高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数学案及答案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数学案及答案，共25页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1.掌握用待定系数法求二次函数的解析式．(重点)


2.用待定系数法求二次函数的解析式．(重点)


3.二次函数的性质的基本应用．(重点).


4、二次函数中a、b、c、 的取值对二次函数图像的影响．(难点)


学科素养


通过对二次函数图像的学习，培养学生的数形结合的素养.


【知识清单】


1．二次函数的概念


阅读教材，完成下列问题．


（1）形如____________________的函数叫做二次函数，它的定义域为___________。


（2）二次函数y=ax2(a0)的图像可由y=x2的图像各点的______________坐标变为_______得到。


（3）二次函数y=a(x+h)2+k (a0)，a决定了二次函数图像的___________，h决定了二次函数图像的___________，而且“h正______平移，h负_________平移”；k决定了二次函数图像的___________，而且“k正___________平移，k负__________平移”


2． 二次函数解析式的三种形式：


（1）一般式：


（2）顶点式：


（3）两根式：


3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有如下性质：


(1)顶点坐标是( )。


(2)对称轴是( )


(3)开口方向：当a＞0时，抛物线开口( )；当a＜0时，抛物线开口( )。


(4)最值：如果a＞0，函数有( )，当x＝－时，（ ）；如果a＜0，函数有( )，当x＝－时，（ ）。


(5)增减性(函数值y随自变量x的变化规律)：


①a＞0时，当x＜－(在对称轴左侧)，y随x的增大而( )；当x＞－(在对称轴右侧)，y随x的增大而( )。


②a＜0时，当x＜－(在对称轴左侧)，y随x的增大而( )，当x＞－(在对称轴右侧)，y随x的增大而( )。


【基础过关】


已知函数．


（1）抛物线的开口向 、对称轴为直线 、顶点坐标 ；


（2）当 时，函数有最 值，是 ；


（3）当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小；


（4）该函数图象可由的图象经过怎样的平移得到的？








【经典例题】


题型一 二次函数的概念


【例1】关于二次函数，下列说法正确的是（ ）


A．图像与轴的交点坐标为B．图像的对称轴在轴的右侧


C．当时，的值随值的增大而减小D．的最小值为-3


题型二 二次函数的图像与性质


【例2】二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：


（1）m= ；（2）在图中画出这个二次函数的图象；





当时，x的取值范围是 ；


当时，y的取值范围是 ；


【课堂达标】


1．若对任何实数x，二次函数的值恒为负，那么a，c应满足（ ）


A．且ac=B．且


C．且D．且


2．函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是( )


A． B． C． D．


3．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ）


A．B．


C．D．


4．已知二次函数满足，则( )


A．B．C．2D．4


5．函数有最小值，则实数a的值为_________.


6．已知,点都在二次函数的图象上,的大小关系为__________ .


7．二次函数满足，且有两个实根、，等于 .


8．若函数的定义域是，则实数______.


9．已知二次函数.


（1）画出它的图像并指出图像的开口方向、顶点坐标；


（2）求函数在时的值域.





【能力提升】


1．若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）


A．B．


C．且D．且


2．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）


A．B．C．D．


3．若二次函数的图像不经过原点，则“”是“此函数为偶函数”的（ ）


A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件


4．已知函数的图象如图所示，则（ ）





A．B．C．D．


5．函数在上的最小值和最大值分别为（ ）.


A．-12，5B．-12，4C．-12，-4D．-14，6


6．（多选题）若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（ ）


A．当时，B．


C．当时，D．当时，


7．（多选题）下列关于二次函数的说法正确的是（ ）


A．，B．，，


C．，，D．，


E.，


8．（多选题）关于的方程，以下说法正确的是（ ）


A．当时，方程只有一个实数根


B．当时，方程有两个相等的实数根


C．当时，方程没有实数根


D．当时，方程有两个不相等的实数根


9．已知,且,则的最大值为__________.


