数学九年级上册第六章 反比例函数3 反比例函数的应用教案

这是一份数学九年级上册第六章 反比例函数3 反比例函数的应用教案，共44页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第17讲


讲























反比例函数的应用















































概 述














【教学建议】


反比例函数的应用广泛且十分重要，在教学过程中要提醒学生联系一次函数的应用，对比学习.


【知识导图】


























教学过程








一、导入








【教学建议】


本讲的反比例函数的应用与生活结合较为紧密，在教学过程中可以引导学生广泛结合实例，进而对反比例函数的灵活运用有一个更好的理解.


反比例函数是每年中考中的热门考点，其应用题的形式主要分为几何类、实际应用类，在本讲中我们将对这两种应用进行深入的学习.





二、知识讲解











考点1 反比例函数的应用








反比例函数的几何应用：涉及到面积类的题型；


反比例函数的实际应用：生活中成反比的实例.





三 、例题精析








类型一 反比例函数的几何应用





例题1








已如图，反比例函数 y＝eq \f(k,x) 的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3） ,B（n,－1）．





（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；


（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；


（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；


【解析】（1）∵A（1，3）在y=的图象上，


∴=3，∴=．


又∵B（，﹣1）在=的图象上，


∴=﹣3，即B（﹣3，﹣1）


∴


解得：=1，=2，


∴反比例函数的解析式为=，一次函数的解析式为=+2．


（2）从图象上可知，当＜﹣3或0＜＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．


（3）设一次函数与轴交点为C，


令一次函数值=0，得=-2，


∴C（-2，0）


∴S△ABO=S△BOC+S△AOC=×|OC|×|yB|+×|OC|×|yA|=×2×1+×2×3=4.


【总结与反思】本题考察的是反比例函数的几何应用，结合一次函数是最常见的类型.





类型二 反比例函数的实际应用





例题1








你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（四面条的粗细（横截面积）S（的反比例函数，其图象如图所示.





（1）写出与S的函数关系式；


（2）求当面条粗1.6时，面条的总长度是多少米？


【解析】（1）；（2）80米.


设函数关系式为，由图象知双曲线过点（4，32）即可求出；


把代入函数关系式即得结果.


设函数关系式为，


图象过点（4，32），


，解得，


与的函数关系式为；


当时，，


答：当面条粗时，面条的总长度为80米.


【总结与反思】 解答考察的是反比例函数的实际应用，和生活实际结合紧密．








四 、课堂运用








基础








1.已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1）．





（1）分别求出这两个函数的解析式；


（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；


（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为﹣4，当x取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；


（4）试判断点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．


2.已知，如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）





（1）填空：a= ；k= ．


（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．


①当BM=DM时，求△ODM的面积；


②当BM=2DM时，求出直线MA的解析式．


3.如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．





（1）求反比例函数的关系式；


（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．


4.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．


（1）求这个反比例函数的表达式；


（2）当R=10Ω时，电流能是4A吗？为什么？





答案与解析


1.【答案】（1）y=，y=2x﹣3；（2）x＞0；（3）点P′在直线上．


【解析】（1）根据题意，反比例函数y=的图象过点A（2，1），可求得k的值，进而可得解析式；一次函数y=kx+m的图象过点A（2，1），代入求得m的值，从而得出一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，当y＞0时，解得对应x的取值即可；


（3）由题意可知，反比例函数值大于一次函数的值，即可得＞2x﹣3，解得x的取值范围即可；


（4）先根据题意求出P′的坐标，再代入一次函数的解析式即可判断P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．．


试题解析：解：（1）根据题意，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1），


则反比例函数y=中有k=2×1=2，


y=kx+m中，k=2，


又∵过（2，1），解可得m=﹣3；


故其解析式为y=，y=2x﹣3；


（2）由（1）可得反比例函数的解析式为y=，


令y＞0，即＞0，解可得x＞0．


（3）根据题意，要反比例函数值大于一次函数的值，


即＞2x﹣3，解可得x＜﹣0.5或0＜x＜2．


（4）根据题意，易得点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣5）


在y=2x﹣3中，x=﹣1时，y=﹣5；


故点P′在直线上．


2.【答案】（1） 6（2）①3 ②y=﹣x+5


【解析】（1）将A的坐标代入正比例函数解析式中，求出a的值；将A坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；


