初中数学北师大版八年级下册1 平行四边形的性质教案设计

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 平行四边形的性质教案设计，共22页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第15讲


讲














平行四边形的性质


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握平行四边形的性质，了解性质探索的过程，学会应用平行四边形的性质解决问题。





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 平行四边形的性质探索。


2. 平行四边形的性质综合应用。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关平行四边形的性质考题，难度不大，教师在授课过程中注重性质探索的过程。








二、知识讲解








知识点1 平行四边形的性质








1.第一环节：学习定义


定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.


性质：①平行四边形两组对边分别平行；


②平行四边形的两组对边分别相等；


③平行四边形的两组对角分别相等；


④平行四边形的对角线互相平分


以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质。温故知新。


1．平行四边形都有哪些性质？


2．回顾思考


选择题


（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（ ）


A．60° B．80° C．100° D．120°


（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm, 则对角线AC长为（ ）


A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm


（3）平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则全等三角形的对数有


参考答案：


1． C． 2． A． 3．4对．


活动目的：


1．通过（1）~（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结论：平行四边形对角线互相平分。


活动效果：


能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。





第二环节 探索发现，灵活运用


活动内容：


探索问题1


在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？


A．（学生思考、交流）得出：平行四边形的对角线互相平分。


B．请尝试证明这一结论


已知：如图6-4，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.


求证:OA=OC,OB=OD.


证明: ∵四边形ABCD是平行四边形


∴ AB=CD AB//DC


∴ ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO


∴ △AOB≌△COD


∴ OA=OC,OB=OD.


你还有其他的证明方法吗，与同伴交流。


活动目的：


通过对上节课做一做的回顾，得出平行四边形对角线互相平分的性质，再通过严格的说理证明，深化对知识的理解。


活动效果及注意：


因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应该给学生强调：定理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻烦，直接由平行四边形可得出其对角线互相平分。











知识点2 平行四边形性质的综合运用





活动内容


例1.如图6-5，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.


求证:OE=OF.


A．议论交流


B．师生共析归纳


解：∵四边形ABCD是平行四边形


∴ AD=CB AD//BC OA=OC


∴ ∠DAC=∠ACB


又∵∠AOE=∠COF


∴△AOE≌△COF


∴OE=OF


如图6-6, 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=900,OA=6,0B=3.求AD和AC的长度.


解: ∵四边形ABCD是平行四边形


∴OA=OC=6 OB=OD=3


∴AC=12


又∵∠ADB=900


∴在Rt△ADO中，根据勾股定理得


OA2=0D2+AD2


∴AD=3√3


活动目的：


通过练一练的两个问题的训练，进一步巩固平行四边形的性质，并学会应用。


观察分析，理性升华


例2 已知，如图，在平行四边形ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交BA，BC于点P，点B，你能说明MQ=NP吗？


A．学生独立观察分析


B．交流探索


C．师生共析小结


解：∵四边形ABCD是平行四边形


∴AD//BC，AB//CD


即AM//CQ


又∵AC//MN


即AC//MQ


∴由平行四边形定义得四边形MQCA是平行四边形


∴MQ=AC


同理 NP=AC


∴MQ=NP


小结：利用平行四边形可以证明两线段相等


活动目的：


由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，本环节让学生就用的结论进行说理和推理，实验理性升华，培养语言表达能力。





三、例题精析








例题1





【题干】如图，在□ABCD 中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形（ ）





A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个





【答案】D


【解析】按照平行四边形的定义解题








例题2





【题干】在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）


A．对边相等 B．对边平行 C．对角互补 D．内角和为360°





【答案】C


【解析】根据平行四边形的性质解题





例题3





【题干】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，-2），B（3，1）则C点坐标为 ．








【答案】（2，3）


【解析】根据BC平行且等于OA可得C点坐标为（2，3）








例题4





【题干】如图，ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）





A．2 B．4 C．4 D．8





【答案】 B


【解析】∵AE为∠DAB的平分线，


∴∠DAE=∠BAE，


∵DC∥AB，


∴∠BAE=∠DFA，


∴∠DAE=∠DFA，


∴AD=FD，


又F为DC的中点，


∴DF=CF，


∴AD=DF=DC=AB=2，


在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，


则AF=2AG=2，


∵平行四边形ABCD，


∴AD∥BC，


∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，


在△ADF和△ECF中，∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，DF＝CF，


∴△ADF≌△ECF（AAS），


∴AF=EF，


则AE=2AF=4．


故选B．





例题5








【题干】如图，M是平行四边形ABCD的一边AD上的任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列大小关系正确的为（ ）





A．S＞S1+S2 B．S＜S1+S2 C．S=S1+S2 D．无法确定


【答案】 C．


【解析】根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式即可求解








四 、课堂运用








基础





1. 某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm，5cm，7cm） 的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（ ）


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


【答案】C.


