人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第19讲 直角三角形 教学案（无答案）

第19讲  直角三角形

【考点总汇】

一、直角三角形的性质

1.直角三角形的两个锐角        。

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的        。

3.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的        。

4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么        。

微拨炉：

二、直角三角形的判定

1.有一个角是        的三角形是直角三角形。

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足        ，那么这个三角形是直角三角形。

微拨炉：

高频考点1、直角三角形的性质

【范例】如图，在Rt△中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于，若，，则的长是        。

得分要领：期望数学岛

直角三角形斜边上中线的作用

1.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决。

2.重要的辅助线——①遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线；②构造直角三角形，凸显斜边上的中线。

【考题回放】

1.如图，在△中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则△的周长为（   ）

A.20             B.18             C.14             D.13

第1题                     第2题                       第3题

2.如图，在Rt△中，，cm，点为的中点，则        cm。

3.如图，某山坡的坡面m，坡角，则山坡的高的长为        m。

高频考点2、勾股定理及逆定理

【范例】如图，Rt△中，，，，将△折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ）

A.            B.             C.4              D.5

得分要领：期望数学岛

解图形折叠问题的思路

1.寻找出折叠前后的不变量（即相等线段，相等角）。       

2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理。

3.利用勾股定理建立方程求解。

【考题回放】

1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ）

A.4，5，6         B.1.5，2，2.5          C.2，3，4         D.1，，3

2.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为        。

高频考点3、用勾股定理解决实际问题

【范例】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，

周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意

是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为

20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰

好到达点处。则问题中葛藤的最短长度是        尺。

得分要领：

立体图形最短线路问题的解法

1.将立体图形展开，转为平面图形问题。

2.根据轴对称的性质，寻找最短路径。

3.利用勾股定理进行计算，得出答案。

【考题回放】

1.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10m高的地方，那么物体所经过的路程为        m。

2.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行        m。

3.为解决停车难的问题，在如图一段长56m的路段开辟停车位，每个车位是长5m、宽2.2m的矩形，矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出        个这样的停车位（）。

【巧思妙解】巧用面积求距离

【例题】在Rt△中，，，，则点到的距离是（   ）

A.          B.           C.          D.

解：选A。如图（同左图），过点作于点。

在Rt△中，由勾股定理，得

。

根据三角形的面积公式，得，

解得。

【实战演练】

1.以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（   ）

A.1，2，3          B.2，3，4          C.3，4，5         D.4，5，5

2.如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，

以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，

则这个点表示的实数是（   ）

A.2.5          B.          C.           D.

3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边cm，cm，现将△折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ）

A.4cm           B.5cm          C.6cm          D.10cm

4.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1m处折断，

树尖恰好碰到地面，经测量m，则树高为（   ）

A.m         B.m          C.m          D.3m

5.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为（   ）

A.7           　B.6       　     C.5      　       D.4

6.如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（   ）

A.90           B.60           C.45          D.30

7.如图所示，△中，于，在下列条件中

①；②；③；

④。基中一定能判定△是直角三角形的共有（   ）

A.3个          B.2个       　   C.1个      　    D.0个

8.如图，△中，，，，求的长。

期望数学岛

9.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm。如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，求所用细线的最短长度。

10.如图，在△中，，，，垂足分别为为中点，与分别交于点，。

（1）线段与相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由。

（2）求证：。

【限时小测】建议用时30分钟。总分50分

一、选择题（每小题3分，共12分）

1.如图是某水库大坝横断面示意图，其中分别表示水库上下底面的水平线，，的长是50m，则水库大坝的高度是（   ）

A.m        B.25m         C. m        D.m

2.在△中，，，高，则△的面积为（   ）

A.84          B.14         C.14或4          D.84或24

3.如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条

线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ）

A.            B.    

C.            D.

4.如图所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点与的距离

为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行

的最短距离是（   ）

A.          B.25          C.          D.35

二、填空题（每小题4分，共12分）

5.如图，在Rt△中，。点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的长为        。

第5题                       第6题                      第7题

6.如图，在四边形中，，且，则的度数是        。

7.如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边的中点重合，若，，则        。

三、解答题（共26分）

8.（12分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得的长等于21m，在上点的同侧取点，使，。

（1）求的长（精确到0.1m，参考数据：，）。

（2）已知本路段对校车限速为40km/h，若测得某辆校车从到用时2s，这辆校车是否超速？说明理由。

【培优训练】

9.（14分）小明和同桌小聪对一道思考题进行了认真的探索。

【思考题】如图，一架2.5m长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么点将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：设点将向外移动m，即，则，。而，在Rt△中，由得方程        ，解方程得        ，        ，∴点将向外移动        m。

（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4m”改为“下滑0.9m”，

那么该题的答案会是0.9m吗？为什么？

【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从处沿墙下滑的距

离与点向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题。