数学八年级下册6 一元一次不等式组教学设计

这是一份数学八年级下册6 一元一次不等式组教学设计，共21页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第5讲


讲














不等式（组）的应用


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能利用不等式组解决实际问题。不等式的应用主要是生活中的实际问题，这一块是中考的考点，需要老师们重点给学生进行分析讲解。


学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 列不等式组解决实际问题


2. 不等式与一次函数的综合应用





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关不等式组的应用，难点在于分析题意，根据题意列出不等式组，在中考中常见结合一次函数求最值的问题，尤其是方案问题和利润问题尤为常考。








二、知识讲解








知识点1 利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.








列不等式（组）解应用题的步骤:


(1)审题,找出量与量之间的不等关系;


(2)设未知数;


(3)列出不等式;


(4)解不等式（组）;


(5)根据实际情况,写出答案.





知识点2 利用不等式组解决实际问题





列不等式组解决实际问题的关键在于对不等关系的符号表达，学生在解决问题的过程中，可以结合等量关系的符号表达来进行





三、例题精析








例题1





【题干】水果店以每千克4.5元进了一批香蕉,销售中估计有10％的香蕉正常损耗.水果店老板把售


价至少定为多少,才能避免亏本?





【答案】水果店老板把售价至少定为5元,才能避免亏本.





【解析】：解: 设香蕉售价定为每千克x元时不亏本


由题意得（1-10％）x≥4.5


解得: x≥5


答: 水果店老板把售价至少定为5元,才能避免亏本.








例题2





【题干】每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的新机器可选，其中每台的价格、工作量如下表．


经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多2万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器少6万元．


（1）求a、b的值；


（2）若该公司购买新机器的资金不能超过110万元，请问该公司有几种购买方案？


（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于2040吨，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．





【答案】（1）；（2）有6种购买方案；（3）最省钱的购买方案为，应选购甲型设备4台，乙型设备6台．


【解析】：解：（1）由题意得：，


∴；


（2）设购买节省能源的新设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，


则：12x+10（10﹣x）≤110，


∴x≤5，


∵x取非负整数∴x=0，1，2，3，4，5，


∴有6种购买方案．


（3）由题意：240x+180（10﹣x）≥2040，


∴x≥4∴x为4或5．


当x=4时，购买资金为：12×4+10×6=108（万元），


当x=5时，购买资金为：12×5+10×5=110（万元），


∴最省钱的购买方案为，应选购甲型设备4台，乙型设备6台．








例题3





【题干】巍山镇中为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．


（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？


（2）根据巍山镇中的实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不低于5600但不超过5720元，可以有哪几种购买方案？








【答案】（1）50元， 80元；（2）四种方案：方案1：购买：27个篮球，69个足球，方案2：购买：28个篮球，68个足球，方案3：购买：29个篮球，67个足球，方案4：购买：30个篮球，66个足球．


【解析】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，


根据题意得：，


解得，


则购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；





（2）设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球，根据题意得：


，


解得：；


∵a是整数，


∴a可以取27，28，29，30，


∴共有四种方案：


方案1：购买：27个篮球，69个足球，


方案2：购买：28个篮球，68个足球，


方案3：购买：29个篮球，67个足球，


方案4：购买：30个篮球，66个足球．

















四 、课堂运用








基础





1. 某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5种和B种商品4件需300元，购进A种商品6件和B种商品8件需440元．


（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？


（2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利超过344元，则至少购进多少件A商品？





【答案】（1）A种进价为40元，B种进价为25元．（2）至少购进A种商品22件．


【解析】（1）设A种进价为x元，B种进价为y元．由题意，得


，解得：


答：A种进价为40元，B种进价为25元．


（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（50﹣a）件．由题意，得


8a+6（50﹣a）≥344，解得：a≥22


答：至少购进A种商品22件．





2.在实施防污减排战略之际，我市计划对A、B两类化工厂的排污设备进行改造，经预算，改造一个A类工厂和两个B类工厂共需320万元，改造两个A类工厂和一个B类化工厂黄需220万元．


（1）改造一个A类化工厂和一个B类化工厂各需多少万元；


（2）我市计划改造A、B两类化工厂共10个，改造资金一部分由工厂承担，一部分由市政府补贴，每个A类化工厂可投入自身改造资金20万元，每个B类化工厂可投入自身改造资金30万元，若市财政补贴的资金不超过600万元，那么至少改造几个A类化工厂？





【答案】(1)改造一个A类化工厂需资金40万元，改造一个B类化工厂需资金140万元．(2)至少改造6个A类化工厂．





【解析】解：（1）设改造一个A类化工厂需资金x万元，改造一个B类化工厂需资金y万元，


根据题意得：，


解得：．


答：改造一个A类化工厂需资金40万元，改造一个B类化工厂需资金140万元．


（2）设可改造a个A类化工厂，则B类化工厂有（10﹣a）个可改造．


根据题意得：a（40﹣20）+（10﹣a）（140﹣30）≤600，


解得：a≥．


答：至少改造6个A类化工厂．











巩固





1.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：


销售时段 销售数量 销售收入


A种型号 B种型号 销售收入


第一周 3台 5台 1800元


第二周 4台 10台 3100元


（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）


（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；


（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？








【答案】A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；10台.


