北师大版2 图形的旋转教学设计及反思

这是一份北师大版2 图形的旋转教学设计及反思，共18页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第6讲


讲














图形的平移与旋转


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握平移与旋转的坐标变化以及图形变化，能画出平移或旋转以后的图形。





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 平移和旋转的坐标变化


2. 结合三角形考察图形的变换问题





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关图形的平移与旋转，在考试中，出小题和画图题的可能性更大，但是结合第一章三角形的证明，会考察难度较大的动点问题，教师们在授课过程中注意结合中考真题进行分析，培养学生解决动点问题的方法和几何模型








二、知识讲解








知识点1 平移，旋转的概念与性质








1.平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。


注意：平移三要素： 几何图形——运动方向——运动距离


2.平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。


3.把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rtatin）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。


重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度。


4.旋转的性质：


旋转前后的图形全等；


对应点到旋转中心的距离相等；


对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角。








知识点2 平移与坐标变化





1.一个图形沿x轴方向平移a（a>0）个单位长度，对应的横坐标就变化a（向右平移加a,向左平移减a）


2.一个图形沿y轴方向平移a（a>0）个单位长度，对应的纵坐标就变化a（向上平移加a,向下平移减a）








三、例题精析








例题1





【题干】在下列运动中，是平移运动的为（ ）


A. 汽车在高低不平的石子路上行驶


B. 火车在呈弧形的铁轨上行驶


C. 海轮在风大浪高的海面上航行


D. 物体在平滑的冰面上滑行





【答案】D


【解析】根据平移的概念解题








例题2





【题干】如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB⇒BC⇒CD⇒DA⇒AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）





A． B． C． D．


【答案】A


【解析】数形结合，动手操作即可





例题3





【题干】将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为（ ）





A． B．


C． D．


【答案】B


【解析】根据等腰三角形的性质以及旋转的性质可以求出结果








例题4





【题干】如图，在平面直角坐标系中，将三角形⊿ABC向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，请画出图形⊿ A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标．





【答案】见解析


【解析】





A1（1，-2）,B1（0，-3）,C1（2，-4）．














四 、课堂运用








基础





1. 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的一定的距离，这样的图形运动称为______。.它的两个要素：__________、_________。





【答案】平移、平移方向、平移距离


【解析】根据平移的概念和性质可以得出答案


2.如图,△ABC为等边三角形,△AP′B旋转后能与△APC重合，那么：旋转中心


旋转角的度数 ∠PAP′的度数 。








【答案】A、600、600


【解析】由旋转的概念和性质可得答案








巩固





1.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=900，BC=5，点A. B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x−6上时，求线段BC扫过的面积为。











【答案】16


【解析】∵∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），


∴AC=4，当点C落在直线y=2x﹣6上时，如图，


∴四边形BB'C'C是平行四边形，


∴A'C'=AC=4，


把y=4代入直线y=2x﹣6，


解得x=5，


即OA'=5，


∴AA'=BB'=4，


∴平行四边形BB'C'C的面积=BB' ×A'C'=44=16；


故答案为：16．











2.如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心可能是（ ）





A．点M B．点N C．点P D．点Q





【答案】B


【解析】由旋转中心的定义可得


3.如图，把△ABC经过一定的变换得到，如果△ABC边上点P的坐标为（a，b），那么这个点在中的对应点的坐标为（ ）．





A．（-a，b-2） B．（-a，b+2） C．（-a+2，b） D．（-a+2，b+2）





【答案】B．


【解析】先关于原点中心对称，在进行平移即可





4.如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（ ）





A．125° B．130° C．135° D．140°





【答案】C


【解析】解：如图，连接AA′．


由旋转得：AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，


即△ACA'为等腰直角三角形，


∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8，


∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，


∴AB′2=AA′2+A′B′2，


∴∠AA′B′=90°，


∴∠B'A′C=90°+45°=135°．





拔高





1.如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）





A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）





【答案】D．


【解析】A 点绕 C 旋转 180 °得到 A ′ ，则可以得到 C 为 A A ′ 的中点，设 A ′为（ x ， y ），根据中点坐标公式可以得到 ， ，分别解出 ，