10．一元二次函数的顶点在轴上，则的值为 _____________ ；


11．将一元二次函数向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的二次函数一般式为_______________.


12．已知二次函数满足，且的最大值是8，求二次函数的解析式．























13．已知一元二次函数的最大值为，其图象的对称轴为，且与轴两个交点的横坐标的平方和为.


（1）求该一元二次函数；


（2）要将该函数图象的顶点平移到原点，请说出平移的方式.








【参考答案】


【知识清单】


(1)y=ax2+bx+c(a≠0) R； (2)纵坐标，原来的a倍；（3）开口方向，左右平移，向左，向右，上下平移，向上，向下


2.（1）y=ax2+bx+c(a≠0) （2）y=a(x+h)2+k (a0) （3）y=a(x-x1)(x-x2) (a0)


3.（1）（－，）（2）x=－（3）向上，向下（4）最小，，最大，（5）减小，增大；增大，减小


【基础过关】


（1）下；；； （2）；大；； （3）；； （4）向左个，向上平移个单位.


【解析】


【分析】


（1），（2），（3）由于是二次函数，由此可以确定函数的图象的形状，根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标，对称轴及增减性；（4）根据左加右减，上加下减可得出答案．


【详解】


解：由二次函数可得


（1）抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为(-2，9)．


（2）当x=-2时，函数y有最大值，是9．


（3）当x＜-2时，函数y随x的增大而增大，当x＞-2时，函数y随x的增大而减小．


（4）函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到．


故答案为下 ； ；大；； ； 向左个，向上平移个单位．


【点睛】


本题主要考查了二次函数的性质与图象的平移．掌握二次函数的顶点式对应的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．


【经典例题】


例1、 D


【解析】


【分析】


根据二次函数的性质，对每个选项进行逐一分析判断即可.


【详解】


∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，


∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，


该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，


当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，


当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，


故选：D．


【点睛】


本题考查二次函数的性质，属基础题.


例2、（1）0；（2）图象见解析；（3）或（4）．


【解析】


【分析】


（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；


（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；


（3）根据抛物线的对称性，（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，


（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．


【详解】


（1）由图表，根据抛物线的对称性，可知抛物线的顶点坐标为，


所以抛物线的对称轴的方程为，


又由关于直线的对称点是，所以.


（2）函数图象如图所示；





（3）因为关于直线x=-1的对称点是，


由图象可知当时，x的取值范围是或，


即x的取值范围是或.


（4）由图表可知，当时，；时，；时，，


结合图象可知当时，y的取值范围是，


即y的取值范围是.


【点睛】


此题考查二次函数的图象与性质，以及二次函数性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，正确作出二次函数的图象是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用，属于基础题.


[课堂达标]


1．C


【解析】


【分析】


根据二次函数的值恒为负值，结合二次函数图象可得，图象的开口向下，且与没有交点，列出不等式可求得满足的关系.


【详解】


因为二次函数的值恒为负，进而可得，解得，，


故选:C.


【点睛】


本题考查一元二次函数与一元二次函数图象的关系，考查了推理和运算能力，属于基础题.


2．D


【解析】


令， 的对称轴为。根据图象知，A选项 不对 ；B选项，若 成立，则，此时 图象不对；C选项，若 成立，则 ，此时 图象不对；D选项显然是正确的，故选D.


【点睛】


本题解题的关键是：先确定一次函数的图象，根据一次函数的图象确定 的取值，再根据 的取值确定二次函数的开口方向和对称轴，以判断图象的对错.


3．C


【解析】


【分析】


由题设二次函数的顶点式，再把点代入，求出即可


【详解】


设二次函数的解析式为，


将代入上式，得，


所以.


故选：C


【点睛】


本题考查二次函数的解析式求法，属于基础题.


4．A


【解析】


【分析】


由二次函数的对称性得对称轴为，从而可列出的方程，即可得答案.


【详解】


因为，所以函数的对称轴为，


所以，解得：．


故选：A．


【点睛】


本题考查二次函数的图象特征，考查基本运算求解能力，属于容易题.


