；
，C错误．
12．ACD
【解析】，
又，即，
类似得，所以A、C对；
对于B：∵B错；
对于D：由和知与均递减，
再由，的大小关系知D正确．
13． 14．0
15．
【解析】由条件知，
而，，
，
由分母递增知递减，，
所以．
16．
【解析】为奇函数，由，
注意不能用，联立两个函数的方程，消去得到关于的二次方程
，有两个根和，
因为中点纵坐标为，所以，．
17．（1）由题可知和轴两交点为，，
故可设，
由题可知：，所以．
（2）设，
则在上恒成立，
故有．
18．（1）设这30人中有人在前100名，则由题可得：，
故联表补充如下：
| 4小时以上 | 不足4小时 | 合计 |
前100名（含） | 6 | 2 | 8 |
100名以后 | 4 | 18 | 22 |
合计 | 10 | 20 | 30 |
所以，
故有％的把握认为课余学习时间达到4小时和总成绩在年级前100名有关．
（2）由题可知
故高三年级800人中超过130的大约有（人）．
19．（1），
因为，故由，
①当时，在上恒成立，此时在上递增
②当时，，令或，
此时在和上递增，在上递减
③当时，，令或
此时在和上递增，在上递减．
（2）由（1）的分析可知：
当时，有极小值，
由题可知．
当时，有极小值，
显然满足，故，
综上，．
20．（1）由题可知可能的取值为0，1，2，3，且有
，，
，，
所以的分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
．
（2）假设在20元基础上下调元，则每张照片的平均利润为：
，
易知当时，即每张照片定价（元）时利润最大．
21．（1）由题可知．
（2）由题易知斜边不可能和轴平行，故可设所在直线，
联立消去整理得：，
设，，
则有，，
，
由题可知
（舍）或
可得所在直线方程为：，恒过定点，
所以
令，，则
在上递增，
所以，
所以面积的最大值为，此时所在直线方程为：．
22．（1），所以在点处的切线的斜率，
又，所以切线的方程为：，
即，由经过点可得：．
（2）易知为方程的根，
由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可．
①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，，，
令，故在单调递增，在单调递减
故在单调递减
从而，，此时方程也无解．
若，由，
记，则，
设，则有恒成立，
所以恒成立，
故令在上递增，在上递减
，可知原方程也无解
由上面的分析可知时，，方程均无解．
②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，和①中的分析同理可知此时方程也无解．
若，由，
记，则，
由①中的分析知，
故在恒成立，从而在上单调递增
，
如果，即，则，
要使方程无解，只需，即有
如果，即，此时，方程一定有解，不满足．
由上面的分析知时，，方程均无解，
综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解．