故选： D ．





2.如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ）





A．（4，） B．（3，） C．（4，） D．（3，）





【答案】A．


【解析】如图，作AM⊥x轴于点M．


∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），


∴OA=OB=2，∠AOB=60°，


∴OM=OA=1，AM=OM=，


∴A（1，），


∴直线OA的解析式为y=x，


∴当x=3时，y=3，


∴A′（3，3），


∴将点A向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得A′，


∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得B′，


∴点B′的坐标为（4，2），


故选A．


3.已知，如图直线l的解析式为y=x+4，交x、y轴分别于A、B两点，点M（-1，3）在直线l上，O为原点．





（1）点N在x轴的负半轴上，且∠MNO=60°，则AN= ；


（2）点P在y轴上，线段PM绕点P旋转60°得到线段PQ，且点Q恰好在直线l上，则点P的坐标为 或 ．








【答案】（1）3-，（2）（0，1+），（0，1-）


【解析】：（1）首先过点M作MH⊥OA于H，由∠MNO=60°，点M（-1，3），利用三角函数的知识即可求得NH的长，又由直线l的解析式为y=x+4，交x、y轴分别于A、B两点，可求得OA的长，继而可求得AN的长；


（2）由点P在y轴上，线段PM绕点P旋转60°得到线段PQ，可得△PMQ是等边三角形，然后设P的坐标为（0，b），点Q的坐标为：（a，a+4），利用两点式可得方程，解方程即可求得答案．


点评：此题考查了一次函数的性质、锐角三角函数的定义、等边三角形的判定与性质、两点间的距离公式、平方差公式的应用以及一元二次方程解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．








课堂小结





平移和旋转最主要的特征就是图形的全等，这一点在几何问题中应用广泛，学生要抓住平移或旋转前后的对应图形全等来解决问题














扩展延伸








基础





1.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）





A．先向下平移3格，再向右平移1格


B．先向下平移2格，再向右平移1格


C．先向下平移2格，再向右平移2格


D．先向下平移3格，再向右平移2格








【答案】D


【解析】根据平移的性质可得答案D





2. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，若∠A=40°，∠B＇=110°，则∠BCA＇的度数是（ ）





A．110° B．80° C．40° D．50°








【答案】B．


【解析】由旋转角的定义可以求解








巩固





1.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？











【答案】见解析


【解析】由勾股定理，AC===12（m）．


则地毯总长为12+5=17（m），


则地毯的总面积为17×2=34（平方米），


所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．





2.如图，将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE，连接AE，若△ABC的面积为2，则△ACE的面积为（ ）





A.2 B.4 C.8 D.16








【答案】A


【解析】找出平移距离即可解决


3.如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△ABC′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）





A．30° B．35° C．40° D．50°








【答案】C


【解析】∵CC′∥AB，∠CAB=70°，


∴∠C′CA=∠CAB=70°，


又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，


∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，


∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=40°．











拔高





1.在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将一块等腰直角三角尺的直角顶点放在斜边AB的中点P处，绕点P旋转





（1）如图1，三角尺的两条直角边分别交边AC，BC于D，E两点，求证：△PDE为等腰三角形．


（2）如图2，三角尺的两条直角边分别交射线AC，射线BC于D，E两点．（1）中的结论还成立吗？请说明理由．








【答案】见解析


【解析】（1）证明：连接CP，如图1所示：





∵AC=BC，∠C=90°，P为斜边的中点，


∴PC⊥AB，PC=AB=PB，∠PCD=∠B=45°，


∴∠BPE+∠EPC=90°，∠DPC+∠EPC=90°，


∴∠BPE=∠PCD，


在△PBE和△PCD中，


，


∴△PBE≌△PCD（ASA），


∴PE=PD，


即△PDE为等腰三角形；


（2）结论成立；理由如下：


连接CP，如图所示：





由（1）得：∠BPE=∠PCD，∠PCD=90°+45°=135°，∠PBE=180°-45°=135°，


∴∠PCD=∠PBE，


同（1）可证：△PBE≌△PCD（ASA），


∴PE=PD，


即△PDE为等腰三角形．








2.已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．





（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．


（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；








【答案】（1）如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；


（2），理由：


如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，∵∠EAD=90°AE=AD，∴ED=AD，在RT△ECD中，，∴．





【解析】（1）由∠BAC=90°，AB=AC，得到∠ABC=∠ACB=45°，由旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，从而有∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，即可得到结论；


（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得；


（3）分两种情况分别讨论即可求得














教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.平移，旋转的概念与性质


2.平移与坐标变化
教学目标
1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等的性质。


2.通过“变化的鱼”探究横向（或纵向）平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系。


3.通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.


4.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
教学重点
在坐标系中，图形一次平移（横向或纵向），进一步明确平移前后坐标的变化规律


简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学难点
在坐标系中，图形一次平移（横向或纵向），进一步明确平移前后坐标的变化规律


简单平面图形旋转后的图形的作法.