高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 走进数学建模学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 走进数学建模学案，共26页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、能够比较两个实数的大小；


2、掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式；（重点）


3、掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法；


4、通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质.（难点）


学科素养


通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，培养学生类比的数学思想.


【知识清单】


1.实数大小比较的依据


(1)a>b⇔a－b 0；


(2)a＝b⇔a－b 0；


(3)a

2.2.不等式的性质


(1)对称性：a＞b⇔b＜a；


(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；


(3)可加性：a＞b⇔a＋c b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c b＋d；


(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an bn(n∈N，n≥1)；


(6)可开方：a＞b＞0⇒eq \r(n,a) eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).


3.有关分式的性质


(1)若a>b>0，m>0，则eq \f(b,a)0).


(2)若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a) eq \f(1,b).


【基础过关】


1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)


(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )


(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )


(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.( )


(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )


2、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )


A.eq \f(a,d)＞eq \f(b,c) B.eq \f(a,d)＜eq \f(b,c) C.eq \f(a,c)＞eq \f(b,d) D.eq \f(a,c)＜eq \f(b,d)


【经典例题】


不等式的性质及应用


【例1】已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则甲是乙的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


【例2】若a

①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③eq \f(1,a＋b)>eq \f(1,a)>eq \f(1,b).


其中正确的个数是( )


A.0 B.1 C.2 D.3


【课堂达标】


1．若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）


A．B．C．D．


2．设 ，则有（ ）


A．B．C．D．


3．若，则下列不等关系正确的是（ ）


A．B．


C．D．


4．已知，，则和的大小关系是（ ）


A．B．C．D．


5．盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）


A．B．C．D．





6．（多选题）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）


A．若，，则


B．若，则


C．若，则


D．若，，则


7．（多选题）下列说法正确的有（ ）


A．若，则B．若，则


C．若，则D．若，则


8．（多选题）已知，则.（ ）


A．B．C．D．E.


9．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________.


10．若a<0，－1

11．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．


12．已知，比较与的大小.








13．已知，求证：.











14．已知，较与的大小.


【能力提升】


1．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）


A．B．


C．D．


2．下列命题中，一定正确的是


A．若，则，B．若，，则


C．若，，则D．若，，则


3．若，则“”是 “”的（ ）


A．充分不必要条件B．必要不充分条件


C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件


4．已知，，，均为实数，有下列命题：


（1）若，，则；


（2）若，，则；


（3）若，，则，


其中正确命题的个数是


A．0B．1C．2D．3


5．下列说法正确的是


A．B．


C．D．


6．若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）


A．若，则B．若，则


C．若，则D．若，则


7．（多选题）若非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）


A．B．C．D．


8．（多选题）若，则下列不等式中正确的是（ ）


A．B．C．D．


9．（多选题）已知,则下列选项正确的是( )


A．B．C．D．


10．若，试比较的大小．








11．已知，比较与的大小．











12．设，试比较与的大小.














13．已知，试比较与的大小．





【参考答案】


【知识清单】


（1）>；（2）＝；（3）<


（3）＞；（4）＞；（5）＞；（6）＞；


>；（2）<；


【基础过关】


1、解析 (1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.


(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.


(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.


答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×


解析 因为c＜d＜0，所以0＞eq \f(1,c)＞eq \f(1,d)，两边同乘－1，得－eq \f(1,d)＞－eq \f(1,c)＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－eq \f(a,d)＞－eq \f(b,c)＞0.两边同乘－1，得eq \f(a,d)＜eq \f(b,c).


答案 B


【经典例题】


例1、答案 B


解析 由a>0不能推出a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故甲不是乙的充分条件．若a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，即a>b且eq \f(b－a,ab)>0，则ab<0，所以a>0，b<0.所以由a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)能推出a>0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．


解析


因为a|b|>0，所以a2>b2，故a2＋1>b2，①正确；a－b>0⇒－a＋1>－b＋1>0，故|1－a|>|b－1|，②正确；aeq \f(1,a)>eq \f(1,b)，③正确.故选D.