（2）①由A的横坐标为3，得到BD=3，当BM=DM时，求出m的值，将m代入反比例解析式中求出n的值，确定出M坐标，三角形ODM以MD为底边，OB为高，利用三角形的面积公式求出即可；


②由BM=2DM及BD=3，求出m的长，将m的值代入反比例解析式中求出n的值，确定出M坐标，设直线AM的解析式为y=kx+b，将A与M的坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可求出直线AM的解析式．


解：（1）将A的坐标代入正比例函数y=ax中得：2=3a，解得：a=；


将A坐标代入反比例函数y=中得：2=，解得：k=6；


故答案为：；6；


（2）①由已知得BD=3，当BM=DM时，m=，


当x=时，y=4，则S△ODM=××4=3；


②由已知得BD=3，当BM=2DM时，m=3×=2，


当x=2时，y=3，即M（2，3），


设直线MA的解析式为y=kx+b，


将A（3，2），M（2，3）代入得：，


解得：，


∴y=﹣x+5．


3.【答案】见解析


【解析】（1）将B坐标代入直线y=x﹣2中得：m﹣2=2，解得：m=4，





∴B（4，2），即BE=4，OE=2.


设反比例解析式为，


将B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，


∴反比例解析式为.


（2）设平移后直线解析式为y=x+b，C（a，a+b），


对于直线y=x﹣2，令x=0求出y=﹣2，得到OA=2，


过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，


将C坐标代入反比例解析式得：a（a+b）=8①，


∵，


∴②.


①②联立，解得：b=7.


∴平移后直线解析式为y=x+7.


4.【答案】（1）I=（2）电流不可能是4A.理由见解析


【解析】解：（1）∵电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，∴设I=（k≠0）.


把（4，9）代入得：k=4×9=36.


∴这个反比例函数的表达式I=.


（2）∵当R=10Ω时，I=3.6≠4，∴电流不可能是4A.








巩固








1.如图, 在直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在X轴上，点B、D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）.





（1）直接写出点C的坐标；


（2）若反比例函数 的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求 的值及反比例函数的解析式；


（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接 EF，在线段AB上（端点除外）找一点P，使得：S△PEF＝S△CEF，并求出点P的坐标.


2.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点落在反比例函数（）的图象上．一次函数（）的图象与该反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．已知，，点的坐标为（，）．





（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；


（2）连接、，求△的面积．


3.南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．


（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；


（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？





答案与解析


1.【答案】（1）C（3,0）（2）3/2，（3）(1，1)


【解析】解：（1）C（3,0）


（2）设直线AC的解析式为，则


，解得：


∴直线AC的解析式为


∵点E（2，m）在直线AC上


∴


∴


∵反比例函数y＝ 的图象经过点E


∴


∴反比例函数的解析式为


（3）在中，当时， ∴


过点C作直线PC∥EF交AB于P，


则


设直线EF的解析式为


∴ 解得： ∴


设直线PC的解析式为，并把C(3，0)代入得：


∴


当时，y＝1 ∴点P(1，1)


2.【答案】（1），（2）14


【解析】解：（1）作轴，垂足为











∵，


∴


∴Rt△中，


即（，）


∵反比例函数的图象经过点


∴


∴该反比例函数为


∵当时，


∴（，）


∵一次函数的图象经过、两点


∴ 解得


∴该一次函数为


（2）对一次函数为，当时，


∴（，）


∴


∴


3.【答案】（1）（≤x≤）（2）改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤


【解析】解：（1）由题意知：xy=36，


故（≤x≤）


（2）根据题意得：


解得：x=0.3


经检验：是原方程的根


1.5x=0.45


答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．





拔高








1.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，与AB相交于点E，且点B（4，2）．





（1）求反比例函数的关系式；


（2）求四边形OAED的面积；


（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，若，求直线GH的函数关系式．


2.类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：


（1）将y=的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 _________ ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 _________ ；


（2）函数y=的图象可由y=的图象向 _________ 平移 _________ 个单位得到；y=的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到；