5．


【解析】


【分析】


由函数有最小值，知，且当时，，求得.


【详解】


由函数有最小值，知，且当时，，


则，得.


故答案为：


【点睛】


本题考查了二次函数的性质，属于容易题.


6．


【解析】


【分析】


求得二次函数的单调区间，由此判断的大小关系.


【详解】


由于二次函数的对称轴为，开口向上，故函数在上递减，在上递增.而，所以，故.故填：.


【点睛】


本小题主要考查二次函数的性质，考查函数的单调性比较大小，属于基础题.


7．6


【解析】


【分析】


由二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，得到二次函数的对称轴为x=3，则两个实数根的和为2x，从而求得结果.


【详解】


∵二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，


∴二次函数y=f(x)的对称轴为x=3，


∴二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x=3对称，即两个交点的中点为3.


根据中点坐标公式得到f(x)=0的两个实数根之和为.


故本题答案为6.


【点睛】


本题是一道有关二次函数对称性质的题目，根据得到函数的对称轴是解题的关键，属基础题.


8．


【解析】


【分析】


根据偶次方根的被开方数为非负数，结合二次函数的判别式为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.


【详解】


依题意在上恒成立，故，解得.


故填：.


【点睛】


本小题主要考查函数定义域，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于基础题.


9．⑴开口向下；顶点；⑵


【解析】


【分析】


（1）算出函数图像的顶点坐标、函数图像与轴的交点坐标后可作出函数的图像.


（2）根据函数的图像可求其在上的值域.


【详解】


（1），


故函数图像的开口向下，顶点坐标为，与轴的交点坐标为，其图像如图所示：





（2）因为，结合函数的图像可得函数的值域为.


【点睛】


本题考查二次函数的图像和性质以及二次函数在给定范围上的值域，后者不能把区间的端点代入解析式求函数的值域，需要观察对称轴所对应的值是否在给定的范围中.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


先根据是抛物线得，再根据其函数图像与轴有两个不同的交点得，即，两者综合即可得答案.


【详解】


∵二次函数的图象与轴有两个交点，


∴


∴ 解得，


∵抛物线为二次函数，


∴，


则的取值范围为且.


故选：C.


【点睛】


本题考查二次函数的零点问题，是基础题.


2．D


【解析】


【分析】


一元二次函数的图像的顶点在原点的充要条件为再利用定义法解决.


【详解】


若一元二次函数的图像的顶点在原点，则，且，所以顶点在


原点的充要条件是故A是充要条件，B、C既不充分也不必要，D是必要条件，非充分条件.


故选：D.


【点睛】


本题考查充分必要条件的应用，解决此类问题，通常有定义法、等价法、集合间的包含关系来判断，本题是一道基础题.


3．C


【解析】


【分析】


首先由已知条件判断，再判断是否为充要条件.


【详解】


由题意可知


若，则，此时，满足，是偶函数，


反过来，当函数是偶函数时，对称轴是轴，所以，即


所以“”是“此函数为偶函数”的充要条件.


故选：C


【点睛】


本题考查充要条件的判断，意在考查二次函数的系数和二次函数的性质的关系，属于基础题型.


4．D


【解析】


【分析】


先根据的图象判断的正负，再根据即可判断与与的大小关系．


【详解】


由题图知，，


所以，


所以，即．


故选：D


【点睛】


本题主要考查二次函数的图象和性质，考查考生的识图能力，分析问题、解决问题的能力．


5．B


【解析】


【分析】


根据题意求出函数的对称轴为，开口朝下，判断对称轴内．


【详解】


解：函数的对称轴为，开口朝下


对称轴内，


在处取得最大值为，


在处取得最小值为，


故选：．


【点睛】


本题主要考查了二次函数的性质，函数图形特征，属于基础题．


6．ABD


【解析】


【分析】


取解一元二次方程可判断A，由根的判别式可判断B，由函数的图象可判断C、D．


【详解】


解：当时，，∴，故A对；


方程化为，


由方程有两个不等实根得，∴，故B对；


当时，画出函数和函数的图象如图，





由得，函数和函数的交点横坐标分别为，由图可知， ，故C错，D对；


故选：ABD．


【点睛】


本题主要考查一元二次方程的解法以及二次函数的零点与方程的根之间的关系，属于基础题．


7．BD


【解析】


【分析】


根据二次函数的图像与性质,可依次判断五个选项.