【课堂达标】


1．D


【解析】


【分析】


根据不等式的性质即可判断.


【详解】


对于A，若，则不等式不成立；


对于B，若，则不等式不成立；


对于C，若均为负值，则不等式不成立；


对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；


故选：D


【点睛】


本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.


2．A


【解析】


【分析】


作差即可得出P-Q=a2≥0，从而得出P，Q的大小关系．


【详解】


P-Q=2a（a-2）+3-（a-1）（a-3）=a2≥0，


∴P≥Q．


故选：A．


【点睛】


本题考查了作差比较实数大小的方法，清楚a2≥0，考查了计算能力，属于基础题．


3．A


【解析】


试题分析：，．故A正确．


考点：不等式的性质．


4．D


【解析】


【分析】


考虑的符号即可得到两者的大小关系.


【详解】


，故.故选D.


【点睛】


比较两个代数式的大小，可选用作差法或作商法，前者需要把差因式分解后再确定各个因式的符号，后者要注意两个代数式的符号且需确定商与1的大小关系.


5．A


【解析】


【分析】


向盐水溶液中加入克盐，得出加入后的盐水浓度为，根据盐水更咸，说明盐的浓度更大，由此得出不等关系，可得出正确选项.


【详解】


向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为，此时浓度变大，盐水更咸，即，


故选：A.


【点睛】


本题考查不等关系的确定，解题时要将题中的文字信息转化为数学语言，考查转化思想，属于基础题.


6．BD


【解析】


【分析】


（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.


【详解】


A选项：，，但是，A不正确；


B选项：因为成立，则，那么，B正确；


C选项：，但是，C不正确；


D选项：因为，则，又，所以，D正确.


故选：BD


【点睛】


此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.


7．BC


【解析】


【分析】


根据不等式的基本性质和举反例法一一判断即可．


【详解】


解：对于A，若，则，故A错；


对于B，若，则，则，则，化简得，故B对；


对于C，若，则根据指数函数在上单调递增得，故C对；


对于D，若，取，，则，故D错；


故选：BC．


【点睛】


本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．


8．DE


【解析】


【分析】


利用赋值法,排除错误选项,从而确定正确答案.


【详解】


解:由,可知,由不等式的性质可知,


所以,故D正确;


,,,,故E正确.


故选:DE


【点睛】


本题考查不等式的性质,利用赋值法排除错误选项,可以有效地简化解题过程.


9．≥1－a


【解析】


【分析】


先证明1＋a>0，1－a>0，再利用作商比较法比较大小得解.


【详解】


由|a|<1，得－1

∴1＋a>0，1－a>0.


所以＝，


∵0<1－a2≤1，


∴≥1，


∴≥1－a.


故答案为：≥1－a.


【点睛】


本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.


10．


【解析】


【分析】


根据基本不等式的性质即可判断．


【详解】


∵a＜0，-1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，0＜b2＜1，∴ab2＞a，∴ab＞ab2＞a.


故答案为.


【点睛】


本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．


11．a＜b


【解析】


【分析】


先分别将平方，再进行大小比较即可．


【详解】


a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，


可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，


显然＜.


所以a＜b.


故答案为：a＜b


【点睛】


此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题.


12．


【解析】


【分析】


利用作差法，将作差比较大小即可.


【详解】


解：





.


∵，，


∴，当且仅当时，取等号，


∴.


【点睛】


本题考查了利用作差法比较大小，重点考查了运算能力，属基础题.


13．证明见解析


【解析】


【分析】


由已知有，再将不等式左右两边同时除以正数即可得证.


【详解】


证明：因为，所以，所以，


所以，


即.


【点睛】


本题考查了不等式的性质，重点考查了运算能力，属基础题.


