初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解1 因式分解教案

这是一份初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解1 因式分解教案，共18页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第8讲


讲














因式分解


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握因式分解的概念，抓住因式分解和整式乘法之间的关系，学会使用图形的方法理解因式分解的意义。





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 因式分解与整式乘法的关系。


2. 利用图形的方法理解因式分解的意义。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关因式分解的问题，它是分式化简求值的基础内容，而分式的化简求值是中考必考的内容，所以教师在授课过程中要强调它的重要性，让学生结合七年级所学过的整式乘法的内容，掌握因式分解。








二、知识讲解








知识点1 因式分解的概念








1.第一环节 复习回顾：


活动内容：下题简便运算怎样进行


问题1：736×95+736×5 2，-2.67× 132+25×2.67+7×2.67


设计意图：


观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。


第二环节 比较探究：


活动内容：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。


993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)


∴993-99能被99整除


(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。


小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）


= 99（99+1）（99-1）


= 99×98×100


所以993-99能被100整除


活动目的：


以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。


想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？


（2）请你说明小明每一步的依据。


（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？


与同学交流。


（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）


小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。


可以了解: 993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.


将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?


学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：

















①你能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？


②这样变形是为了达到什么样的目的？


活动目的：从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。


第三环节：引出概念：


把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。





知识点2 因式分解与整式乘法的关系





因式分解和整式乘法互为逆运算的关系


整式乘法是将多个整式乘积的关系转化为一个多项式的和，而因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式。





三、例题精析








例题1





【题干】下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）．


A．


B．


C．


D．





【答案】C


【解析】根据因式分解的定义，C选项由左到右的变形，是把一个多项式转化为两个因式的积的形式，所以C满足题意．


故选：C．





例题2





【题干】 因式分解


（1）


（2）





【答案】（1） ；（2）．


【解析】应用乘法公式的逆运算进行解题





例题3





【题干】若实数a满足a2+a=1，则-2a2-2a+2015= .





【答案】2013.


【解析】∵a2+a=1，


∴-2a2-2a+2015


=-2（a2+a）+2015


=-2×1+2015


=-2+2015


=2013








例题4





【题干】如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（b＜）的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积．











【答案】128


【解析】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．阴影部分的面积等于正方形的面积减去4角的4个小正方形的面积，利用因式分解可使计算简便．








四 、课堂运用








基础





1. 下列因式分解正确的是（ ）


A．


B．


C．


D．





【答案】C


【解析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．由此可知，故错误；，故错误；，故错误．


故选C





2.如图，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6．8cm，r=1．6cm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能帮助小刚利用所学过的因式分解计算吗？请写出利用因式分解的求解的过程（π取3）．








【答案】108cm2．


【解析】解：依题得: S阴影=


当R=6．8cm，r=1．6cm，时，


原式=3×（6．8+2×1．6）×（6．8-2×1．6）=108（cm2），


∴阴影部分图形的面积为108cm2．





巩固





1.下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）


A． B． C． D．





【答案】B


【解析】试题分析：A、不能分解因式，故本选项错误；


B、是完全平方式，故本选项正确；


C、不能分解因式，故本选项错误；


D、不能分解因式，故本选项错误．


故选B．








2. 计算：（x+y）2-y（2x+y）


（2）先计算，再把计算所得的多项式分解因式：（12a3-12a2+3a）÷3a．





【答案】（1）x2；（2）（2a-1）2．


【解析】（1）（x+y）2-y（2x+y），


=x2+2xy+y2-2xy-y2，


=x2；


（2）（12a3-12a2+3a）÷3a，


=4a2-4a+1，


=（2a-1）2．





3. 为使代数式x2一ax一20在整数范围内可以因式分解，其中的整数a可以有多少?刘学峰说有6个，宋世杰说有5个，杨萌说有无穷个．你认为他们谁说得对?为什么?








【答案】刘学峰说的对，理由见解析.


【解析】设x2-ax-20=（x+s）（x+t），


则a=-（s+t），st=-20，


∴a=19，-19，8，-8，-1，1.


