数学5 三角形的内角和定理教案设计

这是一份数学5 三角形的内角和定理教案设计，共22页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。



第17讲


讲




















三角形内角和定理






































概 述














【教学建议】


本节课经历证明三角形内角和定理及其推论的过程，发展推理过程，使学生熟悉辅助线的添加方法；通过多种方法证明三角形内角和定理，提高学生一题多解的能力．


【知识导图】

















教学过程











一、导入








我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?





二、知识讲解








考点1 生活中的立体图形





考点1 三角形内角和定理及证明








一、三角形内角和定理的证明


回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?


1.在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码.


2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下来拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.





3.剪下∠A,按右下图所示拼在一起,AB∥CM,从而可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.





4.把∠2和∠3剪下按下图所示拼在一起,用量角器量一量∠MAN的度数,会得到什么结果?





二、探索问题


如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?





已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.


证明:


过点C作CE∥AB,并作线段BC的延长线CD,则∠A=∠ACE,∠B=∠DCE.


又∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°,


∴∠A+∠B+∠ACB=180°.


即:三角形的内角和等于180°.





考点2 三角形内角和定理的推论








在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．


① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三：


(1)顶点在三角形的一个顶点上．


(2)一条边是三角形的一边．


(3)另一条边是三角形某条边的延长线．


② 两个推论及其应用


由学生探讨三角形外角的性质：


问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？








问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？





由学生归纳得出：


推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．


推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．


例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．


求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°


分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．


证明：(略)．


例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数．


解：(略)．





三 、例题精析








类型一三角形内角和定理


一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）


A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形


【解析】D


【总结与反思】本题主要考查三角形的内角和定理.


类型二 三角形内角和定理的推论


如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______度。





【解析】270


【总结与反思】本题主要考查三角形的内角和定理的推论.


类型三 三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合


如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=








例题1





【解析】150


【总结与反思】综合考查三角形的内、外角和.








四 、课堂运用








基础














1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）


A．30° B．35° C．40° D．50°








2.如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置.若∠1＝55°，则∠2的度数为( )


A.105°B.110°C.115°D.120°





3.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）


A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2（∠1+∠2）





答案与解析


1.【答案】C


【解析】本题主要考查三角形的内角和定理.


2. 【答案】C


【解析】本题主要考查三角形的内角和定理的推论.


3.【答案】∠A= (∠1+∠2).


【解析】设∠AED=x°，∠ADE=y°，则∠1=(180−2x)°①，


∠2=(180−2y)°②，


由①得,x=(90− ∠1)，


由②得,y=(90− ∠2).


∠A=180−x−y=180−(90− ∠1)−(90−∠2)= (∠1+∠2)°


∴结论为：∠A= (∠1+∠2).





巩固








如图,点O是△ABC的两条角平分线的交点,若∠BOC=118°，则∠A的大小是______.





2.如图，∥，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是 .





3.如图,把△ABC绕点C顺时针旋转25°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°，则∠A=______.





答案与解析


1.【答案】56


【解析】本题主要考查三角形内角和定理.





∵△BOC中,∠BOC=118°，


∴∠1+∠2=180°−118°=62°.


∵BO和CO是△ABC的角平分线，


∴∠ABC+∠ACB=2(∠1+∠2)=2×62°=124°


在△ABC中，


∵∠ABC+∠ACB=124∘，


∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−124°=56°


故答案为：56°.


2. 【答案】65


【解析】本题主要考查三角形内角和定理的推论.


3.【答案】65°


【解析】∵△ABC绕点C顺时针旋转25°,得到△A′B′C，


∴∠ACA′=25°，


又∵∠A′DC=90°，


∴∠A′=90°−25°=65°，


∴∠A=65°.


故答案为65°.














拔高








1.如图,A点在B处的北偏东40°方向,C点在B处的北偏东85°方向,A点在C处的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度数。





2.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是 ．





3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则∠EDB=______.





答案与解析


1.【答案】 85°


【解析】


∵∠DBA=40°,∠DBC=85°,DB∥CE，


∴∠ECB=180°−85°=95°,∠ABC=85°−40°=45°，


∵∠ECA=45°，


∴∠BCA=95°−45°=50°，


∴∠BAC=180°−50°−45°=85°。


2. 【答案】60


【解析】本题主要考查三角形内角和定理的推论.


3.【答案】10°


【解析】∵∠ACB=90°,∠A=50°，


∴∠B=90°−∠A=90°−50°=40°


∵△CDE是△CDA翻折得到，


∴∠CED=∠A=50°，


在△BDE中，∠CED=∠B+∠EDB，


即50°=40°+∠EDB，


∴∠EDB=10°.


