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- 2.1 生活中的变量关系-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（北师大2019版必修第一册） 学案 0 次下载
- 2.2.1 函数的概念-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（北师大2019版必修第一册） 学案 0 次下载
- 2.3 函数的单调性与最值-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（北师大2019版必修第一册） 学案 2 次下载
- 2.4.1 函数的奇偶性-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（北师大2019版必修第一册） 学案 4 次下载
- 2.4.2 简单幂函数的图像和性质-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（北师大2019版必修第一册） 学案 0 次下载
数学北师大版 (2019)第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法学案设计
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这是一份数学北师大版 (2019)第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法学案设计，共25页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案，方法点晴等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
重点、难点
1、掌握函数的三种表示方法；（重点）
2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（难点）
3、了解简单的分段函数，并能简单应用。(重点、难点)
学科素养
通过应用函数的表示方法提升数学抽象素养。
【知识清单】
函数的表示法
函数的三种表示方法
分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值， 也不同，这样的函数通常称为分段函数．
【基础过关】
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝( )
A.1 B．2 C．3 D．不存在
2.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是______，值域是______
3、已知f(x)是一次函数，且其图像过点A(－2,0)，B(1,5)，求f(x)的解析式。
【经典例题】
题型一 函数的图像表示法
例1、已知函数f(x)＝3|x－1|－2.
(1)把函数f(x)写成分段的形式；(2)画出函数f(x)的图像；
题型二 函数的列表表示法
例2、某老师将其每周的课时数列表如下：
在这个函数中，定义域为 __________________ ；值域为________________.
题型三 函数的解析表示法
例3、已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))若f(x)>2，求x的取值范围．
【课堂达标】
1．设f(x)= x+2(x≥0)1x<0则f(f(-1))= ( )
A．3B．1C．0D．-1
2．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．或或
3．下列各图中，可表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
4．设，且f（x）=10，则x=（ ）
A．-3或3B．5C．-3D．-3或5
5．函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
6．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．支出最高值与支出最低值的比是8：1
B．4至6月份的平均收入为50万元
C．利润最高的月份是2月份
D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
7．设对应关系、都是由数集到的函数，其对应法则如下表（从上到下）：
则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d.当接收方收到的密文为14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．6，4，1，7B．7，6，1，4C．4，6，1，7D．1，6，4，7
9．设，，则____________.
10．已知函数用列表法表示如下表，则______
11．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数.
12．如图所示，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求该函数的解析式.
【能力提升】
1．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设为出发后某一时刻，为汽艇与码头在时刻的距离，下列图像能大致表示的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）
A．B．C．D．
4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 （）
A．B．C．D．
5．已知，若，，则等于（ ）
A．2018B．C．0D．10020
6．设若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（多选题）下列函数中，对任意，满足的是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题）下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（ ）
A．B．C．D．
9．函数y＝f(x)图象如图所示，
则：
f(0)＝________；（2）f(－2)＝________；
（3）f[f（2）]＝________；
（4）若－1＜x1≤x2＜2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为________；
（5）若f(x)＝0，则x＝________.
10．已知函数，分别由下表给出
则的值为 ；满足的的值是 ．
11．若函数如下表所示：
(1)求的值；(2)若，求的值．
12．已知函数.
（1）求与，与的值；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现；
（3）求式子的值.
【参考答案】
【知识清单】
1. 自变量的解析表达式，图像，表格；2.对应关系
【基础过关】
1、答案：C
[因为3∈(2,4]，所以f(3)＝3.]
2、答案：[－1,2) (－1,1]
[观察图像，得f(x)的定义域为：[－1，2)．值域为：(－1,1]．]
3、答案：f(x)＝eq \f(5,3)x＋eq \f(10,3) [设f(x)＝kx＋b，依题意，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2k＋b＝0，,k＋b＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(5,3)，,b＝\f(10,3)，))所以，f(x)＝eq \f(5,3)x＋eq \f(10,3).]
【经典例题】
1、答案：(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5，x≥1，,－3x＋1，x<1.))(2)分段画函数图像：
答案：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}
3、答案：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.
综上可得：x>0或x<－4.
[课堂达标]
1．A
【解析】
【分析】
由f（x）=x+2，x≥01，x＜0，知f[f（﹣1）]=f（1），由此能够求出结果．
【详解】
∵f（x）=x+2，x≥01，x＜0，
∴f[f（﹣1）]=f（1）=1+2=3．
故选A．
【点睛】
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2．C
【解析】
【分析】
分和解方程，进而可求得的值.
【详解】
当时，令，得，解得；
当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.
