初中数学北师大版八年级下册3 三角形的中位线教案设计

这是一份初中数学北师大版八年级下册3 三角形的中位线教案设计，共17页。教案主要包含了教学建议，知识导图，知识链接，动手操作，定理证明等内容，欢迎下载使用。










第17讲


讲














三角形中位线与多边形的内角和、外角和


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握三角形中位线定理的证明及其性质和应用以及多边形内角和外角和的知识。难点在于证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用．





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 三角形的中位线的性质及应用。


2. 多边形的内角和。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关三角形的中位线，多边形内角和外角和的相关知识，难度不大，重点是中位线的内容，同时也是中考的考点，需要教师们在授课过程中有所偏重








二、知识讲解








知识点1三角形中位线定理及其应用








第一环节：创设情景，导入课题


１．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？


操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC


（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE


（3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.





2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？





3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？





目的：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝ＢＣ．


由此引出课题．。


效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。





第二环节：教师讲授，传授新知


内容： 引入三角形中位线的定义和性质


1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．


2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半


目的：通过学生前期的猜测，测量，初步感知三角形中位线的定理和性质。








知识点2 多边形的内角和与外角和





从边形的一个顶点可以引出条对角线，把边形分成个三角形。从而得出：边形的内角和是。


多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形。


n边形的内角和=（n—2）·180°


正n边形的一个内角= =


多边形的外角和等于360°





三、例题精析








例题1





【题干】在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（ ）


A．2．5 B．5 C．10 D．15





【答案】A


【解析】直接由中位线的性质可得








例题2





【题干】如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）


R


P


D


C


B


A


E


F











A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关





【答案】C


【解析】EF=AR





例题3





【题干】如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）





A．24 B．12 C．6 D．3








【答案】B


【解析】根据面积公式求解即可











例题4





【题干】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ）


A、内角和增加360° B、外角和增加360° C、对角线增加一条 D、内角和增加180°


【答案】D


【解析】根据多边形的内角和公式求解











四 、课堂运用








基础





1. 如图，在中，E、F分别是边AC、BC的中点，且DF//AC，BD=3，则EF的长为（ ）





A．2 B．3 C．4 D．5





【答案】B


【解析】易证四边形ADFE是平行四边形，则EF=AD，又因为EF为三角形ABC的中位线，所以EF=AB，则BD=AD=3，EF=3


2.如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（ ）





A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC





【答案】C


【解析】利用三角形中位线的性质可得


3.过多边形某个顶点所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）．


A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形





【答案】B


【解析】应用多边形一个顶点出发的对角线与三角形的关系求解








巩固





1.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 .








【答案】3


【解析】连接DN，根据E、F分别为中点可得EF=DN，则要使EF最大，则必须保证DN达到最大值.当N到达点B时，此时DN最大，此时AN=AB=3，根据Rt△ADN的勾股定理可得DN==6，则EF的最大值为3.





2.如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数）．





【答案】．


【解析】多次使用中位线定理即可


3.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别BC、AD边上，AE=BF，AE与BF交于G，ED与CF交于H．





求证：（1）GH∥BC；


（2）GH=AD








【答案】见解析


【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AF与BE互相平分，∴G点是BE的中点，同理可证：DE∥CF，DE=CF，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DF与CE互相平分∴H点是CE的中点，∴GH是△BEC的中位线，∴GH∥BC，∴GH=BC；


（2）∵AD=BC，GH=BC，∴GH=AD．








4.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3





（1）求证：BN=DN；


（2）求△ABC的周长





【答案】见解析


【解析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）41, 先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．








拔高





1.已知，如图四，△ABC中，BD是AC边上的中线，DB⊥BC于B，且∠ABC=120°，求证：AB=2BC．








【答案】见解析


【解析】过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于E，可由平行线的判定得到AE∥BD，再由中位线的性质和含30度角的直角三角形的性质即可证明AB=2BC．


试题解析：证明：过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于E．∵AE⊥BC，DB⊥BC，∴AE∥BD，∵AD=CD，∴BD是△ACE的中位线，∴BC=BE，∵∠ABC=120°，∴∠ABE=60°，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=2BC．











2.如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．


（1）求证：MD和NE互相平分；


（2）若BD⊥AC，EM=2，OD+CD=7，求△OCB的面积．











【答案】(1) 连接ED、MN，根据三角形中位线定理可得ED∥MN，ED=MN，进而得到四边形DEMN是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得MD和NE互相平分；