故答案为：10°





五 、课堂小结











本节讲了2个重要内容：


1.三角形的内角和


2．三角形内角和的推论.





六 、课后作业

















基础








1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（ ）


A. 35° B. 45°C. 55°D. 65°














2.如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（ ）


A.17° B.62° C.63° D.73°











3.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于 .





答案与解析


1. 【答案】C


【解析】本题主要考查三角形的内角和.


∵AB∥DE，∠BCE=35°，


∴∠B=∠BCE=35°(两直线平行,内错角相等)，


又∵∠ACB=90°，


∴∠A=90°−35°=55°(在直角三角形中,两个锐角互余).


故选C.


2. 【答案】D


【解析】本题主要考查三角形的外角和


3. 【答案】50


【解析】本题主要考查三角形的内角和.








巩固








1.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（ ）


A.60°B.50°C.40°D.30°





2.我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．请利用这条定理解决下列问题：如图，∠1=∠2=∠3．


（1）试说明∠BAC=∠DEF．


（2）若∠BAC=70°，∠DFE=50°，求∠ABC的度数．














3.如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F.





答案与解析





1.【答案】D


【解析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质.


2. 【答案】


(1)证明：在△ACE中，∠DEF=∠3+∠CAE，


∵∠1=∠3，


∴∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC，


即∠BAC=∠DEF；


(2)在△BCF中，∠DFE=∠2+∠BCF，


∵∠2=∠3，


∴∠DFE=∠3+∠BCF，


即∠DFE=∠ACB，


∵∠BAC=70°,∠DFE=50°，


∴在△ABC中,∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=180°−70°−50°=60°





【解析】综合考查三角形的内、外角和的证明.


3. 【答案】证明：∵∠BAP+∠APD=180°(已知)，


∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).


∴∠BAP=∠APC(两直线平行,内错角相等).


又∵∠1=∠2(已知)，


∴∠FPA=∠EAP，


∴AE∥PF(内错角相等,两直线平行).


∴∠E=∠F(两直线平行,内错角相等).


【解析】本题综合考查平行线的判定及性质的证明.





拔高








1．如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=46∘,∠1=52∘，则∠2=______度。








2.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．





（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；


（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．


3.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题。


探究1:如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：


∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线


∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB


∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)


又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A


∴∠1+∠2=(180°−∠A)=90°−∠A，


∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)=180°−(90°−∠A)


=90°+∠A


探究2:如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由。


探究3:如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系?(只写结论,不需证明)


结论：______.











答案与解析


1. 【答案】98°


【解析】


∵∠DEC是△ADE的外角,∠A=46°,∠1=52°，


∴∠DEC=∠A+∠1=46°+52°=98°


∵DE∥BC，


∴∠2=∠DEC=98°


2. 【答案】





(1)证明：∵点D是AB中点，AC=BC，


∠ACB=90°，


∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，


∴∠CAD=∠CBD=45°，


∴∠CAE=∠BCG，


又∵BF⊥CE，


∴∠CBG+∠BCF=90°，


又∵∠ACE+∠BCF=90°，


∴∠ACE=∠CBG，


在△AEC和△CGB中，


∠CAE=∠BCG AC=BC ∠ACE=∠CBG


∴△AEC≌△CGB(ASA)，


∴AE=CG，


(2)BE=CM.


证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，


∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，


∴∠CMA=∠BEC，


又∵∠ACM=∠CBE=45°，


在△BCE和△CAM中，∠BEC=∠CMA ∠ACM=∠CBE BC=AC，


∴△BCE≌△CAM(AAS)，


∴BE=CM.


【解析】综合考查几何证明问题类比探究.


3. 【答案】





(1)探究2结论：∠BOC=∠A，


理由如下：


∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，


∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，


又∵∠ACD是△ABC的一外角，


∴∠ACD=∠A+∠ABC，


∴∠2= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠1，


∵∠2是△BOC的一外角，


∴∠BOC=∠2−∠1=∠A+∠1−∠1=∠A，





(2)探究3:∠OBC= (∠A+∠ACB)，∠OCB= (∠A+∠ABC)，


∠BOC=180°−∠0BC−∠OCB，=180°− (∠A+∠ACB)− (∠A+∠ABC)，=180°−∠A− (∠A+∠ABC+∠ACB)，


结论∠BOC=90°−∠A.


【解析】综合考查几何证明问题类比探究.





七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形内角和定理


三角形内角和定理的推论


三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合


三角形内角和定理及推论的综合及探究题
教学目标
1.经历实践活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理.


2.能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题.


3.帮助学生树立几何知识源于客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.
教学重点
三角形的内角和定理.
教学难点
三角形的内角和定理推理的过程.