高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词导学案，共25页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词；


2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系；


3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定；（重点）


4、全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定（难点）


学科素养


通过生活和数学中的丰富实例，培养数学抽象能力的素养.


【知识清单】


1.全称量词与全称命题


(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“∀”表示.


(2)含有全称量词的命题,叫做_____________.


(3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:_____________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.


(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.


2.存在量词与存在量词命题


(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____________,并用符号“∃”表示.


(2)含有存在量词的命题,叫做_____________.


(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个,使p()成立,可简记为:_____________,读作“存在M中的元素,使p()成立”.


(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.


3.全称命题与特称命题的否定








【基础过关】


1．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是( )


A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q


C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q


2、用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．


(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；


(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．











【经典例题】


题型一 全称量词命题和存在量词命题的判断


【例1】下列语句不是存在量词命题的是( )


A．有的无理数的平方是有理数 B．存在一个四边形不是平行四边形


C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数








【例2】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．


①凸多边形的外角和等于360°；②矩形的对角线不相等；


③若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．


④有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；⑤方程3x－2y＝10有整数解．








题型二、全称量词命题与存在量词命题真假判断


【例3】（多选题）在下列命题中，真命题有（ ）


A．， B．，是有理数


C．，使 D．，


E.命题“，”的否定是“，”


题型三、 含有一个量词的命题的否定


【例4】写出下列命题的否定，并判断其真假．


(1)p：∀x，y∈N，x－y∈N； (2)q：所有的正方形都是矩形；


(3)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.











【课堂达标】


1．下列命题为真命题的是( )


A．，使B．，有


C．，有D．，有


2．命题“”的否定是（ ）


A．B．


C．D．


3．命题“，”的否定是


A．不存在， B．存在，


C．对任意的， D．，


4．（多选题）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）


A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件


C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件


5．（多选题）下面命题正确的是（ ）


A．“”是“”的 充 分不 必 要条件


B．命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.


C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件


D．设,则“”是“”的必要 不 充 分 条件


6．命题“”的否定形式是___________________________.


7．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________．


8．判断下列命题的真假：


（1）； （2）；


（3）； （4）．














9．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：


（1）；（2）有的三角形是等边三角形；


（3）有一个偶数是素数（4）任意两个等边三角形都相似；


（5）．














【能力提升】


1．以下三个命题：


①“”是“”的充分不必要条件；


②若为假命题，则，均为假命题；


③对于命题：，使得；则是：，均有.


其中正确的个数是（ ）


A．1个B．2个C．3个D．0个


2．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是 （ )


A．对于实数，有 B．梯形两条对角线相等


C．有小于1的自然数D．函数的图象过定点


3．已知命题p：x <1，，则为


A．x ≥1, ＞B．x <1,


C．x <1, D．x ≥1,


4．已知命题，总有，则为（ ）


A．，使得B．，使得


C．，总有D．，总有


5．命题“，”的否定是（ ）


A．，B．，


C．，D．，


6．（多选题）下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（ ）


A．B．所有正方形都是矩形


C．D．至少有一个实数x，使


7．（多选题）下面命题正确的是（ ）


A．“”是“”的充分不必要条件


B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”.


C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件


D．设，则“”是“”的必要不充分条件


8．（多选题）对任意实数，，，给出下列命题：


①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；


③“”是“”的必要条件；④“”是“”的充分条件.


其中真命题是（ ）.


①B．②C．③D．④


9．已知集合，，且，则实数a的取值范围是___ .


10．已知命题p：存在x∈R，使得x2＋2ax＋a≤0. 若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________.


11．写出下列命题的否定：


（1），；（2）p：所有自然数的平方都是正数；


（3）p：任何实数x都是方程的根；（4）p：有些分数不是有理数.











12．用符号“”“”表达下列命题.


（1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对，使成立；


（3）任意实数乘，都等于它的相反数；（4）存在实数x，使得.














13．已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.














14．已知p:-2

（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；


（2）若q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围.

















【参考答案】


【知识清单】


1、（1）全称量词；（2）全称命题；（3）∀x∈M,p(x)


2、（1）存在量词；（2）特称命题；（3）∃∈M,p()


3、∃∈M,p()；∀x∈M,p(x)


【基础过关】


1、【答案】B


【解析】：因为P⊆Q，则由子集的定义知P集合中的任何一个元素都在Q中，所以选B.


【答案】.