【解析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，


依题意得：， 解得：，


答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；


（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．


依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400， 解得：a≤10．


答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．








2.“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．


（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？


（2） 预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？





【答案】（1）购买每辆A型公交车需100万元，购买每辆B型公交需150万元；（2）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆的购车方案的总费用最少，最少总费用是1100万元．





【解析】（1）设购买每辆A型公交车需x万元，


购买每辆B型公交需y万元


，


解得


（2）设购买辆A型公交车，则购买（10-）辆B型公交车，依题意列不等式组得，





解得


因为取整数，所以=6，7，8


有三种方案：


(一)购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；


(二)购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；


（三）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆


因A型公交车较便宜，故购买A型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案


最少费用为：8×100+150×2=1100（万元）


答：（1）购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元


（2）该公司有3种购车方案，第3种购车方案的总费用最少，最少总费用是1100万元．








拔高





1.我县某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．


（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？


（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？


（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？








【答案】（1）9万元；（2）5种方案；（3）a=0.5，方案一对公司更有利．





【解析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元．根据题意得：


，


解得：x=9，


经检验知，x=9是原方程的解．


所以今年5月份A款汽车每辆售价9万元．


（2）设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进（15﹣y）辆．根据题意得：





解得：6≤y≤10，


所以有5种方案：


方案一：A款汽车购进6辆；B款汽车购进9辆；


方案二：A款汽车购进7辆；B款汽车购进8辆；


方案三：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆；


方案四：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆；


方案五：A款汽车购进10辆；B款汽车购进5辆．


（3）设利润为W则：W=（8﹣6）×（15﹣y）﹣a（15﹣y）+（9﹣7.5）y


=30﹣2y﹣a（15﹣y）+1.5y


=30﹣a（15﹣y）﹣0.5y


方案一：W=30﹣a（15﹣6）﹣0.5×6=30﹣9a﹣3=27﹣9a


方案二：W=30﹣a（15﹣7）﹣0.5×7=30﹣8a﹣3.5=26.5﹣8a


方案三：W=30﹣a（15﹣8）﹣0.5×8=30﹣7a﹣4=26﹣7a


方案四：W=30﹣a（15﹣9）﹣0.5×9=30﹣6a﹣4.5=25.5﹣6a


方案五：W=30﹣a（15﹣10）﹣0.5×10=30﹣5a﹣5=25﹣5a


由27﹣9a=26.5﹣8a 得a=0.5


方案一对公司更有利．








2.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．


（1）求运往两地的数量各是多少立方米？


（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？


（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：


在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？





【答案】见解析


【解析】：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x-10=140，


解得：x=50，


所以2x-10=90，


答：总共运往D地90立方米，运往E地50立方米。


（2）由题意得：，


解得：20＜a≤22，


因为a是整数，所以a=21或22，


所以有如下两种方案：


第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；


第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；


（3）第一种方案共需要费用：22×21+20×29+20×30+10×22+39×20+11×21=2873（元），


第二种方案共需费用：22×22+28×20+20×30+10×22+38×20 +12×21=2876（元），


所以，第一种方案的总费用最少。











课堂小结





列不等式（组）解应用题的步骤:


(1)审题,找出量与量之间的不等关系;


(2)设未知数;


(3)列出不等式;


(4)解不等式（组）;


(5)根据实际情况,写出答案.














扩展延伸








基础





1.商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有27元钱，最多可以购买该商品多少件？





【答案】10件


【解析】设可购买该商品x件。


∵5×3＜27


∴购买的商品超过5件


依题意，可列不等式








答：最多可购买10件








2. 某单位要制作一批宣传资料，找到甲、乙两家制作公司，两家制作公司的收费方式分别如下．


甲公司：设计费为500元每份材料制造费2元；


乙公司：设计费为100元每份材料制造费3元．


（注：所需要的费用=设计费+材料制作费）


（1）如何制作宣传资料800份，请分别计算甲、乙两公司所需要的费用；


（2）制作宣传资料的份数在什么范围时，选择乙公司比较划算；


（3）若制作m份宣传资料，到甲公司所需要的费用为n元，若同样制作m份宣传资料，到乙公司所需要的费用比到甲公司少40元，求m，n的值．





【答案】甲：2100元、乙：2500元；小于400份；m=360、n=1220元.


