北师大版 (2019)4.2 一元二次不等式及其解法学案设计

这是一份北师大版 (2019)4.2 一元二次不等式及其解法学案设计，共27页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。




【教学目标】


重点、难点及易混点


1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；(重点)


2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；（难点）


3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.(重点)


学科素养


通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养


【知识清单】


1．一元二次不等式的概念


阅读教材，完成下列问题．


只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.


2．一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系


对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.





3.解一元二次不等式的步骤


（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；


（2）写出相应的方程，计算判别式：


①时，求出两根，且


（注意灵活运用因式分解和配方法）；


②时，求根；


③时，方程无解


（3）根据不等式，写出解集.


用程序框图表示求解一元二次


不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程


【基础过关】


1、不等式x2－2x－5>2x的解集是








2、不等式－3x2＋5x－4>0的解集为











【经典例题】


题型一 一元二次不等式的解法


【例1】解下列不等式：


(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0；











题型二 三个“二次”的关系


【例2】利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？








[课堂达标]


1．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）


A．4B．5C．6D．8


2．不等式的解集为（ ）


A．或B．或


C．D．


3．若00的解集是（ ）


A．B．或


C．或D．


4．若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）


A．B．C．3D．


5．已知集合，，则（ ）


A．B．


C．D．


6．不等式的解集为（ ）


A．B．或


C．或D．


7．（多选题）已知集合，则 ( )


A．B．


C．D．


8．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．


9．一元二次不等式的解集是_________.


10．不等式的解集为________.





11．已知函数的图象经过原点．求解不等式．











12．求下列不等式的解集：


（1）； （2）．











13．解下列不等式：


（1）； （2）； （3）














14．当x取哪些值时，函数的值分别大于0、等于0、小于0？


二次函数


（）的图象
有两相异实根



有两相等实根



无实根






【能力提升】


1．若不等式的解集是，则的值为（ ）


A．﹣10B．﹣14C．10D．14


2．不等式的解集为则函数的图像大致为（ ）


A． B．


C． D．


3．已知不等式的解集为，则不等式的解为（ ）


A．B．或


C．D．或


4．已知集合，，则（ ）


A．B．C．D．


5．设,则关于的不等式的解集为( )


A．，或B．


C．，或D．


6．不等式的解集为（ ）


A． B．或


C． D．或


7．（多选题）已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则（ ）


A．B．


C．D．


8．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是______．


9．不等式组的解集为______.


10．已知集合.


（1）若A是空集，求的取值范围；


（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；


（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围











11．不等式：的解集为.


（1）求集合；


（2）若不等式的解集为，且，求的取值范围.














若不等式的解集是，求不等式的解集．











【参考答案】


【知识清单】


(1)一个 ，2


；；；；；


【基础过关】


答案：{x|x>5或x<－1}


解析：[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，


因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，


故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]


答案：∅


解析： [原不等式变形为3x2－5x＋4<0．


因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．


由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅．]


【经典例题】


例1 [解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq \f(1,2)．又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)或x<－3))))．


(2)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)≤0，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,4)))))．


例2 [提示] y＝x2－2x－3的图象如示．





函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．


2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？


[提示] 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．


不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．


3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

[提示] 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

[课堂达标]


1．A


【解析】


【分析】


通过解一元二次不等式以及，可得集合A，根据集合A中元素的个数可得子集个数.


【详解】


由，得，


得，


所以，


因为，所以或，


所以，所以集合A的子集个数为.


故选：A


【点睛】


本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合中元素个数计算子集个数，属于基础题.


2．A


【解析】


【分析】


化成即可求解.


【详解】


由题：等式化简为：








解得：或.


故选：A


【点睛】


此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.


3．D


【解析】


【分析】


判断出，再利用一元二次不等式的解法即可求解.


【详解】


∵01，∴>t.


∴(t－x) >0⇔(x－t) <0⇔t

故选：D


【点睛】


本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.


4．B


【解析】


【分析】


因为，所以利用韦达定理求出后可得的值.


【详解】


，故方程必有两根，


又根据二次方程根与系数的关系，可得，


所以.


故选：B.


【点睛】


本题考查一元二次方程的两根差的绝对值的计算，我们常用来计算两根差的绝对值，本题属于容易题.


5．A


【解析】


【分析】


利用一元二次不等式的解法求解相应不等式，得到集合，然后根据并集的定义求得结果，进而做出判定.


【详解】


由，解得，即，


又∵集合，∴，


故选：A.


【点睛】


本题考查集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，属基础题.


6．B


【解析】


【分析】


直接解出即可.


【详解】


由可得，所以或


故选：B


【点睛】


本题考查的是一元二次不等式的解法，较简单.


7．AD


【解析】


【分析】


解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集和并集，从而确定正确选项.


【详解】


由解得，故,.


故选AD.


【点睛】


本小题主要考查集合交集、并集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.


8．(－∞，2]∪[4，＋∞)


【解析】


【分析】


【详解】


因为x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，


所以把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，


解得k≥4或k≤2，故答案为(－∞，2]∪[4，＋∞).


9．


【解析】


【分析】


整理可得，根据一元二次不等式和二次函数之间的关系，即可得解.


【详解】


整理可得，


因式分解可得：，可得：，


故答案为：.


【点睛】


本题考查了一元二次不等式的求解，以及区间的表达，属于基础题.


10．


【解析】


【分析】





将不等式分成两个一元二次不等式,分别解出后取交集即可得出答案.


【详解】





先解或;


再解.


再取交集得到.


故答案为:.


【点睛】





本题考查一元二次不等式的解法.属于基础题


11．.


