北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程教学设计及反思

这是一份北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程教学设计及反思，共16页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。




第4讲


讲























配方法解一元二次方程












































概 述














【教学建议】


正方形这种图形在生活中比较常见，并且在小学阶段已有涉及，在教学过程中，结合现实生活中的矩形物体和复习回顾学过的矩形知识，将使学生对正方形的性质和判定有一个更深刻的认识..


【知识导图】











教学过程








一、导入








【教学建议】


在这一部分知识的学习中，多做练习是快速提升对这部分知识掌握程度的最好方法..


配方法使用的是将二次项配成完全平方后再开方的方法，因此在学习本讲之前，应当复习一下完全平方的做法，以便于更好的理解配方法的使用.





二、知识讲解








考点1 配方法解一元二次方程








用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:


先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.


用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：


①把常数项移到方程右边；


②方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；


③方程两边都加上一次项系数一半的平方；


④原方程变形为（x+m）2=n的形式；


⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．


运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；配方后右边是负数，确定原方程无解.




















三 、例题精析








类型一 一元二次方程的定义





例题1








下列一元二次方程中,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,0的是 ( )


A.(x-2)(x+1)=0B.(x-1)2=2x2+1


C.(x+2)(x-3)+6=0D.(2x-1)2=3(x2-x)


【解析】C


选项A可化为x2-x-2=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,-2,故本选项错误;


选项B可化为x2+2x=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,2,0,故本选项错误;


选项C可化为x2-x=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,0,故本选项正确;


选项D可化为x2-x+1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,1,故本选项错误.


【总结与反思】本题考查了一元二次方程的一般形式.





类型二 一元二次方程的解





例题1








若关于x的一元二次方程的一个根是1，且a，b满足等式，求此一元二次方程。


【解析】


将x=1代入方程ax2+bx+c=0，


得：a+b+c=0；


又∵a、b满足等式


∴a-3≥0，3-a≥0；


∴a=3，


∴b=3；


则c=-a-b=-6．


∴该一元二次方程为


【总结与反思】 此题考察了无理数的知识和一元二次方程的求解.





类型三 直接开平方法解一元二次方程（增长率）





例题1








用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）


（A）－5＝0 （B）－3＝0


（C）＋4＝0 （D）＝0


【解析】C


X2 = -4， X无解.


【总结与反思】此题考察了平方的知识.





类型四 配方法解一元二次方程





例题1








若|m|=1,求关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m+5)x+2=0的解.


【解析】∵|m|=1,∴m=±1,


又∵该方程是一元二次方程,∴m-1≠0,


∴m≠1,∴m=-1,


∴原方程为-2x2+4x+2=0,∴x2-2x-1=0,


∴x2-2x+1=1+1,即(x-1)2=2,


∴x-1=± QUOTE \* MERGEFORMAT ,∴x1=1+ QUOTE ,x2=1- QUOTE .


【总结与反思】此题考察了一元二次方程的求解方法.




















类型五 利用配方法解决一元二次方程的实际问题





例题1








如图所示，把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。


（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。








①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？


②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。


【解析】（1）①9cm②有最大值，当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2（2）长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm


解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。


则（40－2x）2=484，解得（不合题意，舍去），。


∴剪掉的正方形的边长为9cm。


②侧面积有最大值。


设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，


则y与x的函数关系为：，


∴x=10时，y最大=800。


即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。


（3）在如图的一种剪裁图中，








设剪掉的正方形的边长为xcm。


则 ，


解得：（不合题意，舍去），。


∴剪掉的正方形的边长为15cm。


此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。


【总结与反思】一元二次方程的应用是中考中的热点题型，这部分一定要多加练习牢固掌握.








四 、课堂运用








基础








1.关于x的方程（a﹣1）x2+ x+1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）


A.a≠1 B.a＞﹣1且a≠1 C.a≥﹣1且a≠1 D.a为任意实数


2.若a（a≠0）是关于x的方程x2+bx﹣2a=0的根，则a+b的值为（ ）


A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2


3.若方程(x-m)2-12=0的两根均为正数,其中m为整数,则m的最小值是 .





答案与解析


1.【答案】C


【解析】得，但a-1是二次项系数，a≠1.


2.【答案】B


【解析】将x=a代入方程，然后将方程的左边因式分解即可得到答案．


解：∵a（a≠0）是关于x的方程x2+bx﹣2a=0的根，


∴a2+ab﹣2a=0，


∴a（a+b﹣2）=0，


∴a=0或a+b﹣2=0，


∵a≠0，


∴a+b﹣2=0，


∴a+b=2．


故选B．


3.【答案】4


【解析】∵(x-m)2-12=0,∴(x-m)2=12,


∴x=m± QUOTE \* MERGEFORMAT ,又∵两根均为正数,且4> QUOTE \* MERGEFORMAT >3,


∴m的最小值是4.