14．


【解析】


【分析】


作差得，再根据条件比较大小．


【详解】


解：∵，


∵，∴，，∴，


∴，


∴．


【点睛】


本题主要考查作差法比较数的大小，本题也可用对勾函数的单调性解决，属于基础题．


【能力提升】


1．B


【解析】


【分析】


根据不等式性质确定选项.


【详解】


当时，不成立；


因为，所以；


当时，不成立；


当时，不成立；


所以选B.


【点睛】


本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.


2．A


【解析】


【分析】


根据不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得答案；


【详解】


对A，，，，因此，正确．


对B，时不成立．


对C，取，，，，满足，，而，因此不正确．


对D，取，，，，满足，，则，不正确．


故选：A．


【点睛】


本题考查不等式的基本性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．


3．A


【解析】


【分析】


本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.


【详解】


当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.


【点睛】


易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.


4．D


【解析】


【分析】


本题就是，，三个结论之间轮换，知二推一，利用不等关系证明即可．


【详解】


解：对于（1），


将不等式两边同时除以





所以（1）正确


对于（2），


将不等式两边同时乘以


所以（2）正确


对于（3）





又





所以（3）正确


故选：．


【点睛】


本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题．


5．C


【解析】


【分析】


由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．


【详解】


选项A，当c＝0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；


选项B，当a＝﹣1，b＝﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；


选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；


选项D，当a＝﹣2，b＝﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．


故选：C．


【点睛】


本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．


6．B


【解析】


【分析】


利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.


【详解】


对于A选项，若，则，故A不成立；


对于B选项，，在不等式同时乘以，得，


另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；


对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；


对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.


故选B.


【点睛】


本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.


7．ABD


【解析】


【分析】


根据不等式的性质，或作差法，或举实例，逐项判断.


【详解】


选项A，当，此时不成立；


选项B，当，


此时不成立；


选项C，，


所以成立；


选项D，当，


此时不成立.


故选：ABD.


【点睛】


本题考查判断不等式是否成立问题，以及不等式的性质，注意用特例说明，属于基础题.


8．CD


【解析】


【分析】


这四个选项都可以做差，变形，根据条件比较大小.


【详解】


A.，，，即，故A不正确；


B.，，，所以，故B不正确；


C.，即，故C正确；


D.，所以，故D正确.


故选：CD


【点睛】


本题考查比较大小，属于基础题型，一般比较大小的题目，可以采用做差法，单调性，或者不等式的性质比较大小.


9．BCD


【解析】


【分析】


由,根据不等式性质,逐项判断,即可求得答案.


【详解】


对于A,由,可得,故A错误;


对于B,


,故:


又





整理可得:,故B正确;


对于C, 由,可得,故,故C正确;


对于D, ,可得,


又


,故D正确.


综上所述,正确的是: BCD.


故选: BCD.


【点睛】


本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正确,解题关键是掌握不等式的基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.


10．．


【解析】


【分析】


先由已知条件结合不等式的基本性质得到,，再利用不等式的乘法性质得到，综合得到结论.


【详解】


，，，


，，


，即．


．


【点睛】


本题考查利用不等式的基本性质比较大小，属基础题.


11．


【解析】


【分析】





先怍差变形，再分别平方后再比较．


【详解】





因为，


．


所以．


所以，


即．


【点睛】





本题主要考查代数式比较大小，还考查了转化论证问题的能力，属于基础题.


12．当时两者相等；当时.


【解析】


【分析】


分成、，三种情况进行分类讨论，结合商比较法，判断出两者的大小关系.


【详解】


依题意，，


当时，；


当时，：


当时，，所以；


当时，，所以.


故当时，，即.


【点睛】


本小题主要考查商比较法比较大小，属于基础题.


13．


【解析】


【分析】


对两个式子作差、通分、因式分解，最后判断符号.


【详解】


因为


，显然成立，


，当且仅当时取等号.


【点睛】


本题考查利用比差法判断两个式子的大小，注意作差后要把式子化成几个因式的成绩，再判断符号，同时注意等号成立的条件.