【解析】直接作图解题即可


2.平行四边形ABCD中，BC,AD的长分别为（x+2）cm和（3-x）cm,则x的值为( )


A．2 B．1 C． D．


【答案】C．


【解析】BC和AD是对边，根据平行四边形对边相等列方程即可


3.口ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D可以为（ ）


A、1︰2︰3︰4 B、1︰2︰2︰1


C、2︰2︰1︰1 D、2︰1︰2︰1


【答案】 D


【解析】平行四边形对角相等，邻角互补，内角和为360°








巩固





1.如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180∘，则点D） 所转过的路径长为（ ）





A. 4πcm B. 3πcm C. 2πcm D. πcm








【答案】C.


【解析】D点所经过的路径长是以BD为直径的半圆





2.如图，在□ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（ ）





A．2 B．3 C．4 D．5





【答案】A．


【解析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠ADE=∠EDC，又因为DE平分∠ADC，所以，∠DEC=∠EDC，所以DC=EC=4，又因为AD=BC=6，所以BE=2


3.如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，OE=1．5，那么四边形EFCD的周长是 ．








【答案】 12


【解析】由平行四边形的性质易证AE=FC（通过证明三角形AOE和三角形COF的全等来得），则四边形EFCD的周长=AD+DC+2OE=5+4+3=12





4.如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．





（1）求证：△BAD≌△AEC；


（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．





【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵AB=AC，


∴∠B=∠ACB．


又∵四边形ABDE是平行四边形


∴AE∥BD，AE=BD，


∴∠ACB=∠CAE=∠B，


在△DBA和△EAC中


，


∴△DBA≌△EAC（SAS）；


（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G．设AG=x，


在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，


∴AG=DG=x，


在Rt△AGB中，∵∠B=30°，


∴BG=，


又∵BD=10．


∴BG-DG=BD，即，


解得AG=x=，


∴S平行四边形ABDE=BD•AG=10×（）=．














拔高





1.如图,在平面直角坐标系中,直线L经过原点,且与y轴正半轴所夹的锐角为600,过点A（0,1）作y轴的垂线交直线L于点B,过点B作直线L的垂线交y轴于点A1,以A1B、BA为邻边作□ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线L于点B1,过点B1作直线L的垂线交y轴于点A2,以A2B1、B1A1为邻边做□A1B1A2C2,…；按此作法继续下去,则点Cn的坐标是_______．








【答案】（-4n-1,4n）．


【解析】：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，∴直线l的解析式为y=x。


∵AB⊥y轴，点A（0，1），∴可设B点坐标为（x，1）。


将B（x，1）代入y=x，得1=x，解得x=。


∴B点坐标为（，1），AB=。


在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°﹣60°=30°，∠A1AB=90°，


∴AA1=AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4。


∵ABA1C1中，A1C1=AB=，


∴C1点的坐标为（，4），即（，41）。


由x=4，解得x=4。∴B1点坐标为（4，4），A1B1=4。


在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，


∴A1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16。


∵A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，


∴C2点的坐标为（，16），即（，42）。


同理，可得C3点的坐标为（，64），即（，43）。


…


以此类推，则Cn的坐标是（）。





2.如图，平行四边形ABCD的面积为acm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，连接AC1交BD于O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AOn﹣1CnB的面积为（ ）cm2．





A． B． C． D．





【答案】B


【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，


∴O1A=O1C1，O1B=O1O，


∴SAO1B=S△ABC1=S▱ABCD=cm2，


∴平行四边形ABC1O的面积是：cm2，


同理平行四边形ABC2O1的面积是=（）2acm2，


平行四边形ABC3O2的面积是=（）3acm2，


平行四边形ABC4O3的面积是=（）4acm2，


…以此类推AOn-1CnB的面积为：（）na．


3.(1)如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.