巩固








1.用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，此方程可变形为（ ）


A. B.


C. D.


2.若方程是一元二次方程，求不等式的解集。


3.用直接开平方法解下列方程


（1）x2-25=0 （2）9x2-25=0


4.阅读下面的材料并解答后面的问题:


小力:能求出x2+4x+3的最小值吗?如果能,其最小值是多少?


小强:能.求解过程如下:因为x2+4x+3=x2+4x+4-4+3=(x2+4x+4)+(-4+3)=(x+2)2-1,而(x+2)2≥0,


所以x2+4x+3的最小值是-1.


问题:(1)小强的求解过程正确吗?


(2)你能否求出x2-8x+5的最小值?如果能,写出你的求解过程.


答案与解析


1.【答案】C


【解析】依据配方的步骤即可得出C.


2.【答案】


【解析】∵方程是一元二次方程


∴


解不等式，将带入得：


3.【答案】（1）x=±5 （2）


【解析】计算较为简单.


4.【答案】见解析


【解析】(1)正确.


(2)能.过程如下:


x2-8x+5=x2-8x+16-16+5=(x-4)2-11,


∵(x-4)2≥0,∴x2-8x+5的最小值是-11.








拔高








1.已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根,求m2-2014m+ QUOTE \* MERGEFORMAT 的值





答案与解析


1.【答案】，，


【解析】∵m是方程x2-2014x+1=0的一个根,


∴m2-2014m+1=0,∴m2-2014m=-1,


m2+1=2014m,


∴m2-2014m+ QUOTE \* MERGEFORMAT =-1+ QUOTE =-1+1=0.








五 、课堂小结








本节的重要内容：配方法解一元二次方程.


用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：


①把常数项移到方程右边；


②方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；


③方程两边都加上一次项系数一半的平方；


④原方程变形为（x+m）2=n的形式；


⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．











六 、课后作业











基础








1.一元二次方程（x+6）2 =16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程为（ ）


A、x-6=4 B、x-6= -4 C、x+6=4 D、x+6= -4


2.一元二次方程的一般形式是 .


3.若果一元二次方程的系数a,b,c满足a-b+c=0，那么方程的其中一个根是





答案与解析


1.【答案】D


【解析】±4的平方均是16.


2.【答案】


【解析】移项.


2.【答案】-1


【解析】当x=1时，a-b+c=0.





巩固











1.一元二次方程化为二次项系数为1的一般形式后，一次项系数为-1，求m的值。


用配方法解一元二次方程


（1）x2–2x–2=0． （2） 2x2-4x-10=0


3.已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一个根.请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积.





答案与解析


1.【答案】-1


【解析】 一元二次方程2x2-（m+1）x+1=x（x+1）可化为2x2-（m+1）x+1=x2+x，


整理得x2-（m+1）x-x+1=0，


x2-（m+2）x+1=0，


∵一次项的系数为-1，


∴m的值为-1．


故答案为-1．


2.【答案】（1）x1=1+，x2=1﹣． （2），


【解析】计算较为简单


3.【答案】见解析


【解析】首先解方程x2-16x+60=0得，


原方程可化为：（x-6）（x-10）=0，


解得x1=6或x2=10；（5分）


如图（1）根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形，


S△ABC=×6×8=24；


如图（2）AD==2，（12分）


S△ABC=×8×2=8．（15分）











拔高





1.已知a是方程的解，求代数式的值


2.阅读并解答问题


用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．





(1)当= 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ．


(2)当= 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ．


(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少?


3.三角形两边的长是2和5,第三边的长是方程 QUOTE \* MERGEFORMAT x2- QUOTE \* MERGEFORMAT x+2=0的根,则该三角形的周长为


答案与解析


1.【答案】-1


【解析】 将x=a带入得， ∴ 则


2.【答案】见解析


【解析】(1)1，大，3


(2)1，大，5


(3)长为8时，面积最大是32


3.【答案】见解析


【解析】解方程 QUOTE \* MERGEFORMAT x2- QUOTE \* MERGEFORMAT x+2=0,得x1=2,x2=5,当x=2时,∵2+2<5,此时不能构成三角形


∴该三角形的周长为2+5+5=12.





七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
一元二次方程的定义


一元二次方程的解


直接开平方法解一元二次方程


配方法解一元二次方程


利用配方法解决一元二次方程的实际问题
教学目标
1、掌握一元二次方程的定义并会列一元二次方程.


2、学会配方法解一元二次方程.
教学重点
能熟练掌握一元二次方程的配方法.
教学难点
用配方法解一元二次方程.