见解析


【解析】


(1)∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.(2)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．


(3)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．


【经典例题】


例1、【答案】C


【解析】因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．


例2、【答案】见解析


【解析】①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．


②可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．


③若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．


④含存在量词“有些”，故为存在量词命题．


⑤可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．


例3、【答案】BCE


【解析】A中，，故A是假命题；B中，，一定是有理数，故B是真命题；C中，，时，成立，故C是真命题；


对于D，当时，左边=右边=0，故D为假命题；E命题否定的形式正确，故为真命题．


例4、【答案】见解析


【解析】 (1)p：∃x，y∈N，x－y∉N，真命题，


因为当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N.


(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．


(3)s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题，


因为x＝－1时，x3＋1＝0.


【课堂达标】


1．B


【解析】


【分析】


根据，都有可依次判断出各个选项的正误.


【详解】


中，，都有，则错误；正确；错误；


中，当时，，则错误.


故选：


【点睛】


本题考查含全称量词和特称量词的命题真假性的判定，属于基础题.


2．A


【解析】


【分析】


根据全称命题的否定为特称命题即可判断；


【详解】


解：命题，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，


故其否定为


故选：A


【点睛】


本题考查全称命题的否定，属于基础题.


3．D


【解析】


【分析】


利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．


【详解】


解：因为全称命题的否定是特称命题，


所以命题“对任意的，”的否定是：存在，．


故选：D．


【点睛】


本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基础题．


4．BD


【解析】


【分析】


利用充分条件和必要条件的定义进行判断


【详解】


解：“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；


“是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；


“”“”为假命题，“”“”也为假命题，故“”是“”的即充分也不必要条件，故C为假命题；


，故“”是“”的必要条件，故D为真命题.


故选：BD.


【点睛】


此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题.


5．ABD


【解析】


【分析】


选项A:先判断由,能不能推出,再判断由,能不能推出,最后判断本选项是否正确；


选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.


选项C:先判断由且能不能推出,然后再判断由能不能推出且,最后判断本选项是否正确；


选项D:先判断由能不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.


【详解】


选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；


选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.所以本选项是正确的；


选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；


选项D: 因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.


故选：ABD


【点睛】


本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.


6．


【解析】


【分析】


根据特称命题“”的否定为全称命题“”即可得结果.


【详解】


为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，要将存在量词改写为全称量词，所以，命题的否定为 ，故答案为.


【点睛】


全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.


7．


【解析】


【分析】


由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知，解不等式求得结果.


【详解】


若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题


，解得：


的取值范围为


故答案为：


【点睛】


本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.


8．（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题


【解析】


【分析】


（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；


（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；


（3）通过解方程可判断；


（4）根据不等式的性质可证明；


【详解】


解：（1）因为时，成立，所以“”是真命题．


（2）因为时，不成立，所以“”是假命题．


（3）因为使成立的数只有与，但它们都不是有理数，


所以“”是假命题．


（4）因为对任意实数x，有，则，即对任意实数，都有成立，


所以“”是真命题．


【点睛】


9．本题考查命题真假判断，属于基础题.


（1），假命题；


（2）所有的三角形都不是等边三角形，假命题；


（3）任意一个偶数都不是素数，假命题；


（4）存在两个等边三角形不相似，假命题；


（5），真命题．


【解析】


【分析】


根据全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，写出其否定，再判断其真假.


【详解】


解：（1），是特称命题，


所以其否定为：，.


当时，，故是假命题；


（2）有的三角形是等边三角形，是特称命题,


所以其否定为：所有的三角形都是等边三角形，显然是假命题；


（3）“有一个偶数是素数”是特称命题，


所以其否定为：任意偶数都不是素数.因为是偶数，且是素数，故是假命题；


（4）“任意两个等边三角形都相似”，是全称命题，


所以其否定为：有些等边三角形不相似.


因为任意等边三角形其三个角都相等，都为，故任意两个等边三角都相似，是真命题，


故命题“有些等边三角形不相似.”是假命题.


（5），是特称命题，所以其否定为：


，


方程无实数根，即对任意实数成立，故是真命题.


【点睛】


本题考查了含有一个量词的命题的否定以及真假性的判断，属于基础题．


【能力提升】


1．B


【解析】


【分析】


①求出不等式的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.


②用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假.


③根据特称命题的否定为全称命题判断.


【详解】


①不等式，解得或，





所以，，“”是“”的充分不必要条件.①正确；


②若为假命题，则，至少有一个为假，故②错误；


③命题：使得的否定为，均有.③正确，


故选B.


【点睛】


本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题．


2．D


【解析】


【分析】


由于命题A,B为假命题，故排除A,B，选项C含存在量词，故排除C.


【详解】


选项A是全称量词命题，，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有，函数的图象过定点，所以正确选项为D.


【点睛】


本题考查含全称量词命题真假性判断，注意是必需同时考虑两个条件.


