高中数学1.1 集合的概念与表示第2课时学案

这是一份高中数学1.1 集合的概念与表示第2课时学案，共30页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

第2课时 集合的表示


【教学目标】


重点、难点及易混点


1.理解集合的几种表示方法．(重点)


2.会用不同的方法表示一个集合．(难点)


3.集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合．(重点、难点).


学科素养


1.掌握集合的表示法——列举法和描述法，使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系，从而可以更准确地认识集合.


2.能选择适当的方法表示给定的集合，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养数学运算素养.


【知识清单】


1．列举法


把集合中的全部元素 ，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．


描述法


在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 ．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．


表示一个集合的方法


韦恩图、自然语言、 、 ．


集合的分类


含有有限个元素的集合叫做 .


含有无限个元素的集合叫做 .


不含有任何元素的集合叫做 ，记作：Ø


【基础过关】


1、用列举法表示下列集合：


(1)A＝{x∈N|0＜x≤5}；


(2)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．


(3)小于10的所有自然数组成的集合；


(4)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；


(5)由1～20以内的所有质数组成的集合．


2、用描述法分别表示下列集合：


(1)二次函数y＝x2图象上的点组成的集合；


(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；


(3)不等式x－7＜3的解集．











【经典例题】


题型一 集合的表示方法——列举法


例1、用列举法表示下列集合：


(1)x2－4的一次因式组成的集合；


(2){y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；


(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集；


(4){20以内的质数}；


(5){(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}；























题型二 集合的表示方法——描述法


例2、用描述法表示下列集合：


(1)方程2x＋y＝5的解集；


(2)小于10的所有非负整数的集合；


(3)方程ax＋by＝0(ab≠0)的解；


(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合；


(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合；








[课堂达标]


1．方程的所有实数根组成的集合为( )


A．（0，1）B．{（0，1）}


C．{0，1}D．{ }


2．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )


A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集


C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集


3．集合{x∈N|－1

A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}


C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}


4．方程组的解构成的集合是（ ）


A．B．C．D．


5．集合用列举法表示是


A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}


C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}


6．已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（ ）


A．B．C．D．


7．若集合，则A中的元素个数为（ ）


A．3B．4C．5D．6


8．已知集合，则中元素的个数为（ ）


A．1B．5C．6D．无数个


9．用列举法表示集合 _____；


10．用列举法表示集合＝_____


11．若，，用列举法表示________．


12．给定集合，，定义一种新运算：或，试用列举法写出___________.


13．若，，用列举法表示 .


14．用描述法表示下列集合：


（1）被3除余1的正整数的集合．


（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．


（3）大于4的所有偶数．














15．用列举法表示下列集合：


（1）不大于10的非负偶数集；


（2）自然数中不大于10的质数集；


（3）方程x2+2x–15=0的解














【能力提升】


1．不等式的解集是（ ）


A．B．


C．或D．或


2．直线与的交点组成的集合是（ ）


A．B．C．D．


3．集合是指（ ）


A．第二象限内的所有点B．第四象限内的所有点


C．第二象限和第四象限内的所有点D．不在第一、第三象限内的所有点


4．集合A={1,2，3，4，5}，B={(x,y)|x∈A，y∈A，yx∈A}，则集合B所含元素个数为( )


A．3B．6C．8D．10


5．下列说法：


①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；


②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；


③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．


其中正确的有( )


A．3个B．2个


C．1个D．0个


6．设集合，集合且，则（ ）


A．B．C．D．


7．下列选项中是集合中的元素的是（ ）


A．B．C．D．


8．用列举法表示集合，正确的是（ ）


A．，B．


C．D．


9．下面六种表示方法


①{x＝－1，y＝2}；②；③{－1，2}；


④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥或.


其中，能正确表示方程组的解集的是____________(把所有正确答案的序号填上).


10．集合用列举法表示为____________．


11．方程组的解组成的集合为_________.


12．定义“×”的运算法则为：集合，设集合，，则集合中的元素个数为________.


13．用列举法表示集合______


14．已知集合，用列举法表示集合______．


15．用列举法表示集合＝________．


16．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____


17．用列举法表示下列集合：


（1）小于10的所有自然数组成的集合；


（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合；


（3）由20以内的所有质数组成的集合．














18．用不同的方法表示下列集合：


（1）；


（2）；


（3）所有被5除余1的正整数所构成的集合；


（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点构成的集合．





【参考答案】


【知识清单】


一一列举出来


共同特征


列举法、描述法


4．(1)有限集 (2)无限集（3）空集


【基础过关】


1.答案：(1)A＝{1,2,3,4,5}；(2)B＝{2,3}．


点评：


本题主要考查集合表示法中的列举法．通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容．


如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常明显地表示出了集合中的元素，是常用的表示法．


列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内，并写成A＝{……}的形式.


(3)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．


(4)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么A＝{0,1}．


(5)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.


