初中数学北师大版八年级下册2 直角三角形教案及反思

这是一份初中数学北师大版八年级下册2 直角三角形教案及反思，共25页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第1讲


讲














等腰三角形与直角三角形


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中考题型进行拓展。





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。


2. 结合三角形全等的几何动点。


3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。








二、知识讲解








知识点1 等腰三角形判定与性质








1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：


（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；


（2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；


（3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；


（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；


（5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；


在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：


（1）（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；


（2）回忆全等三角形的性质。


2.等腰三角形两个底角的平分线相等；


等腰三角形腰上的高相等；


等腰三角形腰上的中线相等．


通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。


问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？


问题2.我们是如何证明上述定理的？


问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？


3.顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；


底角是60°的等腰三角形是等边三角形；


三个角都相等的三角形是等边三角形；


三条边都相等的三角形是等边三角形。








知识点2 直角三角形判定与性质





1.定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．


这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．


2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半





三、例题精析








例题1





【题干】如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ ）





A．20° B．30° C．40° D．50°


【答案】A．


【解析】试题分析：∵AD=AE，BE=CD，∴△ABE和△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．∵∠1=∠2=110°，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠DAE=180°﹣2×70°=40°．∵∠1=∠2=110°，∠B=∠C，∴∠BAD=∠EAC．∵∠BAC=80°，∴∠BAD=∠EAC=（∠BAC﹣∠DAE）÷2=20°．故选A．