（3）一般地，函数y=（ab≠0，且a≠b）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？


3.如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况.实验数据记录如下：








（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？








答案与解析


1.【答案】．（1）；（2）S=2．5；（3）解析式为


【解析】（1）∵B（4，2），点D为对角线OB的中点，∴D（2，1），


∵点D在反比例函数（k≠0）上，∴k=2×1=2，


∴反比例函数的关系式为： ；


（2）∵反比例函数的关系式为，四边形OABC是矩形，B（4，2），


∴E（4， ），∴BE=2-=，


∵D（2，1），∴S四边形OAED=S△OAB-S△BDE=×4×2-××2=4-=2．5 ；


（3）设点F（a，2），H（b，0），


∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，∴ =2，解得a=1，∴CF=1，


连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，


在Rt△CGF中，，GF2=CF2+CG2，即t2=（2-t）2+12，解得t= ，∴G（0，），


∵ ，∴OG2+OH2=GH2，即（）2+b2=（）2，解得b=2．5或b=-2．5（舍去），


∴H（2．5 ，0）．


设直线GH的解析式为y=kx+c（k≠0），


∵G（0， ），H（2．5，0），


∴，解得 ，


∴直线GH的解析式为y=x+．


2.【答案】（1） （2）上 1 （3）见解析


【解析】（1）可设新反比例函数的解析式为y=，可从原反比例函数找一点（1，1），向右平移1个单位得（2，1），代入解析式可得：a=﹣1．故所得图象的函数表达式为；


再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为．


（2）先把函数化为标准反比例的形式y=+1，然后即可根据反比例函数图象平移的性质解答：y=可转化为．


故函数y=的图象可由y=的图象向上移1个单位得到；y=的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．


（3）函数（ab≠0，且a≠b）可转化为．


当a＞0时，的图象可由反比例函数的图象向左平移a个单位，再向上平移1个单位得到；


当a＜0时，的图象可由反比例函数的图象向右平移﹣a个单位，再向上平移1个单位得到．


3.【答案】（1）画图略，，（2）；示数不断增大.


【解析】本题考查的是反比例函数的应用


先根据x，y的各组对应值作为点的坐标作出图象，根据图象特征即可得到结果；


把代入函数关系式即可得到结果；


根据函数图象的性质即可判断随着弹簧秤与0点的距离不断减小，弹簧秤上的示数的变化情况.


（1）画图略，由图象猜测之间的函数关系为反比例函数，所以设


把代入得：，将其余各点代入验证均适应，所以之间的函数关系式为：


（2）把代入得


所以当弹簧秤的示数为24时，弹簧秤与0点的距离是，随着弹簧秤与0点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大.








五 、课堂小结








本节的重要内容：反比例函数的应用


（1）反比例函数的几何应用：涉及到面积和一次函数；


（2）反比例函数的实际应用：生活中成反比的实例.








六 、课后作业











基础








1.如图，一次函数的图象与反比例函数（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当时，一次函数值大于反比例函数值，当时，一次函数值小于反比例函数值．





A


B


P








C


Q


y


x


O





（1）求一次函数的解析式；


（2）设函数（x＞0）的图象与（x＜0）的图象关于y轴对称，在（x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．


2.如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．





（1）求反比例函数的解析式；


（2）求AN•BM的值．


3.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．





（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；


（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？


4.如图所示，制作一种产品，需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为l5℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时问x成反比例函数关系．


（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系(要写出x的取值范)；


（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟?








答案与解析


1.【答案】（1）一次函数解析式为y= –x+2. （2）P（，）


【解析】（1）∵x<–1时，一次函数值大于反比例函数值，当-1

∴A点的横坐标是–1，∴A（–1，3）


设一次函数解析式为y= kx+b，因直线过A、C


则，解之得：


∴一次函数解析式为y= –x+2


（2）∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称，


∴y2 = (x>0)


∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点，∴B (0，2)


设P（n， )，n>2 S四边形BCQP –S△BOC =2


∴ ( 2+ )n– 22 = 2，n = ，


∴P（，）








【答案】见解析


【解析】（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，





对于一次函数y=x+1，令x=0，求得：y=1；


令y=0，求得：x=﹣1.


∴OA=OB=1.∴C（﹣1，1）.


将C（﹣1，1）代入得：，即k=﹣1.


∴反比例函数解析式为.


（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，


设P（a，），可得ND=，ME=|a|=﹣a，


∵△AND和△BME为等腰直角三角形，


∴.


∴.


【答案】见解析


【解析】（1）停止加热时，设（k≠0），


由题意得，解得k=4800.


∴.