2. 【解析】


(1)二次函数y＝x2上的点(x，y)的坐标满足y＝x2，则


二次函数y＝x2图象上的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x2}；


(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|＞6}；


(3)不等式x－7＜3的解是x＜10，则不等式x－7＜3的解集表示为{x|x＜10}．


点评：


本题主要考查集合的描述法表示．描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合．


用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(x，y)，数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学符号表示，必须抓住其实质.


【经典例题】


例1


答案： (1)因x2－4＝(x－2)(x＋2)，故符合题意的集合为{x－2，x＋2}；


(2)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0、1、2、3、4，


故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}；


(3)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}；


(4){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}；


(5)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1、0、1时，y＝0、1、－1，那么{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}；


例2 (1){(x，y)|2x＋y＝5}；


(2){x|0≤x＜10，x∈Z}；


(3){(x，y)|ax＋by＝0(ab≠0)}；


(4){x||x|＞3}；


(5){(x，y)|xy＜0}；


[课堂达标]


1．C


【解析】


【分析】


解一元二次方程求得两个实数根，由此求得所求的集合.


【详解】


由得，解得或，故集合为，故选C.


【点睛】


本小题主要考查一元二次方程的解，考查集合的表示，属于基础题.


2．D


【解析】


根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.


点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集


3．C


【解析】


∵x∈N，且－1

点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集．列举法应用于有限集，特别为单元素集合.


4．C


【解析】


【分析】


求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来.


【详解】


∵


∴


∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}


故选：C．


【点睛】


本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写．


5．D


【解析】


分析：解出不等式得，小于5的自然数有5个．


详解：由题意，又，∴集合为．


点睛：用列举法表示集合，关键是求出集合中的元素，本题要注意集合的代表元的性质．


6．D


【解析】


【分析】


当都为正数时，；当都为负数时，.然后依次讨论的正负情况，分别求出代数式对应的值，进而得出结论.


【详解】


当都为正数时，；


当都为负数时，.


因此，若都为正数，则；


若两正一负，则；


若一正两负，则；


若都为负数，则.


所以代数式表示的所有的值的集合是.


故选：D.


【点睛】


本题考查了代数式求值，考查了求元素组成的集合，难度不大.


7．B


【解析】


【分析】


先解集合中的不等式得的范围，再由可得结论


【详解】


由得，解得，又，所以，所以中有4个元素．


故选：B．


【点睛】


本题考查集合的概念，考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式的求解方法是解题关键．


8．C


【解析】


【分析】


直接列举求出A和A中元素的个数得解.


【详解】


由题得，


所以A中元素的个数为6.


故选C


【点睛】


本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.


9．


【解析】


【分析】


根据列举出的所有可能取值.


【详解】


依题意，


所以，，


所以，


即


故答案为：.


【点睛】


本小题主要考查列举法，属于基础题.


10．{﹣3，﹣6，6，3，2，1}


【解析】


【分析】


根据x∈N，且，列举求解.


【详解】


因为x∈N，且：


当x＝0时，；


x＝1时，；


x＝3时，；


x＝4时，；


x＝5时，；


x＝8时，；


∴A＝{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．


故答案为：{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．


【点睛】


本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.


11．


【解析】


【分析】


分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．


【详解】


∵时，，


时，，


时，，


时，，


时，，


时，，


∴，


故答案为．


【点睛】


本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．


12．


【解析】


∵，


∴


又∵


∴


故答案为


13．


【解析】


【分析】


解决该试题的关键是对于t令值，分别得到x的值，然后列举法表示.


【详解】


因为集合，而集合B中的元素是将集合A中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即，


；；,


，


那么用列举法表示.


本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题.


14．（1）；（2）；（3）．


【解析】


【分析】


集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质.


【详解】


（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；


（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；


（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．


【点睛】


集合用描述法表示时，注意代表元的元素特征，如果是点集，则代表元要用数对表示.


15．（1）集合{x|x为不大于10的非负偶数}用列举法表示为{0，2，4，6，8，10}．


（2）自然数中不大于10的质数集为{2，3，5，7}；


（3）方程x2+2x–15=0的解集为{–5，3}．


【解析】


【分析】


求出集合中的元素，即可用列举法表示。


【详解】


（1）集合{x|x为不大于10的非负偶数}用列举法表示为{0，2，4，6，8，10}．


（2）自然数中不大于10的质数集为{2，3，5，7}；


（3）方程x2+2x–15=0的解集为{–5，3}．


【点睛】


本题的关键是找出满足条件的所有的元素.


【能力提升】


1．B


【解析】


【分析】


解一元二次不等式并将结果写成集合的形式.


【详解】


因为，


所以不等式的解集是.


故选：B


【点睛】


本题考查集合的表示、一元二次不等式，属于基础题.


2．D


【解析】


【分析】


根据直线的交点即是直线方程联立的解，求出交点坐标，即可得解.