（2）8.5, 利用（1）中所求得出OC=2DN=4，再利用勾股定理以及三角形面积公式求出S△OCB=OB×CD即可．





【解析】（1）（2）试题解析：（1）证明：连接ED、MN，


∵CE、BD是△ABC的中线，


∴E、D是AB、AC中点，∴ED∥BC，ED=BC，


∵M、N分别为OB、OC的中点，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，


∴四边形DEMN是平行四边形，∴MD和NE互相平分；


（2）解：由（1）可得DN=EM=2，


∵BD⊥AC，∴∠ODC=90°，


∵N是OC的中点，∴OC=2DN=4（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）


∵OD2+CD2=OC2=32，（OD+CD）2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49，


2OD×CD=49﹣32=17，OD×CD=8.5，


∵OB=2OM=2OD，∴S△OCB=OB×CD=OD×CD=8.5．

















课堂小结





1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半


2.n边形的内角和=（n—2）·180°


正n边形的一个内角= =


多边形的外角和等于360°














扩展延伸








基础





1.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）





A．20 B．15 C．10 D．5








【答案】C


【解析】△DEF的周长=△ABC的周长


2. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）





A．13 B．14 C．15 D．16








【答案】B


【解析】设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得：（n﹣2）180°=2340°，解得n=15，原多边形是15﹣1=14，故选B．


3.（1）叙述三角形中位线定理,并运用平行四边形的知识证明；


（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点，求证EF=．











【答案】见解析


【解析】（1）定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．





已知，D,E是△ABC的边AB,AC的中点，求证DE=且DE∥BC．


证明：过点C作 CE∥AB交DE 的延长线于点F，可证四边形ADCF是平行四边形，


四边形BDFC是平行四边形， ∴DE=且DE∥BC


（2）连接AF,并延长交BC的延长线于点G,证△ADF≌△GCF,则AF=CG,AD=CG


由（1）的结论可证．








巩固





1.已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点，若EF=2，则BD= ．











【答案】4


【解析】BD=2EF=4





2.如图，已知直线l1：y=k1x+4与直线l2：y=k2x﹣5交于点A，它们与y轴的交点分别为点B，C，点E，F分别为线段AB、AC的中点，则线段EF的长度为 ．








【答案】


【解析】根据题意求出B、C两点坐标，表示出BC线段长，根据BC=2EF可得结果


3.如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO.若AO = 6cm，BC = 8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）


A.14 cm B.18 cm C.24cm D.28cm.








【答案】A


【解析】利用中位线定理进行求解








拔高





1.【知识链接】连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线


【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无重叠


的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半


【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图1）；


（1）在图1方框中填空，以补全已知和求证；


（2）按图2小明的想法写出证明．





【答案】见解析


【解析】（1）中点、∥、；（2）见解析


试题解析：（1）解：中点，∥，；


（2）证明：延长DE到点F，使EF=DE．连接CF，


在△ADE和△CEF中，∵∴△ADE≌△CEF， ∴AD=CF，∠A=∠ECF，


∴AD∥CF， ∵BD=AD=CF， ∴四边形DBCF是平行四边形，


∴DE∥BC，且DF=BC， ∴DE=DF=BC．








2.连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．观察上述图形并阅读相关文字，思考回答问题：显然四边形对角线有2条；五边形的对角线有5条；对于六边形的对角线条数，光靠“数”数，也能数出来，但已感到较麻烦，需寻找规律！从一个顶点A出发，显然有3条，同理从B出发也3条，每个顶点出发都是3条，但从C顶点出发，就有重复线段！用此方法算出六边形的对角线条数为a；且能归纳出n边形的对角线条数的计算方法；若一个n边形有35条对角线，则a和n的值分别为（ ）





A．12，20 B．12，15 C．9，10 D．9，12


【答案】C


【解析】根据规律求解，学生可以多找几组数据，找数据的规律











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.三角形中位线定理及其应用


2.多边形的内角和与外角和
教学目标
1.知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。


2.理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。


3.多边形外角和定理的探索和应用．
教学重点
掌握三角形中位线定理


多边形外角和定理的探索和应用．
教学难点
证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用．