例题2





【题干】（2015春•龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．





【答案】见解析


【解析】证明：∵在△BDC 中，BC=DE，


∴∠BDC=∠BCD．


∵∠DEF=30°，


∴∠BDC=∠BCD=75°，


∵∠ACB=45°，


∴∠DOC=30°+45°=75°．


∴∠DOC=∠BDC，


∴△CDO是等腰三角形．





例题3





【题干】（2007春•南阳期末）如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．








【答案】见解析


【解析】解：∵△ADC和△BDE是等腰三角形且AD⊥BC


∴△ADC和△BDE均为等腰直角三角形（2分）


∴AD=DC，BD=ED


∴△ADB≌△CDE（SAS）（5分）


∴AB=CE=5cm（6分）．








例题4





【题干】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点


（1）求证：MN⊥AC；


（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．








【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，


∴AM=BD，CM=BD，


∵N是AC的中点，


∴MN⊥AC；


（2）解：∵M是BD的中点，


∴MD=BD，


∴AM=DM，


∴∠AMD=180°﹣2∠ADM，


同理∠CMD=180°﹣2∠CDM，


∴∠AMC=∠AMD+∠CMD=180°﹣2∠ADM+180°﹣2∠CDM=120°，


∵AM=DM，


∴∠1=∠2=30°．











四 、课堂运用








基础





1. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）


A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°


【答案】C．


【解析】试题分析：设两内角的度数为x、4x；


当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；


当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；


因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选C．


2.（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，


求证：BE=CF．





【答案】见解析


【解析】∵AD是∠BAC的平分线，


∴∠BAD=∠CAD，


∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，


∴∠AED=∠AFD=90°，


在△AED和△AFD中，


∵





∴△AED≌△AFD（AAS），


∴DE=DF，


∵AD是BC边的中线，


∴BD=CD，


在Rt△BDE和Rt△CDF中，





∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），


∴BE=CF


3.（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．


（1）求证：AE=CD；


（2）若AC=12cm，求BD的长．





【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，


∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．


∴∠D=∠AEC．


又∵∠DBC=∠ECA=90°，


且BC=CA，


在△DBC和△ECA中，


∵


∴△DBC≌△ECA（AAS）．


∴AE=CD．





（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，


在Rt△CDB和Rt△AEC中


，


∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），


∴BD=CE，


∵AE是BC边上的中线，


∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．


∴BD=6cm．











巩固





1.（2014•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为 ．








【答案】．


【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F．


∵AD平分∠BAC交BC于点D，CD=1，


∴FD=CD=1；


在Rt△BDF中，FD=1，BD=2，


∴∠B=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半）；


∴∠1=∠2=30°，


∴在Rt△AFD中，AD=2FD=2；


∴在Rt△AED中，AE=，


∴MD=AE=．


故答案为：．








2.（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．





【答案】见解析


【解析】在RT△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°


在RT△CBE中，∠CBE+∠C=90°


∴∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠C


∵AB=AC


∴∠ABD=∠C


∴∠BAD=∠CBE





3.在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是 度．








【答案】见解析


【解析】解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，


∴∠BDC=∠AEB=90°


∴∠ABE=90°﹣50°=40°


∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．


故答案为：130°．





4.如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．





（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；


（2）求证：BM=EM．


【答案】见解析


【解析】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．


【解析】


试题分析：（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图；


（2）要证BM=EM可证BD=DE，由三线合一得出BM=EM．


试题解析：（1）解：作图如下；





（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴BD平分∠ABC（三线合一），∴∠ABC=2∠DBE，∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE，又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，∴∠ACB=2∠E，又∵∠ABC=∠ACB，∴2∠DBC=2∠E，∴∠DBC=∠E，∴BD=DE，又∵DM⊥BE，∴BM=EM．








拔高





1.（2011秋•西城区校级期中）如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．


求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．








【答案】见解析


【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，


∴∠FBE=∠CBE．


∵CE⊥BD，


∴∠BEF=∠BEC=90°，


又∵BE=BE，


∴△BEF≌△BEC，


∴BF=BC，即△BCF等腰三角形．





（2）∵BF=BC，CE⊥BD，


∴CF=2CE=2EF，


∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠AFE=90°，


∴∠ADB=∠BFE，


又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，


∴△ABD≌△ACF，


∴BD=CF=2CE．





2.（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，判断BE与CD的大小关系为：BE_____CD．（不需说明理由）





（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作等腰△ABD和等腰△ACE，且顶角∠BAD＝∠CAE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？请说明理由；


（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离．已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长．








【答案】（1）=；（2）BE=CD，理由见解析（3）BE= 100米．


【解析】试题分析：（1）利用条件，根据SAS证明△CAD≌△EAB即可得出结论；（2）利用条件，根据SAS证明△CAD≌△EAB即可得出结论；（3）根据（1）（2）中的结论，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，