【解析】（1）甲公司所需要的费用：500+2×800=2100（元），


乙公司所需要的费用：100+3×800=2500（元）；


（2）设制作宣传材料数为x份，


甲公司所需要的费用：500+2x，乙公司所需要的费用：100+3x，


100+3x＜500+2x，解得：x＜400．


答：制作宣传资料的份数小于400份，选择乙公司比较划算；


（3）若制作m份宣传资料，根据题意得：100+3m+40=500+2m， 解得：m=360．


若制作m份宣传资料，到甲公司所需要的费用为n=500+2m=500+720=1220（元）．








3.某糕饼店主贷款2．2万元购进一台机器，生产蛋黄酥．已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用的和是售价的10%．若每个月能生产并销售2000个蛋黄酥．


（1）问每个月所获得利润为多少元？


（2）问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？





【答案】（1）4400；（2）5．


【解析】解：（1）售价为：2000×8=16000（元），


则应付的税款和其他费用为：16000×10%=1600（元），


利润=16000-2000×5-1600=4400（元），


答：每个月所获得利润为4400元；


设x个月后能赚回这台机器的贷款，


由题意得，44400x≥22000，


解得x≥5．


答：至少5个月能赚回这台机器的贷款．











巩固





1.某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．


（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？


（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．








【答案】（1）榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；


（2）有3种购买方案：方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．


【解析】（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，


根据题意得，，解得，


答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；


（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，


根据题意得，，解得：58≤a≤60，


∵a只能取正整数，


∴a=58、59、60，


因此有3种购买方案：


方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，


方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，


方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．





2.某校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．


（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（4分）


（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．（4分）








【答案】（1）10元、15元；（2），；当，最小值W=1125．


【解析】（1）设A、B两种奖品单价分别为元、元，由题意，得


，解得：．


答：A、B两种奖品单价分别为10元、15元．


由题意，得


．


由，解得：．


由一次函数可知，随增大而减小．


当时，W最小，最小为（元）．





3.在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3．5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2．5万元．


（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？


（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．








【答案】（1）每台电脑0．5万元，每台电子白板1．5万元；（2）有三种购买方案，方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，方案3：需购进电脑17台，则购进电子白板13台．选择方案3最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱．


【解析】（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，解得：，


答：每台电脑0．5万元，每台电子白板1．5万元；


（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据题意得：，解得：15≤a≤17，∵a只能取整数，∴a=15，16，17，∴有三种购买方案，方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，方案3：需购进电脑17台，则购进电子白板13台．方案1：15×0．5+1．5×15=30（万元），方案2：16×0．5+1．5×14=29（万元），方案3：17×0．5+1．5×13=28（万元），∵28＜29＜30，∴选择方案3最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱．











拔高





1.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．


（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？


（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？


【答案】见解析


【解析】解：（1）设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意得：


，


解得：，


答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人；





（2）设大寝室a间，则小寝室（80﹣a）间，由题意得：


，


解得：80≥a≥75，


①a=75时，80﹣75=5，


②a=76时，80﹣a=4，


③a=77时，80﹣a=3，


④a=78时，80﹣a=2，


⑤a=79时，80﹣a=1，


⑥a=80时，80﹣a=0．


故共有6种安排住宿的方案．


2.我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：


（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；


（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；


（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．








【答案】见解析


【解析】：（1）根据题意，得：


12x+10y+8（20-x-y）=200，


12x+10y+160-8x-8y=200


2x+y=200，


∴y=20-2x；


（2）根据题意，得：


解之得：5≤x≤8


∵x取正整数，


∴x=5，6，7，8，


∴共有4种方案，即





（3）设总运费为M元，


则M=12×240x+10×320（20-2x）+8×200（20-x+2x-20）


即：M=-1920x+64000


∵M是x的一次函数，且M随x增大而减小，


∴当x=8时，M最小，最少为48640元。














教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.一元一次不等式的应用


2.一元一次不等式组的应用
教学目标
1.利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.


2.利用不等式组解决实际问题
教学重点
利用不等式组解决实际问题
教学难点
利用不等式组解决实际问题
甲型机器
乙型机器
价格（万元/台）
a
b
产量（吨/月）
240
180
A地
B地
C地
运往D地（元/立方米）
22
20
20
运往E地（元/立方米）
20
22
21
物资种类
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
12
10
8
每吨所需运费（元/吨）
240
320
200