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    北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质学案设计

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质学案设计,共18页。学案主要包含了教学目标,知识清单,基础过关,经典例题,课堂达标,能力提升,参考答案等内容,欢迎下载使用。

    【教学目标】


    1、幂函数的概念;(重点)


    2、幂函数的图像画法和性质。(难点)


    学科素养


    通过对两个变量之间关系的判断,发展学生的思维能力;


    【知识清单】


    幂函数的概念


    一般地,形如 的函数,即底数是自变量,指数是常数的函数称为幂函数


    幂函数性质


    = 1 \* GB2 ⑴所有的幂函数在都有定义,并且图象都过点


    = 2 \* GB2 ⑵a>0时,幂函数的图象都通过原点,且在上,是 函数.


    = 3 \* GB2 ⑶a<0时,幂函数的图象在区间上是_______函数.


    【基础过关】


    1、下列函数中,是幂函数的是( )


    A.y=-B.y=3x2C.y=D.y=2x


    2、若幂函数f(x)=(m2﹣m﹣1)•在(0,+∞)上是减函数,求实数m








    【经典例题】


    例1、已知幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)为减函数,求m的值和函数f(x)的解析式








    例2.已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整.





    【课堂达标】


    1.已知幂函数的图象经过,则的值等于( )


    A.1B.C.2D.


    2.已知幂函数的图象经过点,则的增区间为( )


    A.B.C.D.


    3.下列四个结论中,正确的是( )


    A.幂函数的图像过和两点B.幂函数的图像不可能出现在第四象限


    C.当时,是增函数D.的图像是一条直线


    4.幂函数图象过点,则( )


    A.B.C.D.


    5.(多选题)下列关于幂函数的性质,描述正确的有( )


    A.当时函数在其定义域上是减函数B.当时函数图象是一条直线


    C.当时函数是偶函数D.当时函数有一个零点0





    【能力提升】


    1.已知幂函数(且互质)的图象如图所示,则( )





    A.,均为奇数,且B.为偶数,为奇数,且


    C.为奇数,为偶数,且D.为奇数,为偶数,且


    2.下面4个图象都是幂函数的图象,函数的图象是( )


    A.B.C.D.


    3.若四个幂函数,,,在同一坐标系中的部分图象如图,则、、、的大小关系正确的是( )





    A.B.


    C.D.


    4.下列函数中,定义域为R的函数是( )


    A.B.C.D.


    5.如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )





    A.B.


    C.D.


    6.(多选题)已知,则使函数的值域为,且为奇函数的的值为( )


    A.-1B.1C.2D.3


    7..已知若幂函数的图象关于轴对称,且在区间内单调递减,则__________.


    8.已知幂函数,若,则a的取值范围是______.


    9.已知函数f(x)=


    (1)试比较f(f(-3))与f(f(3))的大小;(2)画出函数的图象;


    (3)若f(x)=1,求x的值.














    10.已知幂函数,且在上为增函数.


    (1)求函数的解析式;


    (2)若,求的取值范围.






































    【参考答案】


    【知识清单】


    (1)y=xa(a为常数);


    2、(1)(1,1),增函数,减函数;


    【基础过关】


    1、[答案] C


    解析 根据幂函数的概念,形如y=xa(a为常数)的函数叫做幂函数.


    2、[答案] 2


    解析∵f(x)=(m2﹣m﹣1)为幂函数,


    ∴m2﹣m﹣1=1,∴m=2或m=﹣1.


    当m=2时,f(x)=x﹣3在(0,+∞)上是减函数,


    当m=﹣1时,f(x)=x0=1不符合题意.


    综上可知m=2.故答案为:2.


    【经典例题】


    例1、[答案] f(x)=x﹣4.


    【解析】


    幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)为减函数,


    所以,m2﹣4m<0,解得0<m<4,


    因为m∈Z,所以m=2;函数的解析式为:f(x)=x﹣4.


    例题2、[答案] 见解析


    【解析】


    【分析】


    利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解.


    【详解】


    解:因为奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,所以补充后图象如图所示.





    【点睛】


    本题主要考查奇偶函数的对称性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.


    [课堂达标]


    1.D


    【解析】


    【分析】


    根据幂函数过点的坐标,待定系数求得函数解析式;再代值即可求得函数值.


    【详解】


    因为幂函数的图象经过,


    故可得,解得,故;


    则.


    故选:.


    【点睛】


    本题考查幂函数解析式的求解,以及幂函数函数值的求解,属综合简单题.


    2.C


    【解析】


    【分析】


    由幂函数所过点坐标,利用待定系数法求出解析式,然后再确定单调性.


    【详解】


    设幂函数,经过点,


    得,即,得,


    所以幂函数为,单增区间为.


    故选:C.


    【点睛】


    本题考查幂函数的解析式和单调性,涉及到待定系数法,属于基础题.


    3.B


    【解析】


    【分析】


    根据幂函数性质直接判断各选项正确与否.


    【详解】


    幂函数的图像都过点,但不一定过点,如,所以A错;


    因为当时,所以幂函数的图像不可能出现在第四象限,即B对;


    当时,不一是增函数,如在上单调递减,所以C错;


    的图像是一条去掉一点的直线,所以D错.


    故选:B


    【点睛】


    本题考查幂函数性质,考查基本分析判断能力,属基础题.


    4.A


    【解析】


    【分析】


    用待定系数法求出幂函数的解析式,然后用代入法进行求解即可.


