2021届浙江省“山水联盟”高三上学期开学考试数学（试题+解析）【高斯课堂】

2020学年第一学期“山水联盟”开学考试高三年级数学学科试题参考公式：台体的体积公式其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式：，球的体积公式：其中表示球的半径选择题部分一、选择题1．集合，集合，则集合（    ）A．     B．C．       D．2．欧拉恒等式被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例．欧拉公式：（为虚数单位，为自然对数的底数，自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第象限______象限．A．一    B．二    C．三    D．四3．若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）A．1    B．1    C．    D．24．函数在区间的图像大致为（    ）A．   B．C．   D．5．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（    ）A．4    B．    C．    D．66．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线的离心率”是“双曲线的渐近线方程为”的（    ）A．充分不必要条件      B．必要不充分条件C．充分必要条件       D．既不充分也不必要条件7．设，，若，则（    ）A．  B．  C．  D．8．已知圆台的侧面积（单位：）为2元，且它的侧面展开图是一个半圆环（如图所示），则圆台的下底面积与上底面积之差为（    ）A．   B．   C．   D．9．疫情期间，某村有3个路口，每个路口需要2个人负责检查体温．现有8名志愿者，其中4名为党员，从中抽取6人安排到这3个路口，要求每个路口至少有一名党员，则不同的安排方法有______种．A．432    B．576    C．1008    D．144010．已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（    ）A．存在，使得为等差数列   B．当时，C．当时，  D．当时，是等比数列非选择题部分二、填空题11．已知函数，则______；若，则______．12．设，则______；______．13．如图，三角形中，是边上的一点，若，且，则______；______． 14．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过、的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______．15．已知，，且，则的最小值为______．16．已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为______．17．若对恒成立，则实数的取值范围为______．三、解答题18．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期．（Ⅱ）求函数在上的单调增区间．19．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，平面平面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．20．已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和是，数列满足，求证：．21．已知抛物线：，为其焦点，点在抛物线上，且，过点作抛物线的切线，为上异于点的一个动点，过点作直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若，求直线的斜率，并求的取值范围．22．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点．（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（参考数值：）2020学年第一学期“山水联盟”开学考试高三年级数学学科试题命题：仙居中学审校：桐庐中学审核：武义第一中学一、选择题题号12345678910答案CBABADDBCC二、填空题11．； 12．40；242 13．3；6 14．；  15． 16． 17．三、解答题18．【解析】（Ⅰ）所以的最小正周期为（Ⅱ）由得，又，得或所以的单调增区间为：，19．【解析】（Ⅰ）由已知可得在直角梯形中，，，所以，所以又因为平面平面，平面平面所以平面，所以又，，所以，所以故平面，又平面，所以（Ⅱ）法一：由（1）得平面，所以平面平面所以直线在平面中的射影为直线，故即为直线与平面所成的角中，，，，所以，故即直线与平面所成的角的正弦值为法二：如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，，由，故取又所以即直线与平面所成的角的正弦值为20．【解析】（Ⅰ）由已知，，所以是常数列，所以，故设的公比是，由已知得，所以所以，故（Ⅱ）累加得：所以，得证．21．【解析】（Ⅰ），所以，所以抛物线方程为：（Ⅱ）设切线的方程为：代入，得出，得，所以切线的方程为：在直线上，所以设直线方程为：代入，得设，，则且，得又，所以，所以（由题意取负）所以直线的斜率为；代入，得，所以，所以又，所以的范围为：且22．【解析】（1），在上恒成立，所以在上单调递增，所以存在，使得故，在单调递减，，在单调递增又，所以，当时，，故由零点存在定理，在上有唯一零点，在上没有零点，所以函数在上有唯一零点（Ⅱ）由（1）得：在上单调递增，且，故要证：，只要证即证：在时恒成立设，故，由，所以在递减，在递增，，所以存在，，使得所以在递增，递减，递增，所以因为，故只需证明由，所以，由二次函数的单调性，得综上，得证．