人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第21讲 矩形、菱形、正方形 教学案（无答案）
展开第21讲 矩形、菱形、正方形
【考点总汇】
一、矩形的性质和判定
1.判定：
（1）有一个角是 的平行四边形（定义）。
（2）对角线 的平行四边形。
（3）有三个角是 的四边形。
2.性质：除具有平行四边形的性质外，还有：
（1）矩形的四个角都是 。
（2）矩形的对角线 。
（3）既是 图形，又是轴对称图形。
微拨炉：
1.判定是否是矩形，要看已知条件是四边形还是平行四边形。 |
2.对角线相等的四边形不一定是矩形。 |
二、菱形的性质和判定
1.判定：
（1）有一组邻边 的平行四边形（定义）。
（2）对角线互相 的平行四边形。
（3）四条边都 的四边形。
2.性质：除具有平行四边形的性质外，还有：
（1）菱形的四条边都 。
（2）菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角线平分 。
（3）菱形的面积等于两条对角线乘积的 。
（4）既是 图形，又是轴对称图形。
微拨炉：
1. 对角线垂直的四边形不一定是菱形。 |
2.菱形的两条对角线可将菱形转化成四个全等的直角三角形，而不是等腰三角形。 |
三、正方形的性质和判定
1.判定：
（1）有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形（定义）。
（2）一组邻边 的矩形。
（3）一个角是 的菱形。
（4）对角线 的平行四边形。
2.性质：
（1）正方形的四个角都是 。
（2）正方形的四条边都 。
（3）正方形的两条对角线 且互相 ，每一条对角线平分一组对角。
（4）既是 对称图形，又是轴对称图形。
微拨炉：
1.正方形是特殊的矩形和菱形，它具有矩形、菱形和平行四边形的所有性质。 |
2.正方形的两条对角线分正方形成四个全等的等腰直角三角形。 |
高频考点1、矩形的性质与判定
【范例】如图，四边形的对角线交于点，已知是的中点，，∥，（1）求证：△≌△。
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论。
得分要领：
矩形性质的应用
1.从角上看，矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决。
2.从对角线上看：对角线将矩形分为四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决。
【考题回放】
1.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中
的度数是（ ）
A.30 B.60 C.90 D.120
2.如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的大小为（ ）
A.30 B.60 C.90 D.120
第2题 第3题
3.如图，在矩形中，，，则的长为 。
4.如图，将矩形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕， 。
第4题 第5题
5.如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，若，则矩形的面积为 。
6.如图，是矩形内的任意一点，连接，得到△△△△设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②③若，则；④若，则P点在矩形的对角线上。其中正确的结论的
序号是 。（把所有正确结论的序号都填在横线上）
高频考点2、菱形的性质与判定
【范例】如图，在RT△中，，,将△绕点按顺时针方向旋转度后，得到△，点刚好落在边上。
（1）求的值。
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由。
得分要领：
菱形判定方法的选择
1.若四边形（或可证）为平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直。
2.若相等的边较多（或容易证出）时，可证四条边相等。
【考题回放】
1.如图，已知菱形的边长等于2，，则对角线的长为（ ）
A.1 B. C.2 D.
2.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（ ）
A.10 B.8 C.6 D.5
3.如图，在菱形中，分别在上，且，与交于点，连接。若，则的度数为（ ）
A.28 B.52 C.62 D.72
4.一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为 。
5.如图，矩形的对角线相交于点，∥，∥。
（1）求证：四边形为菱形。
（2）连接与相等吗？请说明理由。
高频考点3、正方形的性质与判定
【范例】如图，正方形中，分别为上的点，且，垂足为点。求证：。
得分要领：
判定一个四边形是正方形的步骤为：（1）先证它是平行四边形；（2）再证有一组邻边相等（或一个角是直角）；（3）最后证它有一个角是直角（或有一组邻边相等）。
【考题回放】
1.如图，正方形的对角线长为，若直线满足：（1）点到直线的距离为，（2）两点到直线的距离相等，则符合题意的直线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，在正方形外侧，作等边三角形，相交于
点，则为（ ）
A.45 B.55 C.60 D.75
3.如图，已知正方形，把边绕点顺时针旋转30到处，连接。写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】如图，菱形的对角线交于点，，，，，垂足分别为。求证：四边形是矩形。
证明：∵四边形是菱形
∴ ……………………①
∵， ∴
同理：，
∴， ……………②
∴四边形是平行四边 …………③
∵， ∴
∴ 即………④
∴□EMFN是矩形 ………⑤
【规避策略】
正确认识图形。几何证明题要充分利用图形中的条件，但不能想当然地人为制造条件。如本题在没有明确两条线段在同一条直线上的前提下，就将两条线段的和当成四边形的对角线，就是人为地制造条件。
【实战演练】
1.如图，矩形的对角线cm，，则的长为（ ）
A.cm B.2cm C.cm D.4cm
2.如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A.∥ B. C. D.
第2题 第3题
3.如图，四边形是正方形，△绕着点旋转90后到达△的位置，连接，△的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
4.如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
第4题 第5题
5.如图，在Rt△中，，，，为斜边上一点，以为边作平行四边形，当 时，平行四边形为菱形。
6.如图，在菱形中，，cm，以为边在菱形的外部作正三角形，连接，则 cm。
第6题 第7题
7.如图，菱形的对角线相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离 。
8.已知菱形的对角线的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 。
9.如图，在菱形中，，点分别在边和上。
（1）如图1，若是的中点，，求证：。
（2）如图2，若，求证：△是等边三角形。
10.在矩形中，cm，cm，将四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形。
（1）证明四边形是矩形。
（2）试计算线段的长度。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图，矩形中，，。过对角线交点作交于，则的长是（ ）
A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4
第1题 第2题
2.如图，小红在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点，则直线即为所求。连接，根据她的作图方法可知，四边形一定是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.不确定
3.如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是（ ）
A.12 B.24 C. D.
第3题 第4题
4.如图，在边长为2的正方形中，为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图所示，将△绕的中点喱针按旋转180得到△，添加一个条件 ，使四边形-为矩形。
第5题 第6题 第7题
6.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数是 。
7.如图，在边长为4cm的正方形中，为上一点，于点，于点，则 cm。
三、解答题（共26分）
8.（12分）如图，在矩形中，分别是的中点，分别是的中点。
（1）求证△≌。
（2）四边形是什么样的特殊四边形？并加以证明你的结论。
【培优训练】
9.（14分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km。现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市。问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母表示安装点。
（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由。