【解析】


【分析】


待定系数法求，再解一元二次不等式即可.


【详解】


解：的图象经过原点，


．即求解，解得，即不等式的解集为．


【点睛】


本题考查一元二次不等式的解法，是基础题.


12．（1）或（2）．


【解析】


【分析】





解一元二次不等式的步骤：把二次项系数化为正数；解对应的一元二次方程；根据方程的根，结合不等号方向，写出不等式的解集．


【详解】





解 （1）原不等式可化为．


，方程的解是，．


所以原不等式的解集是或．


（2）原不等式变形为．


，方程无解．


所以原不等式的解集是．


【点睛】





本题考查一元二次不等式的解法，解一元二次不等式往往先整理成标准形式或．可以结合二次函数的图像确定一元二次不等式的解集，属于基础题.


13．（1）；（2）；（3）


【解析】


【分析】


先将二次项系数化为正数，再因式分解，即可求得不等式解集.


【详解】


（1）等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；


（2）等价于，解得：或，所以不等式的解集为；


（3）等价于等价于，解得：，所以不等式的解集为.


【点睛】


本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查计算求解能力，属于基础题.


14．见解析


【解析】


【分析】


解一元二次不等式求得为何值是函数值为正数或负数，解一元二次方程求得函数值为零对应的的值.


【详解】


依题意，由解得当时，；由解得当，或时，；由解得当，或时，.


【点睛】


本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次函数零点的求法，属于基础题.


【能力提升】


1．B


【解析】


【分析】


先将不等式的解集转化为方程的根，再利用根与系数的关系求出和的值，即可解题.


【详解】


因为是不等式的解集，所以和是一元二次方程的两根，由根与系数的关系可得，解得，所以.


故选：B


【点睛】


本题主要考查一元二次不等式，解题时将不等式的解集转化为方程的根，属于常考题型.


2．C


【解析】


【分析】


利用根与系数的关系x1+x2=−，x1•x2= 结合二次函数的图象可得结果


【详解】


由题知-2和1是ax2-x+c=0的两根，


由根与系数的关系知-2+1= ，，−2×1＝ ，∴a=-1，c=2，


∴=-x2+x+2=-（x-）2+ ，故选C


【点睛】


本题考查了一元二次不等式的解法和二次函数的图象，以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式，一元二次方程，与一元二次函数的问题之间可相互转化，也体现了数形结合的思想方法.


3．A


【解析】


【分析】





由题意知的两根为，且，将根代入方程从而可得，则所求不等式可化简为，解出即可选出正确答案.


【详解】





解：由题意知，的两根为，且，则 ，


解得 ，则代入得.因为，则，


所以可化为，解得.


故选：A.


【点睛】





本题考查了一元二次不等式的解.本题的关键是由已知不等式的解求出系数间的关系.本题的易错点是忽略或者没有正确判断出的符号.


4．C


【解析】


【分析】


求出、中不等式的解集确定出、，找出与的交集即可．


【详解】


集合，集合，


所以.


故选：C


【点睛】


此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．


5．A


【解析】


【分析】


化简得到，根据得到答案.


【详解】


,.


又,,或 .


不等式的解集为，或,


故选：A.


【点睛】


本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力.


6．C


【解析】


【分析】


将分式不等式转化为整式不等式且，求解即可．


【详解】


不等式等价于，解得.


故不等式的解集为.


故选C.


【点睛】


本题考查了分式不等式的求法，属于基础题．


7．BC


【解析】


【分析】


由基本不等式，可求的最大值，然后解二次不等式可得，结合选项即可判断．


【详解】


∵正数，满足，


∴，即的最大值为，当且仅当时，取等号.


∵的解集为，∴.


故选：BC.


【点睛】


本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二次不等式的求解，属于基础试题．


8．(－1,3)


【解析】


由题意得


9．.


【解析】


【分析】


根据一元二次不等式的解法，分别求得不等式和的解集，即可求解.


【详解】


由题意，不等式，即，解得或；


又由，即，解得，


所以不等式的解集为或.


即原不等式的解集为.


【点睛】


本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.


10．（1）；（2）当时，；当时，；（3）


【解析】


【分析】


（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．


（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．


（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．


【详解】


（1）若A是空集，


则方程ax2﹣3x+2＝0无解


此时 △＝9﹣8a＜0


即a


2）若A中只有一个元素


则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根


当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件


当a≠0，此时△＝9﹣8a＝0，解得：a


∴a＝0或a


若a＝0，则有A＝{}；若a，则有A＝{}；


3）若A中至多只有一个元素，


则A为空集，或有且只有一个元素


由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a＝0或a


【点睛】


本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2＝0根的情况，是解答本题的关键．


11．（1）；（2）.


【解析】


【分析】


（1）分式不等式转化为整式不等式求得解集


（2）分类讨论，当时，不符合题意，当时，求得


利用得到；


【详解】


（1）


，，，


且


，


（2）∵，∴


当时，，不符合题意，舍去；


当时，不等式可化为：，注意到，


∴，∴，∴


当时，不等式可化为：，注意到无论与大小关系，均包含趋于部分，一定不符合，舍去.


综上可知：


【点睛】


解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据


(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．


(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．


(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．


12．


【解析】


【分析】


由不等式的解集和方程的关系，可知，是方程的两根，利用韦达定理求出，再代入不等式，解一元二次不等式即可.


【详解】


解：由已知条件可知，且方程的两根为，；


由根与系数的关系得解得．


所以原不等式化为解得


所以不等式解集为


【点睛】


本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.