【详解】


联立，可得，，写成点集为.


故选：D.


【点睛】


本题考查了直线交点的计算，以及点集的表示，属于基础题.


3．D


【解析】


【分析】


根据可得或，再分析点的集合即可.


【详解】


因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.


故选：D


【点睛】


本题主要考查了集合中的元素的理解、象限的理解与辨析.属于基础题.


4．D


【解析】


【分析】


由集合A={1,2，3，4，5}，B={(x,y)|x∈A，y∈A，yx∈A}，利用列举法能求出集合B所含元素个数．


【详解】


∵集合A={1,2，3，4，5}，


B={(x,y)|x∈A，y∈A，yx∈A}，


∴B={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}，


∴集合B所含元素个数为10．


故选：D．


【点睛】


本题考查集合中元素个数的求法，考查集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．


5．D


【解析】


【分析】


x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误．


【详解】


∵x3=x的解为-1，0，1，


∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确；


实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D．


【点睛】


本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题．


6．C


【解析】


【分析】


对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素.


【详解】


集合，集合，


当时，可得；


当时，可得；


当时，可得.


综上.


故选：C


【点睛】


本题考查集合的含义与表示，属于基础题.


7．D


【解析】


【分析】


利用选项回代验证，求出k是相同的整数即可.


【详解】


集合，


对于A，当，时，，，k不相同，不满足题意.对于B，当，时，，，k不相同，不满足题意.对于C，当，时，，，k不相同，不满足题意.对于D，当，时，，，k相同，满足题意.


故选：D


【点睛】


本题考查描述法表示集合，属于基础题.


8．B


【解析】


【分析】


解方程组解得，再根据集合的表示方法，列举即可得到答案。


【详解】


解方程组，可得或


故答案为


故选B


【点睛】


本题主要考查了集合的方法，属于基础题，注意点集的表示方法。


9．②⑤


【解析】


【分析】


由题意结合集合的表示方法、解集的概念，逐项判断即可得解.


【详解】


由题意方程的解为，


①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，故①不正确；


②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同，故②正确；


③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素，故③不正确；


④表示的是区间不是点集，故④不正确；


⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等，故⑤正确；


⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号，条件中“或”也要改为“且”，故⑥不正确.


故答案为：② ⑤ .


【点睛】


本题考查了方程解集的表示，掌握集合的表示方法是解题关键，属于基础题.


10．


【解析】


【分析】


首先根据题意得到，再用列举法写出集合即可.


【详解】


因为，所以，即.


又因为，所以，


故.


故答案为：


【点睛】


本题主要考查集合的列举法，属于简单题.


11．


【解析】


【分析】


首先求出方程组的解，再用列举法表示集合；


【详解】


解：由，解得或，代入，


解得或，


所以方程组的解组成的集合为，


故答案为：.


【点睛】


本题考查集合的表示，属于基础题.


12．12


【解析】


【分析】


根据自定义运算求出集合，即可得解；


【详解】


解：因为，


所以


故集合中含有12个元素


故答案为：12


【点睛】


本题考查描述法表示集合，自定义运算，属于基础题.


13．


【解析】


【分析】


直接利用集合的列举法写出结果即可．


【详解】


集合．


故答案为：．


【点睛】


本题考查集合的表示方法，列举法，考查计算能力．


14．0，1，


【解析】


【分析】


先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可．


【详解】


因为，，即，


又，，，，，，，


故答案为：0，1，


【点睛】


本题考查了集合的表示法属基础题．


15．{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.


【解析】


【分析】


利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案


【详解】


，


为的因数


则





则答案为


【点睛】


本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．


16．


【解析】


【分析】


分别根据的正负，分类讨论，即可求解的值，得到答案.


【详解】


因为为非零实数，


所以时，+++；


当中有一个小于0时，不妨设，


此时+++；


当中有一个小于0时，不妨设，


此时+++；


当中有一个小于0时，此时+++，


所以的所有值组成的集合为


【点睛】


本题主要考查了集合的运算与集合的表示，其中解答中分别根据的正负，分类讨论，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.


17．（1）A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；（2）B＝{0,1}；（3）C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.


【解析】


【分析】


根据题意，求得每个集合中的元素，用列举法表示即可.


【详解】


（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．


（2）设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．


（3）设由1 20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．


【点睛】


本题考查用列举法表示集合，属简单题.


18．（1）．（2）．（3）．（4）


【解析】


【分析】


一般情况下，集合元素是有限个时可用列举法，反之则用描述法．


（1）,对取值，使得得解；


（2），得代入求得解；


（3）用描述法得集合；


（4）点集，第一、三象限点的横纵坐标同号得解．


【详解】


解（1）∵，，∴取值为6，3，2，1．从而所求集合为．


（2）∵，∴，对应的值为3，0，．故该集合表示为．


（3）．


（4）．


【点睛】


本题考查集合的表示方法.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．