求证：AE=CF.


(2)如图②，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.


求证：EI=FG.





【答案】见解析


【解析】





证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD∥BC，OA=OC，


∴∠1=∠2，


∵在△AOE和△COF中，


∠1=∠2


OA=OC


∠3=∠4，


∴△AOE≌△COF(ASA)，


∴AE=CF；





(2)∵四边形ABCD是平行四边形，


∴∠A=∠C，∠B=∠D，


由(1)得AE=CF，


由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，


∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，


又∵∠1=∠2，


∴∠3=∠4，


∵∠5=∠3，∠4=∠6，


∴∠5=∠6，


∵在△A1IE与△CGF中，∠A1=∠C∠5=∠6A1E=CF


∴△A1IE≌△CGF(AAS)，


∴EI=FG.











课堂小结





平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.


平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；


②平行四边形的两组对边分别相等；


③平行四边形的两组对角分别相等；


④平行四边形的对角线互相平分











扩展延伸








基础





1.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，这个四边形是____；理由是_____________。











【答案】平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形


【解析】略





2. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）


A．36° B．108° C．72° D．60°








【答案】B


【解析】平行四边形对角相等，邻角互补，内角和为360°





3.平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（ ）





A．75° B．70° C．65° D．60°





【答案】A


【解析】根据平行四边形的性质可得：∠BAD=135°，则∠BAE=135°-60°=75°








巩固





1.平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为（ ）


A．6＜AC＜10 B.6＜AC＜16 C.10＜AC＜16 D.4＜AC＜16


【答案】 D．


【解析】根据平行四边形的性质可得：AB=6，BC=10，则对角线AC的取值范围为4＜AC＜16





2.如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）





A．4 B．6 C．8 D．10








【答案】C


【解析】根据题意易得三角形AEC是等腰三角形，及AE=EC，则△DCE的周长为EC+ED+DC=AE+ED+DC=AD+DC=8


3.如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两条对角线长度之和是 ．








【答案】26


【解析】∵AD=20，平行四边形的面积是120，


∴AD边上的高是6．


∴要求的两对角线长度和是20+6=26．








拔高





1.如图，过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是 （ ）





A．S1＞ S2 B．S1= S2 C．S1＜S2 D．不能确定


【答案】 B


【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，


∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，


∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，


在△ABD和△CDB中；AB=CD，BD=DB，DA=CB


∴△ABD≌△CDB，


即△ABD和△CDB的面积相等；


同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，


故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．





2.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．





（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．


（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．


（3）若AC=6，DE=4，则DF=______．





【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，


∴四边形AFDE是平行四边形．


∴AF=DE，


∵DF∥AC，


∴∠FDB=∠C


又∵AB=AC，


∴∠B=∠C，


∴∠FDB=∠B


∴DF=BF


∴DE+DF=AB=AC；


（2）图②中：AC+DE=DF．


图③中：AC+DF=DE．


（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；


当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．


故答案是：2或10．


3.分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．





（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的数量关系及位置关系；（只写结论，不需证明）


（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．


【答案】见解析


【解析】（1）答：在图1中，GF=EF且GE⊥EF


(2)、∵四边形ABCD是平行四边形


∴AB=DC，且AB∥DC． 又∵△ABE、△CDG是等腰三角形


∴AE=BE=DG=CG，∠CDG=∠BAE=45°


又∵△AFD是等腰三角形，


∴AF=DF，∠FDA=∠DAF=45°，∠AFD=90°


又∵AB∥DC ∴∠CDA+∠DAB=180°


又∵∠CDA=90°-∠FDG；∠DAB=90°+∠FAE


∴90°-∠FDG+90°+∠FAE=180°


∴∠FDG=∠FAE


∴△FDG≌△FAE（SAS）．


∴FG=FE，∠DFG=∠AFE


又∵∠DFG+∠GFA=90°，


∴∠AFE+∠GFA=90°．


∴EE⊥GF

















教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.平行四边形的性质


2.平行四边形性质的综合运用
教学目标
1.掌握平行四边形的性质，并能简单应用；


2.掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；
教学重点
平行四边形性质的探索
教学难点
平行四边形性质的应用