综上所述，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用分段函数值求自变量的值，考查计算能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据函数的定义判断即可；
【详解】
解：根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，则只有D满足条件；
故选：D
【点睛】
本题考查函数的定义的应用，函数图象的识别，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
分类讨论当时，，求解出的值，注意验证是否满足前提条件.
【详解】
当时，，解得，所以符合，
当时，，解得符合，
综上可知：的值为或.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据分段函数的函数值求参数，要注意分段讨论，并且注意求解的结果是否符合前提条件，属于容易题.
5．C
【解析】
【分析】
，然后可选出答案.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查的是分段函数的图象，较简单.
6．D
【解析】
【分析】
根据折线统计图即可判断各选项,此类问题属于容易题．
【详解】
由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是5：1，故A错误，
由图可知，4至6月份的平均收入为万元，故B错误，
由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，
由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了统计图的识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．
7．D
【解析】
【分析】
由题意，根据表格找到，即得解.
【详解】
由题意，
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的概念，以及复合函数的对应法则，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
对选项中的四个明文按照加密的方法进行判断即可；
【详解】
选项A：明文是6，4，1，7，加密文是：14，9，23，28，符合题意；
选项B：明文是. 7，6，1，4，加密文是：19，13，14，16，不符合题意；
选项C：明文是4，6，1，7，加密文是：16，13，23，28，不符合题意；
选项D：明文是1，6，4，7，加密文是：13，16，29，28，不符合题意.
故选：A
【点睛】
本题考查了数学阅读能力，属于基础题.
9．0
【解析】
【分析】
根据函数解析式，由内到外，逐步代入，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
又，所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查求函数值，由内到外，逐步代入即可，属于基础题型.
10．0
【解析】
【分析】
由表格给出的数据有，则可求出答案.
【详解】
根据表格中的数据有
所以
故答案为：0
【点睛】
本题考查根据函数的列表法求函数值，属于基础题.
11．见解析.
【解析】
【分析】
根据定义域，分别利用解析法，列表法，图像法表示即可.
【详解】
解：这个函数的定义域是数集.
用解析法可将函数表示为，.
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为：
【点睛】
本题考查函数的表示方法，注意函数的定义域，是基础题.
12．
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出每一段函数的解析式，分段写出即可.
【详解】
设左侧的射线对应的函数解析式为，
因为点（1，1），（0，2）在此射线上，所以，解得，
所以左侧射线对应的函数解析式为，
同理，当时，右侧射线对应的函数解析式为，
再设抛物线的一部分对应的函数解析式为，
将点（3，1）的坐标代入，得，所以，
所以该段抛物线对应的函数解析式为，
综上所述，函数的解析式为.
【点睛】
本题考查根据函数图像，利用待定系数法求函数解析式，是基础题
【能力提升】
1．A
【解析】
【分析】
先计算，再计算．
【详解】
由题意，所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查求分段函数值，最幂与对数的运算，解题关键是要判断自变量的取值范围，根据不同的取值范围选取不同的表达式计算．
2．C
【解析】
【分析】
汽艇开始远离码头，增加，到达小岛后绕行两周，先增加后减小，再增加，又减小，然后汽艇停靠岸边，不变，最后再从来时的停靠点回码头，减小，而且减小的幅度比来时要大即陡峭些．
【详解】
根据汽艇行进路线想象它与码头的距离，一开始，汽艇远离码头，距离越来越大，由于是匀速直线，图象是一条直线，到了小岛时，可假设小岛是一个圆，汽艇绕小岛环行两周，则距离先增加，然后减小，再回到停靠点，再增加，减小，再回到停靠点（注意有两个来回），然后汽艇停靠岸边，不变，最后汽艇回码头，距离又开始减小．只有C与描述相似．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数图象的应用，从实际问题中抽象出函数的图象，掌握日常生活中的基本关系如速度时间关系，距离时间关系，路程时间关系等）是解题基础．
3．C
【解析】
【分析】
根据路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，结合速度的快慢确定图象.
【详解】
因为先跑，跑累了再走余下的路，所以跑的时候速度比较快，走的时候速度比较慢
路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，应当先增长的比较快，后增长的比较慢
符合条件的应是选项C
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数的表示方法，属于基础题.
4．B
【解析】
试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
考点：函数的解析式及常用方法．
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．
5．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性得出，最后由函数得出的值.
【详解】
由知，关于抛物线的对称轴对称，故，．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求具体函数的函数值，涉及了二次函数对称性的应用，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
分类讨论，代入相应的解析式列出关系式求解即可.