    【详解】


    设,因为幂函数图象过点,


    所以有,解得,所以,


    因为,所以.


    故选:A


    【点睛】


    本题考查了幂函数解析式的求法,考查了求函数值问题,考查了数学运算能力.


    5..CD


    【解析】


    【分析】


    根据幂函数的性质对选项逐一分析,由此确定正确选项.


    【详解】


    对于A选项,,在和上递减,不能说在定义域上递减,故A选项错误.


    对于B选项,,,图象是:直线并且除掉点,故B选项错误.


    对于C选项,,定义域为,是偶函数,所以C选项正确.


    对于D选项,,只有一个零点,所以D选项正确.


    故选:CD


    【点睛】


    本小题主要考查幂函数的图象与性质,属于基础题.


    【能力提升】


    1.D


    【解析】


    【分析】


    由函数为偶函数,且图象在第一象限内向上凸起,在单调递增,可选出答案.


    【详解】


    由幂函数的图象关于轴对称,可知该函数为偶函数,所以为偶数,则为奇数,


    因为图象在第一象限内向上凸起,且在单调递增,所以.


    故选:D.


    【点睛】


    本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定与应用,熟记幂函数的图象与性质,是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.


    2.B


    【解析】


    【分析】


    根据幂函数的性质以及函数奇偶性的定义判断即可.


    【详解】


    由幂函数的性质可知,函数的图象在上单调递减,则AC错误;


    令,


    因为,所以函数为偶函数,则D错误;


    故选:B


    【点睛】


    本题主要考查了根据幂函数的解析式选择图象,属于中档题.


    3.B


    【解析】


    【分析】


    根据幂函数的图象与性质,即可求解,得到答案.


    【详解】


    由幂函数的图象与性质,在第一象限内,在的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数依次增大,可得.


    故选:B.


    【点睛】


    本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用,其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键,属于基础题.


    4.C


    【解析】


    【分析】


    根据幂函数的定义与性质,对题目中的函数进行分析、判断即可.


    【详解】


    解:对于A:函数,定义域为,不满足条件;


    对于B:函数的定义域为,不满足条件;


    对于C:,定义域为,满足条件;


    对于D:函数的定义域为,不满足条件;


    故选:C


    【点睛】


    本题考查了求常见的函数定义域应用问题,属于基础题.


    5.A


    【解析】


    【分析】


    方法一 根据幂函数在第一象限的单调性和增减速度判断;方法二 对取值,根据四个函数对应的函数值的大小进行判断.


    【详解】


    方法一 曲线过点,且在第一象限单调递增,,为.显然对应,对应.曲线过点,且在第一象限单调递减,,为.显然对应,对应.


    方法二 令,分别代入,得,,


    所以曲线相对应的依次为.


    故选:.


    【点睛】


    本题考查幂函数的单调性,属于基础题.


    6、BD


    【解析】


    【分析】


    对的四个取值逐一分析的值域和奇偶性,由此确定正确选项.


    【详解】


    当时,,为奇函数,但值域为,不满足条件;


    当时,为奇函数,值域为,满足条件;


    当时,为偶函数,值域为,不满足条件;


    当时,为奇函数,值域为,满足条件.


    故选:BD.


    【点睛】


    本小题主要考查幂函数的值域,考查幂函数的奇偶性,属于基础题.


    7、


    【解析】


    【分析】


    根据题意可得函数的奇偶性和单调性,进而得到可取的值.


    【详解】


    解:因为幂函数的图象关于轴对称,则必为偶数,


    又在区间内单调递减,则为负数,


    综合得.


    故答案为:.


    【点睛】


    本题考查幂函数的奇偶性及单调性,是基础题.


    8、


    【解析】


    【分析】


    由幂函数在上单调递增可得,从而解得.


    【详解】


    解:幂函数在上单调递增,


    又,





    ,即


    故答案为:.


    【点睛】


    本题考查了幂函数的性质的应用,属于基础题.


    9.(1) f(f(-3))>f(f(3)) (2)见解析(3) x的值为0或1+


    【解析】


    【分析】


    【详解】


    试题分析:(1)根据分段函数的性质,分别代入值求出即可;(2)利用函数图象的画法画图即可;(3)对分类讨论,解方程即可.


    试题解析:(1)∵-3<1∴f(-3)=-2×(-3)+1=7


    ∵7>1∴f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35


    ∵3>1∴f(3)=32-2×3=3


    ∴f(f(3))=3∴f(f(-3))>f(f(3)).


    (2)函数图象如图所示:





    (3)由f(x)=1的函数图象综合判断可知,当x∈(-∞,1)时,得f(x)=-2x+1=1,解得x=0;


    当x∈[1,+∞)时,得f(x)=x2-2x=1,解得x=1+或x=1-(舍去).


    综上可知x的值为0或1+.


    10.(1)(2)


    【解析】


    【分析】


    (1)因为函数是幂函数,求出或,再分别验证是否满足函数在上是增函数;


    (2)由(1)知,根据函数的定义域和单调性解不等式.


    【详解】


    (1),即,则,解得或,


    当时,,


    当时,,


    ∵在上为增函数,∴.


    (2)由(1)得定义域为且在上为增函数,


    ∴,解得:,所以的取值范围为:.


    【点睛】


    本题考查幂函数和根据函数的性质解抽象不等式,意在考查基本概念和基本方法,属于基础题型.














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