人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第23讲 锐角三角函数 教学案（无答案）
展开第23讲 锐角三角函数
【考点总汇】
一、锐角三角函数的概念及特殊角的三角函数值
1.锐角三角函数的概念：如图，（1） 。
（2） 。
（3） 。锐角的 都叫做的锐角三角函数。
2.特殊角的三角函数值：
30 | 45 | 60 | |
________ | ________ | ________ | |
________ | ________ | ________ | |
________ | ________ | ________ |
微拨炉：
三角函数的变化规律：正弦、正切值随意角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 |
二、解直角三角形的应用
1.仰角和俯角：如图1，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线 的叫做仰角，在水平线 的叫做俯角。
图1 图2 图3
2.坡度（坡比）和坡角：如图2，通常把坡面的铅直高度和 之比叫做坡度（或叫做坡比），用字母 表示，即 ；坡面与 的夹角叫做坡角，记作。所以 。
3.方位角：指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方位角。如图：的方位角为 角；
的方位角为 角。
微拨炉：
合理构造直角三角形，利用解直角三角形的知识是解决此类问题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用。 |
高频考点1、锐角三角函数的概念
【范例】如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点都
在格点上，则的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
得分要领：
1.求锐角三角函数值时必须把角转化到直角三角形中解决，可以通过相等的角转化或通过作辅助线构造直角三角形。
2.解题时要找准角的对边、邻边和所在直角三角形的斜边。
【考题回放】
1.在RT△中，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在□中，对角线相交成的锐角为，若，，则□的面积是（ ）
A. B. C. D.
第2题 第3题 第4题
3.如图，在四边形中，，，，，点分别在边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.网格中的每个小正方形的边长都是1，△每个顶点都在网格的交点处，则 。
5.如图，已知RT△中，，是斜边上的中线，过点作，分别与相交于点，。
（1）求的值。
（2）如果，求的值。
高频考点2、特殊角三角函数的计算
【范例】计算：。
得分要领：
1.熟练、正确地记忆特殊角的三角函数值是解决这类问题的关键。
2.此类问题常与幂的运算相结合，需要灵活运用学过的其他知识点以及运算律。
【考题回放】
1.△中，，都是锐角，若，，则 。
2.计算：。
3.计算：。
4.计算：。
高频考点3、解直角三角形及其应用
【范例】如图，在同一平面内，两条平行高速公路和间有一条“”型道路连通，其中段与高速公路成30，长为20km，段与段都垂直，长为10km，段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）。
得分要领：
1.审题，通过图形，弄清已知和未知。
2.通过作辅助线构造直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题。
3.根据直角三角形元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形。
【考题回放】
1.如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度
与水平宽度之比），坝高m，则坡面的长度是（ ）
A.9m B.6m C.m D.m
2.小明去爬山，在山脚看山顶角度为30，小明在坡比为5：12的
山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60，则山高为（ ）
A.米 B.米
C. 米 D. 米
3.如图，防洪大堤的横截面是梯形，其中∥，坡角，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角。若原坡长m，求改造后的坡长。（结果保留根号）
4.海中两个灯塔，其中位于的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点处测得灯塔在西北向上，灯塔在北偏东30方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点，这时测得灯塔在北偏西方向上，求灯塔间的距离。（计算结果用根号表示，不取近似值）
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形的过街天桥，若天桥斜坡的坡角为35，斜坡的坡度为，上底m，天桥高度m，求天桥下底的长度？（结果精确到0.1m，参考数据，，）
解：过作于点，则四边形是矩形。
∴m，m ………………①
在RT△中，，
∴ ∴（m）……②
∵斜坡的坡度为
∴ ∴（m） …………③
∴（m）
答：天桥下底的长度约为21.3m。 ……………………④
【规避策略】
正确理解测量术语
直角三角形的应用问题，常涉及坡度（或坡比）、仰角、俯角、方位角等专业术语。正确理解这些术语的含义，对求出正确答案起着至关重要的作用。
【实战演练】
1.在△中，都是锐角，且，，则△的形状是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
2.已知直角三角形中斜边的长为，，则直角边的长是（ ）
A. B. C. D.
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，，的长是8cm，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A.m B.m C.m D.m
4.计算： 。
5.如图，“赵爽弦图”中如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，
则直角三角形中较小的锐角的正切值为 。
6.如图，在菱形中，，垂足是，，，则菱形的面积是 。
第6题 第7题
7.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一。上周末，四位同学尝试用自己所学的知识检测车速。如图，观测点设在处，离迎宾大道（60千米/小时的限制速度）的距离（）为30米。这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为8秒，。（计算时距离精确到1米，参考数据：，，，，60千米/小时米/秒）请判断此车是否超速 。
8.已知，如图，斜坡的长为13米，高为5米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为76，求古塔的高度（结果精确到1米，参考数据：，，）。
9.某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾斜角由45减至30，已知原台阶坡面的长为5m，（所在地面为水平面）。（结果精确到0.1m，参考数据：，，）
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图，△的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2.已知锐角满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线∥∥∥，相邻的两条平行直线间的距离均为，
矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
4.如图，从热气球处测得地面两点的俯角分别为30，45，如图此时热气球处的高度为100m，点在同一直线上，则两点的距离是（ ）
A.m B.m
C. m D. m
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.在Rt△中，，，现给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）。
6.如图，在△中，，，，则 。
第6题 第7题
7.如图，在小山的东侧点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75角的方向飞行，25分钟后到达处，此时热气球上的人测得小山西侧点的俯角为30，则小山东西两侧两点间的距离为 米。
三、解答题（共26分）
8.（12分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图。已知踏板长为1.6m，与地面的夹角为12，支架长为0.8m，为80，求跑步机手柄的一端的高度（精确到0.1）。（参考数据：，，）
【培优训练】
9.（14分）如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子；而当光线与地面夹角是45时，教学楼顶在地面上的影子与墙角有13米的距离（在一条直线上）。
（1）求教学楼的高度。
（2）学校要在之间挂一些彩旗，请你求出之间的距离（结果保留整数）。
（参考数据：，，）