【详解】
当时，，，.
∵，∴，解得.
当时，，.
∵，∴，显然无解.综上，.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的概念与性质，属于基础题.
7．ABC
【解析】
【分析】
对A、B、C、D选项逐项验证即可．
【详解】
对于A，，，故满足；
对于B，，，故满足；
对于C，，，故满足；
对于D，，，故不满足；
故选：ABC.
【点睛】
本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查学生基本的运算能力，属于基本知识的考查．
8．AD
【解析】
【分析】
根据函数的定义和图象关系进行判断．
【详解】
在A，D中，对于定义域内每一个都有唯一的与之相对应，满足函数关系，
在B，C中，存在一个有两个与对应，不满足函数对应的唯一性，
故选AD.
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题.
9．4 3 2
【解析】
【分析】
根据函数图像所过点的坐标，即可容易求得；结合函数单调性，即可求得.
【详解】
（1）因为过点，故可得；
（2）因为过点，故可得；
（3）因为，故；
（4）因为在区间是单调减函数，故可得；
（5）由图可知，过点，故可得.
故答案为：4；3；2；；
【点睛】
本题考查函数图像的辨识，属简单题.
10．1，2
【解析】
=；
当x=1时，，不满足条件，
当x=2时，，满足条件，
当x=3时，，不满足条件，
∴ 只有x=2时，符合条件．
11．(1)1；(2) 或.
【解析】
【分析】
（1）先计算，再计算；
（2）由表格先求方程的解，然后再解方程即得．
【详解】
解：(1)，.
(2)设，由表知，对应的，
即，再由表求得当且仅当或时，.
或.
【点睛】
本题考查函数的定义，掌握函数概念是解题基础，本题属于基础题．
12．（1）；（2），证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，直接赋值即可求得；
（2）根据（1）中的结论，发现规律，利用函数解析式，证明即可；
（3）根据（2）中的规律，赋值即可求得.
【详解】
（1），
.
（2）发现.
证明： .
（3）∵又因为
所以
.
【点睛】
本题考查函数值的求解，以及根据函数解析式，证明函数的相关性质，属基础题.
表示法
定义
解析法
用 表示两个变量之间的对应关系
图像法
用 表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出 来表示两个变量之间的对应关系
x
1≤x<2
2
2
1
2
3
X（星期）
1
2
3
4
5
Y（节次）
2
4
5
3
1
对应关系的对应法则
0
1
2
3
2
3
4
1
对应关系的对应法则
0
1
2
3
3
4
1
2
0
1
2
2
0
1
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
笔记本数
1
2
3
4
5
钱数
5
10
15
20
25
【教学目标】
重点、难点
1、掌握函数的三种表示方法；（重点）
2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（难点）
3、了解简单的分段函数，并能简单应用。(重点、难点)
学科素养
通过应用函数的表示方法提升数学抽象素养。
【知识清单】
函数的表示法
函数的三种表示方法
分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值， 也不同，这样的函数通常称为分段函数．
【基础过关】
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝( )
A.1 B．2 C．3 D．不存在
2.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是______，值域是______
3、已知f(x)是一次函数，且其图像过点A(－2,0)，B(1,5)，求f(x)的解析式。
【经典例题】
题型一 函数的图像表示法
例1、已知函数f(x)＝3|x－1|－2.
(1)把函数f(x)写成分段的形式；(2)画出函数f(x)的图像；
题型二 函数的列表表示法
例2、某老师将其每周的课时数列表如下：
在这个函数中，定义域为 __________________ ；值域为________________.
题型三 函数的解析表示法
例3、已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))若f(x)>2，求x的取值范围．
【课堂达标】
1．设f(x)= x+2(x≥0)1x<0则f(f(-1))= ( )
A．3B．1C．0D．-1
2．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．或或
3．下列各图中，可表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
4．设，且f（x）=10，则x=（ ）
A．-3或3B．5C．-3D．-3或5
5．函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
6．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．支出最高值与支出最低值的比是8：1
B．4至6月份的平均收入为50万元
C．利润最高的月份是2月份
D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
7．设对应关系、都是由数集到的函数，其对应法则如下表（从上到下）：
则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d.当接收方收到的密文为14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．6，4，1，7B．7，6，1，4C．4，6，1，7D．1，6，4，7
9．设，，则____________.
10．已知函数用列表法表示如下表，则______
11．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数.
12．如图所示，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求该函数的解析式.