然后可得BD=100米，连接CD，证出BE=CD，∠DBC=90°，然后在Rt△DBC中，利用勾股定理可求出BE=CD=100米．


试题解析：（1）答案是：=；


（2）BE=CD，理由同（1）


∵△ABD和△ACE均为等腰三角形，∠BAD＝∠CAE，


∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE，


∴∠CAD=∠EAB，


在△CAD和△EAB中，


△CAD≌△EAB（SAS），


∴BE=CD；


（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，


则AD=AB=100米，∠ABD=45°，


∴BD=100米，


连接CD，则由（2）可得BE=CD，


∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，


在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，


根据勾股定理得：CD==100米，


则BE=CD=100米．











课堂小结





等腰三角形的性质与判定：


等腰三角形三线合一


（2）等腰三角形两个底角的平分线相等；


等腰三角形腰上的高相等；


等腰三角形腰上的中线相等．


（3）对称性


（4）等边对等角，等角对等边


（5）等边三角形的性质与判定


2.直角三角形的性质与判定：


（1）定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．


这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．


（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半














扩展延伸








基础





1.（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形．








【答案】见解析


【解析】证明：∵BD=CD，


∴∠DBC=∠DCB，


∵∠1=∠2，


∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB，


即∠ABC=∠ACB，


∴AB=AC，


即△ABC是等腰三角形．





2. 如图，在中，，°，，为中点．





（1）求的度数；


（2）求证：是等边三角形





【答案】（1）∠CAE=90°；（2）见解析


【解析】证明：（1）∵，°，∴∠B=∠C=30°，又，∴∠AED=2∠B=60°，∴∠CAE=90°


（2）证明：∵∠CAE=90°，D是EC的中点 ∴AD=EC=ED=DC


∵∠C=30°∴∠AEC=60°∴是等边三角形





3. 如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．











【答案】见解析


【解析】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，


∵PC∥OA，


∴∠AOP=∠CPO，


∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，


又∵PC=4，


∴PE=PC=×4=2，


∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，


∴PD=PE=2．











巩固





1.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．





（1）判断△CDE的形状，并说明理由．


（2）若AO=12，求OE的长．





【答案】（1）△CDE是等边三角形，理由见解析；（2）6．


【解析】（1）△CDE是等边三角形，理由如下，





（2）





2.（2010春•福安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．


（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；


（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；


（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．








【答案】见解析


【解析】解：（1）∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°；


从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；


故答案为：25°；小．





（2）当△ABD≌△DCE时．


DC=AB，


∵AB=2，


∴DC=2，


∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；





（3）∵AB=AC，


∴∠B=∠C=40°，


①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，


∵∠AED＞∠C，


∴此时不符合；


②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°﹣40°）=70°，


∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，


∴∠BAD=100°﹣70°=30°；


∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°；


③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，


∴∠BAD=100°﹣40°=60°，


∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°；


∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．





3.（2009春•东山县校级期末）△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．


①请你写出图中所有的等腰三角形；


②若BC=10，求AB+AE的长．








【答案】见解析


【解析】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，


∴∠ABC=∠8=45°，


又∵DE⊥BC，


∴∠EDC=90°，∠7=∠8=45°，DE=DC，


故△DCE为等腰三角形；


∵BE是∠ABC的角平分线，∠BAC=∠ACB=90°，


∴AE=DE，


故△ADE为等腰三角形；


∵BE是∠ABC的角平分线，


∴∠1=∠2，


又∵∠BAE=∠EDB=90°，BE=BE，


∴△ABE≌△DBF，∠3=∠4，AB=BD，


故△ABD为等腰三角形．


故图中所有的等腰三角形为△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共四个；





②由①可知△AED为等腰三角形，△ABD为等腰三角形，△CDE为等腰三角形．


故AB=BD，AE=DE=CD，


∴AB+AE=BD+CD=BC=10．











拔高





1.（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求证：AD=BE．





（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．


①求证：2CM+BE=AE；


②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．








【答案】见解析


【解析】试题分析：（1）由全等三角形的判定方法，判断出△CAD≌△CBE，即可判断出AD=BE．


（2）①由△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，得到CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，从而有∠ACD=∠BCE，得到△ACD≌△BCE，有AD=BE，由CD=CE，CM⊥DE，得到DM=ME．由∠DCE=90°，得到DM=ME=CM，故DE=2CM，从而得到结论；


②不成立．2CM-BE=AE．


试题解析：（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD =∠BCE，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，在△CAD和△CBE中，∵AC=BC， ∠ACD =∠BCE ，CD=CE，∴△CAD≌△CBE，∴AD=BE．


（2）①证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM，∵点A，D，E在同一直线上，∴DE+AD=AE，∴2CM+BE=AE；


②不成立．2CM-BE=AE．





2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．


（1）求证：MN⊥BD；


（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．








【答案】见解析


【解析】（1）证明：连接BM、DM．


∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、想BD的中点，


∴，


∵N是BD的中点，


∴MN是BD的垂直平分线，


∴MN⊥BD．





（2）解：∵∠BCA=15°，，


∴∠BCA=∠CBM=15°，


∴∠BMA=30°，


∵OB=OM，


∴∠OBM=∠BMA=30°，


∵AC=10，，


∴BM=5，


在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，


∴，


答：MN的长是2.5．














教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.等腰三角形判定与性质


2.直角三角形判定与性质
教学目标
1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．


2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
教学重点
特殊三角形的灵活应用
教学难点
特殊三角形的灵活应用.
∠BAD=∠CAD

∠AED=AFD=90°

AD=AD


BD=CD

DE=DF