【详解】


二次函数,开口向上,对称轴为,最小值为.


对于A, 二次函数,所以,错误,即A错误;


对于B, 二次函数,所以,,正确,即B正确;


对于C, 二次函数,所以,,错误,即C错误;


对于D,根据二次函数的对称性可知, ,正确,即D正确;


对于E, 二次函数,所以,错误,即E错误.


综上可知,正确的为BD


故选:BD


【点睛】


本题考查了二次函数的图像与性质,二次函数的最值,全称命题与特称命题真假的判断,属于基础题.


8．AB


【解析】


【分析】


依据的取值，决定方程的类型，然后按照一元一次方程和一元二次方程的解的个数判断方法即可判断各选项的真假。


【详解】


当时，方程化为，解得，此时方程只有一个实数根，A正确；


当时，方程化为，因为，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；


当时，方程化为，因为，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；


当时，方程化为，因为，所以此时方程无实数根，D错误. 故选AB.


【点睛】


本题主要考查利用根的判别式判断一元二次方程解的个数。


9．


【解析】


【分析】


根据已知得，利用二次函数求最大值.


【详解】


由题：,且,


则，


根据二次函数性质：当时，取得最大值，


最大值为.


故答案为：


【点睛】


此题考查根据已知条件求代数式的最值，形式简单可以直接根据二次函数求解，也可以构造基本不等式求解.


10．或


【解析】


【分析】


由二次函数的顶点在轴上可得出，列出关于的方程，可解出实数的值.


【详解】


由于二次函数的顶点在轴上，则该二次函数的图象与轴相切，


所以，，整理得，解得或，


故答案为：或.


【点睛】


本题考查二次函数的顶点坐标，将问题转化为二次函数图象与轴相切，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.


11．


【解析】


【分析】


先将二次函数的解析式表示为顶点式，结合图象变换规律得出变换后的函数解析式，再化为一般形式即可.


【详解】


将二次函数的解析式为，


将该函数的图象向右平移个单位得，


再向上平移个单位得，


故答案为：.


【点睛】


本题考查二次函数的图象变换后解析式的计算，解题时要结合每一步变换写出相应的函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.


12．


【解析】


【分析】


设，由，且的最大值是8，列出方程组，求得的值，即可求解.


【详解】


设，


因为，且的最大值是8，


则，解得，故所求二次函数为.


【点睛】


本题主要考查了二次函数解析式的求解，其中解答中熟记二次函数的解析式的形式，以及二次函数的性质，合理利用待定系数求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.


13．（1）；（2）见解析.


【解析】


【分析】


（1）利用已知条件设所求二次函数的解析式为，且，并设该二次函数与轴的两个交点坐标分别为、，列出韦达定理，结合条件，可解出实数的值，从而可得出所求二次函数的解析式；


（2）根据函数的解析式，结合图象变换的规律可得出变换过程.


【详解】


（1）二次函数的顶点为，设函数为，即.


由题意可知，.


设二次函数与轴两个交点的横坐标为、，即方程的两根，


由韦达定理，.


又由，则，则有，解得.


所以二次函数，即；


（2）先将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将所得函数的图象向下平移个单位，可得到函数的图象.


【点睛】


本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了函数图象变换，在求解二次函数的解析式时，要结合已知条件对二次函数解析式进行合理地设取，使得参数较少，另外在处理函数图象变换时，应结合每一步变换得出函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

















x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
…
…
5
0
-3
-4
-3
m
…