3．C


【解析】


根据全称命题与存在性命题之间的关系，


可知命题的否定为，故选C．


4．B


【解析】


【分析】


根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，准确改写，即可求解.


【详解】


根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，总有”的否定为：“，使得”.


故选：B.


【点睛】


本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，属于容易题.


5．C


【解析】


【分析】


根据命题的否定的定义判断，同时要注意既要否定结论，也要转化量词.


【详解】


因为命题“，.


根据命题的否定的定义


所以该命题的否定是，


故选：C


【点睛】


本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.


6．AC


【解析】


【分析】





通过原命题的否定为全称命题且为真命题，则原命题是特称命题且为假命题，根据此结论对选项进行逐项分析.


【详解】


由题意可知：原命题为特称命题且为假命题.


选项A. 原命题为特称命题,,所以原命题为假命题，所以选项A满足条件.


选项B. 原命题是全称命题，所以选项B不满足条件.


选项C. 原命题为特称命题,在方程中，所以方程无实数根，所以原命题为假命题，所以选项C满足条件.


选项D. 当时，命题成立. 所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件.


故选：AC


【点睛】


本题考查了命题的否定,关键是记住特称量词命题的否定是全称量词命题和P命题与非P命题的真假相反,属基础题.


7．ABD


【解析】


【分析】


分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误．


【详解】


解：对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；


对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；


对于C，“且” “”， “且” 是 “”的充分条件，故C错；


对于D，，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对；


故选：ABD．


【点睛】


本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题．


8．BC


【解析】


【分析】


根据充要条件的判断方法，判断①②的真假性.根据必要条件的判断方法，判断③的真假性.根据充分条件的判断方法，判断④的真假性.


【详解】


①由“”可得，但当时，不能得到，故“”是“”的充分不必要条件，故①错误；


②因为5是有理数，所以当是无理数时，必为无理数，反之也成立，故②正确；


③当时，不能推出；当时，有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故③正确.


④取，，此时，故④错误；


故答案为：BC


【点睛】


本小题主要考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.


9．


【解析】


【分析】


由并集的定义及数轴表示可得解.


【详解】


在数轴上表示出集合和集合,要使，只有.





【点睛】


本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.


10．(0,1)


【解析】


试题分析：将∃变为∀，结论否定写出命题p的否定；利用p与￢p真假相反得到￢p为真命题；令判别式小于0求出a即可．


解：命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0的否定为命题p：∀x∈R，x2+2ax+a＞0


∵命题p为假命题∴命题￢p为真命题即x2+2ax+a＞0恒成立


∴△=4a2﹣4a＜0解得0＜a＜1故答案为（0，1）


考点：命题的真假判断与应用．


11（1），；（2）有些自然数的平方不是正数；（3）存在实数x不是方程的根；（4）一切分数都是有理数.


【解析】


【分析】


直接根据全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，写出答案.


【详解】


（1），；（2）有些自然数的平方不是正数；


（3）存在实数x不是方程的根；（4）一切分数都是有理数.


【点睛】


本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解，注意在对命题进行否定时，任意要改成存在，存在要改成任意，属于基础题.


12．答案见解析.


【解析】


【分析】





按照全称命题和特称命题的定义进行求解


【详解】


解：（1），能写成小数形式；（2），使；


（3）；（4）.


【点睛】


此题考查全称命题和特称命题的含义及符号表示，属于基础题.


13．


【解析】


【分析】


由命题“，使得”为假命题，可得“，”为真命题，显然集合不会为空集，对集合要分成空集或不为空集两种情况讨论.


【详解】


命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题


当时，集合，符合


当时，因为，所以，


得对于恒成立所以，则


综上，实数的取值范围为.


【点睛】


由于集合是可变的，所以集合隐含着分类讨论的思想，即或.


14．(1) a≤18.(2) 18

【解析】


【分析】


（1）若q为真命题，则得到Δ≥0，从而得出结果；


（2）若q为假命题，p∨q为真命题，故得到P是真命题，q为假命题，从而解决问题.


【详解】


解：（1）因为q为真命题，


即关于x的方程x2-x+2a=0有实数根，故Δ≥0，1-4×2a≥0


解得a≤18.


（2）由q为假命题，p∨q为真命题，


所以P是真命题，q为假命题，所以-218，解得18

【点睛】


本题考查了常用逻辑用语“或”“且”“非”的问题，解题的关键是要能结合二次方程根的情况、二次函数的图像将其中的参数在真命题的情况下求解出来.











命题类型
全称量词命题
存在量词命题
形式
∀x∈M,p(x)
∃∈M,p()
否定
结论
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题的否定是全称量词命题