∴刘学峰说的对．











拔高





1.已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（ ）．


A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2


【答案】B．


【解析】所求代数式前两项提取2，变形为2（a2+2a）-1，将已知等式代入得：2×1-1=1，故选B．





2.已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．





【答案】△ABC是等边三角形．


【解析】△ABC是等边三角形．


证明如下：


因为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，


所以2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，


a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，


（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，


所以（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0，得a=b且a=c且b=c，即a=b=c，


所以△ABC是等边三角形．


3.如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a，宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2


A类


B类


C类


a


a


图①


图②


图③


（1）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+5ab+2b2，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式3a2+5ab+2b2分解因式为 ．


（2）如图③，是用B类长方形（4个）拼成的图形，其中四边形ABCD是大正方形，边长为m，里面是一个空洞，形状为小正方形，边长为n，观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上_____________（填写序号）①= 2（a2+b2 ）； ②； ③= 4ab


【答案】（1）画图2分





3a2+5ab+2b2=（3a+2b）（a+b）


（2）正确关系式的序号填写在横线上：①③





【解析】（1）根据长方形的其面积为3a2+5ab+2b2，可知需要3个A,5个B，2个C，组合成长方形即可；（2）根据图形的面积可得填写：①③．














课堂小结





整式乘法是将多个整式乘积的关系转化为一个多项式的和，而因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式。


因式分解和整式乘法互为逆运算的关系











扩展延伸








基础





1.下列式子变形是因式分解的是（ ）


A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6


B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）


C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6


D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）


【答案】B


【解析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因此可知：


x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；


x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；


（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；


x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故本选项错误．


故选B．


2. 如图，有一张边长为米的正方形硬纸张,现将四个角截去四个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．（＞2＞0）





（1）直接写出盒子底面边长的长度；（用含、的代数式表示）


（2）截去四个小正方形后，剩余硬纸张的面积S为多少平方米？请用含、的代数式表示出来,并把此代数式分解因式；


（3）若无盖长方体盒子的体积为立方米，且截去四个小正方形后，剩余硬纸张的面积为平方米，求、的值．








【答案】（1）a-2b；（2）S==（a+2b）（a-2b）；（3）a=3，b=．





【解析】（1）a-2b；


（2）S==（a+2b）（a-2b）；


（3）∵长方体盒子的体积为立方米，


∴b（a-2b）2=4b，


即（a-2b）2=4．


∴a-2b=2①，a-2b=-2（不合题意，舍去）；


∵剩余硬纸张的面积为平方米，由（2）可得，


（a+2b）（a-2b）=8，


∴a+2b=4②；


把①②联立得方程组，


解得，．








巩固





1.若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（ ）


A．100 B．0 C．-100 D．50


【答案】C．


【解析】设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），


则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．


比较系数得：a-3=m,b-3a+2=0,2a-3b=n,2b=-16


解得:a=-2,b=-8,m=-5,n=20


所以mn=-5×20=-100．


故选C．





2.（﹣x+y）（ ）=x2﹣y2，其中括号内的是（ ）．


A．﹣x﹣y B．﹣x+y C．x﹣y D．x+y





【答案】A．


【解析】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=（﹣x+y）（﹣x﹣y）．


故选：A．





3.图a是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．





（1）图b中的阴影部分面积为 ；


观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；


（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，利用提供的等量关系计算：x﹣y= ；


（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图C，它表示了2+3mn+=（m+n）（2m+n），试画出一个几何图形的面积是+4ab+3，并能利用这个图形将+4ab+3进行因式分解．








【答案】－2mn+或；=+4mn；±5；略.


【解析】（1）、－2mn+或；


（2）、=+4mn；


（3）、∵－4xy=36－11=25 ∴x﹣y=±5；


（4）、+4ab+3=（a+b）（a+3b）．








拔高





1. 若，，则的值是 ．


【答案】54．


【解析】原式=3ab（a+b），当a+b=6，ab=3时，原式=3×3×6=54，故答案为：54．





2.因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．


这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：


（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；


（2）△ABC三边a，b，c 满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．





【答案】（1）（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）△ABC的形状是等腰三角形．


【解析】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16


=（x﹣y）2﹣42


=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；


（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc=0


∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，


∴（a﹣b）（a﹣c）=0，


∴a=b或a=c，


∴△ABC的形状是等腰三角形．


3.拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：


(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2．


（1）则图③可以解释为等式：_________________________________________．


（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2＋7ab＋2b2，并通过拼图对多项式3a2＋7ab＋2b2因式分解: 3a2＋7ab＋2b2=


（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长(x>y)，结合图案，指出以下关系式


（1）xy＝；


（2）x＋y＝m；


（3）x2－y2＝m·n；


（4）x2＋y2＝


其中正确的关系式的个数有……… ( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





【答案】（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；


（2）3a2+7ab+2b2=（3a+b）（a+2b）；


（3）D．


【解析】（1）由分析知：图③所表示的等式为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；


（2）示意图如下





3a2+7ab+2b2=（3a+b）（a+2b）；


（3）D．











教学反思


适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.因式分解的概念


2.因式分解与整式乘法的关系
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．


2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．


3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。


4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
教学重点
因式分解的概念
教学难点
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法