【能力提升】
1．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设为出发后某一时刻，为汽艇与码头在时刻的距离，下列图像能大致表示的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）
A．B．C．D．
4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 （）
A．B．C．D．
5．已知，若，，则等于（ ）
A．2018B．C．0D．10020
6．设若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（多选题）下列函数中，对任意，满足的是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题）下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（ ）
A．B．C．D．
9．函数y＝f(x)图象如图所示，
则：
f(0)＝________；（2）f(－2)＝________；
（3）f[f（2）]＝________；
（4）若－1＜x1≤x2＜2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为________；
（5）若f(x)＝0，则x＝________.
10．已知函数，分别由下表给出
则的值为 ；满足的的值是 ．
11．若函数如下表所示：
(1)求的值；(2)若，求的值．
12．已知函数.
（1）求与，与的值；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现；
（3）求式子的值.
【参考答案】
【知识清单】
1. 自变量的解析表达式，图像，表格；2.对应关系
【基础过关】
1、答案：C
[因为3∈(2,4]，所以f(3)＝3.]
2、答案：[－1,2) (－1,1]
[观察图像，得f(x)的定义域为：[－1，2)．值域为：(－1,1]．]
3、答案：f(x)＝eq \f(5,3)x＋eq \f(10,3) [设f(x)＝kx＋b，依题意，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2k＋b＝0，,k＋b＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(5,3)，,b＝\f(10,3)，))所以，f(x)＝eq \f(5,3)x＋eq \f(10,3).]
【经典例题】
1、答案：(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5，x≥1，,－3x＋1，x<1.))(2)分段画函数图像：
答案：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}
3、答案：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.
综上可得：x>0或x<－4.
[课堂达标]
1．A
【解析】
【分析】
由f（x）=x+2，x≥01，x＜0，知f[f（﹣1）]=f（1），由此能够求出结果．
【详解】
∵f（x）=x+2，x≥01，x＜0，
∴f[f（﹣1）]=f（1）=1+2=3．
故选A．
【点睛】
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2．C
【解析】
【分析】
分和解方程，进而可求得的值.
【详解】
当时，令，得，解得；
当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.
综上所述，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用分段函数值求自变量的值，考查计算能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据函数的定义判断即可；
【详解】
解：根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，则只有D满足条件；
故选：D
【点睛】
本题考查函数的定义的应用，函数图象的识别，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
分类讨论当时，，求解出的值，注意验证是否满足前提条件.
【详解】
当时，，解得，所以符合，
当时，，解得符合，
综上可知：的值为或.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据分段函数的函数值求参数，要注意分段讨论，并且注意求解的结果是否符合前提条件，属于容易题.
5．C
【解析】
【分析】
，然后可选出答案.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查的是分段函数的图象，较简单.
6．D
【解析】
【分析】
根据折线统计图即可判断各选项,此类问题属于容易题．
【详解】
由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是5：1，故A错误，
由图可知，4至6月份的平均收入为万元，故B错误，
由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，
由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了统计图的识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．
7．D
【解析】
【分析】
由题意，根据表格找到，即得解.
【详解】
由题意，
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的概念，以及复合函数的对应法则，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
对选项中的四个明文按照加密的方法进行判断即可；
【详解】
选项A：明文是6，4，1，7，加密文是：14，9，23，28，符合题意；
选项B：明文是. 7，6，1，4，加密文是：19，13，14，16，不符合题意；
选项C：明文是4，6，1，7，加密文是：16，13，23，28，不符合题意；
选项D：明文是1，6，4，7，加密文是：13，16，29，28，不符合题意.
故选：A
【点睛】
本题考查了数学阅读能力，属于基础题.
9．0
【解析】
【分析】
根据函数解析式，由内到外，逐步代入，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
又，所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查求函数值，由内到外，逐步代入即可，属于基础题型.
10．0
【解析】
【分析】
由表格给出的数据有，则可求出答案.
【详解】
根据表格中的数据有
所以
故答案为：0
【点睛】
本题考查根据函数的列表法求函数值，属于基础题.
11．见解析.
【解析】
【分析】
根据定义域，分别利用解析法，列表法，图像法表示即可.
【详解】
解：这个函数的定义域是数集.
用解析法可将函数表示为，.
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为：
【点睛】
本题考查函数的表示方法，注意函数的定义域，是基础题.
12．
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出每一段函数的解析式，分段写出即可.
【详解】
设左侧的射线对应的函数解析式为，
因为点（1，1），（0，2）在此射线上，所以，解得，
所以左侧射线对应的函数解析式为，
同理，当时，右侧射线对应的函数解析式为，
再设抛物线的一部分对应的函数解析式为，
将点（3，1）的坐标代入，得，所以，
所以该段抛物线对应的函数解析式为，
综上所述，函数的解析式为.
