初中数学3 正方形的性质与判定教案设计

这是一份初中数学3 正方形的性质与判定教案设计，共18页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第3讲


讲























正方形的性质与判定














通过对本节课的学习，你能够：


掌握正方形的性质与判定.


学会应用正方形的性质解决旋转问题.


























概 述














【教学建议】


正方形这种图形在生活中比较常见，并且在小学阶段已有涉及，在教学过程中，结合现实生活中的矩形物体和复习回顾学过的矩形知识，将使学生对正方形的性质和判定有一个更深刻的认识..


【知识导图】
































教学过程








一、导入








在小学阶段的学习中我们已经学习过了正方形的性质和判定，在本讲中我们将会更加深入地学习正方形，正方形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置.





二、知识讲解








考点1 矩形的定义和性质








有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．


正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质．


性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．


考点2 矩形的判定











有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.


有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.





三 、例题精析








类型一 正方形的定义与性质





例题1








如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC上任意一点，EG⊥BD于G，EF⊥AC于F，若AC=10，则EG+EF的值为（ ）





A．10 B．4 C．8 D．5





【总结与反思】





类型二 正方形中的旋转问题





例题1








在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．





（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．


（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．


【解析】



























































【总结与反思】











类型三 正方形的性质与判定





例题1








如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．


（1）求证：∠ADB=∠CDB；


（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．





【解析】












































【总结与反思】











四 、课堂运用








基础








1.如图 ，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）．





A．3 B．4 C．5 D．


2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．





3.如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．


（1）求证：△AED≌△BFD；


（2）若AB=2，当CD的值为 时，四边形DECF是正方形．


























巩固








1．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=


度．





2．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．


（1）求证：∠CAB=∠DAB；


（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．



































3.猜想与证明：


如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．


拓展与延伸：


（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 ．


（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．


















































拔高








1.如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B 落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是 ，的值等于 ；若（，且为整数），则的值等于 （用含的式子表示）．





2.结论: 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．





如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．


李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？


请你参考李明同学的思路，解决下列问题：


如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．



















































































五 、课堂小结








本节的重要内容：正方形的性质与判定.


有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.


有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.








六 、课后作业











基础








1.如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（ ）





图① 图② 图③ 图④


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个


2.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是 ．





3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．


（1）求证：CE=AD；


（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；


（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
























































巩固











1.四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H．若AB=4，AE=时，则线段BH的长是 ．





2.如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．





3.在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，其中交直线于点．


（1）依题意补全图1；


（2）若，求的度数；


（3）如图2，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．















































拔高








1.阅读下面材料：


小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．





小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．


参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：


（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；


（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．

































































2．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．


解答下列问题：


（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．


= 1 \* GB3 ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．


= 2 \* GB3 ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙， = 1 \* GB3 ①中的结论是否仍然成立，为什么？





（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．


试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）


若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．








适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
正方形的性质


正方形中的旋转问题


正方形的性质与判定
教学目标
1、掌握正方形的性质与判定.


2、掌握正方形的旋转问题.
教学重点
能熟练掌握正方形的性质与判定.
教学难点
正方形综合题.