【点睛】
本题考查根据函数图像，利用待定系数法求函数解析式，是基础题
【能力提升】
1．A
【解析】
【分析】
先计算，再计算．
【详解】
由题意，所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查求分段函数值，最幂与对数的运算，解题关键是要判断自变量的取值范围，根据不同的取值范围选取不同的表达式计算．
2．C
【解析】
【分析】
汽艇开始远离码头，增加，到达小岛后绕行两周，先增加后减小，再增加，又减小，然后汽艇停靠岸边，不变，最后再从来时的停靠点回码头，减小，而且减小的幅度比来时要大即陡峭些．
【详解】
根据汽艇行进路线想象它与码头的距离，一开始，汽艇远离码头，距离越来越大，由于是匀速直线，图象是一条直线，到了小岛时，可假设小岛是一个圆，汽艇绕小岛环行两周，则距离先增加，然后减小，再回到停靠点，再增加，减小，再回到停靠点（注意有两个来回），然后汽艇停靠岸边，不变，最后汽艇回码头，距离又开始减小．只有C与描述相似．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数图象的应用，从实际问题中抽象出函数的图象，掌握日常生活中的基本关系如速度时间关系，距离时间关系，路程时间关系等）是解题基础．
3．C
【解析】
【分析】
根据路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，结合速度的快慢确定图象.
【详解】
因为先跑，跑累了再走余下的路，所以跑的时候速度比较快，走的时候速度比较慢
路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，应当先增长的比较快，后增长的比较慢
符合条件的应是选项C
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数的表示方法，属于基础题.
4．B
【解析】
试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
考点：函数的解析式及常用方法．
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．
5．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性得出，最后由函数得出的值.
【详解】
由知，关于抛物线的对称轴对称，故，．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求具体函数的函数值，涉及了二次函数对称性的应用，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
分类讨论，代入相应的解析式列出关系式求解即可.
【详解】
当时，，，.
∵，∴，解得.
当时，，.
∵，∴，显然无解.综上，.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的概念与性质，属于基础题.
7．ABC
【解析】
【分析】
对A、B、C、D选项逐项验证即可．
【详解】
对于A，，，故满足；
对于B，，，故满足；
对于C，，，故满足；
对于D，，，故不满足；
故选：ABC.
【点睛】
本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查学生基本的运算能力，属于基本知识的考查．
8．AD
【解析】
【分析】
根据函数的定义和图象关系进行判断．
【详解】
在A，D中，对于定义域内每一个都有唯一的与之相对应，满足函数关系，
在B，C中，存在一个有两个与对应，不满足函数对应的唯一性，
故选AD.
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题.
9．4 3 2
【解析】
【分析】
根据函数图像所过点的坐标，即可容易求得；结合函数单调性，即可求得.
【详解】
（1）因为过点，故可得；
（2）因为过点，故可得；
（3）因为，故；
（4）因为在区间是单调减函数，故可得；
（5）由图可知，过点，故可得.
故答案为：4；3；2；；
【点睛】
本题考查函数图像的辨识，属简单题.
10．1，2
【解析】
=；
当x=1时，，不满足条件，
当x=2时，，满足条件，
当x=3时，，不满足条件，
∴ 只有x=2时，符合条件．
11．(1)1；(2) 或.
【解析】
【分析】
（1）先计算，再计算；
（2）由表格先求方程的解，然后再解方程即得．
【详解】
解：(1)，.
(2)设，由表知，对应的，
即，再由表求得当且仅当或时，.
或.
【点睛】
本题考查函数的定义，掌握函数概念是解题基础，本题属于基础题．
12．（1）；（2），证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，直接赋值即可求得；
（2）根据（1）中的结论，发现规律，利用函数解析式，证明即可；
（3）根据（2）中的规律，赋值即可求得.
【详解】
（1），
.
（2）发现.
证明： .
（3）∵又因为
所以
.
【点睛】
本题考查函数值的求解，以及根据函数解析式，证明函数的相关性质，属基础题.
表示法
定义
解析法
用 表示两个变量之间的对应关系
图像法
用 表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出 来表示两个变量之间的对应关系
x
1≤x<2
2
2
1
2
3
X（星期）
1
2
3
4
5
Y（节次）
2
4
5
3
1
对应关系的对应法则
0
1
2
3
2
3
4
1
对应关系的对应法则
0
1
2
3
3
4
1
2
0
1
2
2
0
1
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
笔记本数
1
2
3
4
5
钱数
5
10
15
20
25
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