当y=800时，，解得x=6.∴点B的坐标为（6，800）.


材料加热时，设y=ax+32（a≠0），


由题意得800=6a+32，解得a=128.


∴材料加热时，y与x的函数关系式为y=128x+32（0≤x≤6）；


停止加热进行操作时y与x的函数关系式为（x＞6）.


（2）把y=480代入，得x=10，


∴从开始加热到停止操作，共经历了10分钟.


∵10—6=4（分），


∴锻造的操作时间为4分钟.


4.【答案】见解析


【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为，


该函数图像经过点，，得 解得


所以一次函数表达式为；


设加热停止后反比例函数表达式为，


该函数图像经过点，得，得．


所以反比例函数表达式为；


（2）在函数中，当y=30时，得；


在函数中，当y=30时，得；


∵，∴对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．








巩固








1.九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究．


第一学习小组发现：如图（1），点A、点B在直线l1上，点C、点D在直线l2上，若l1∥l2，则S△ABC=S△ABD；反之亦成立．


第二学习小组发现：如图（2），点P是反比例函数上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积为定值|k|．





请利用上述结论解决下列问题：


（1）如图（3），四边形ABCD、与四边形CEFG都是正方形点E在CD上，正方形ABCD边长为2，则S△BDF= ．


（2）如图（4），点P、Q在反比例函数图象上，PQ过点O，过P作y轴的平行线交x轴于点H，过Q作x轴的平行线交PH于点G，若S△PQG=8，则S△POH= ，k= ．


（3）如图（5）点P、Q是第一象限的点，且在反比例函数图象上，过点P作x轴垂线，过点Q作y轴垂线，垂足分别是M、N，试判断直线PQ与直线MN的位置关系，并说明理由．


2.如图1，点A是反比例函数（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数（k＜0，x＜0）的图象于点B．


（1）若S△AOB=3，则k=______；


（2）当k=-8时：


①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；


②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由；


（3）如图1，若不论点A在何处，反比例函数（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．





3.如图，面积为8的矩形的边分别在轴，轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且.





（1）求反比例函数的解析式


（2）将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形，反比例函数图象交于点，交于点.求的坐标.


（3）△MBN的面积


4.如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1.过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1.





（1）求反比例函数和一次函数的解析式；


（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求线段AC的长度；


（3）直接写出：当＞＞0时，x的取值范围；


（4）在y轴上是否存在一点p，使△PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出p点坐标，若不存在，请说明理由.（要求至少写两个）


5.在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例．当电阻R=6欧姆时，电流 I=2安培．


（l）求I与R之间的函数关系式；


（2）当电流I=1.5 安培时，求电阻R的值；


（3）如果电路中用电器限制电流不得超过10安培，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？


6.为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏清毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:





(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.


(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;


(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?





答案与解析


1.【答案】（1）2，（2）2，﹣4．（3）平行，理由见解析


【解析】（1）连接CF，


∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，


∴CF∥BD，△CBD与△FBD同底等高，


∴S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD=2；





（2）设P（x，y），则k=xy，


根据题意，得GQ=﹣2x，PG=2y，


∴S△PQG=×GQ×PG=8，即•（﹣2x）•2y=8，


解得xy=﹣4，即k=﹣4，


S△POH=×OH×PH=﹣xy=2；





（3）PQ∥MN．


理由：作PA⊥y轴，QB⊥x轴，垂足为A，B，连接PN，MQ，


根据双曲线的性质可知，S矩形AOMP=S矩形BONQ=k，


∴S矩形ANCP=S矩形BMCQ，可知S△NCP=S△MCQ，


∴S△NPQ=S△MPQ，


∴PQ∥MN．


故本题答案为：（1）2，（2）2，﹣4．


考点：反比例函数综合题；三角形的面积．


点评：本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力．解题时先直观地猜想，再按照从特殊到一般的方法去验证．


2.【答案】（1）K= —4 （2）① ∠AOB=90°②∠OMN的度数不变化 （3） K= —4


【解析】（1）设AB交y轴于C，如图1，





∵AB∥x轴，


∴S△AOC=×2=1，S△BOC=|k|，


∵S△AOB=3，


∴1+|k|=3，解得k=4或-4，


而k＜0，


∴k=-4；


故答案为：-4；





（2）①方法一：由题意知，A（1，2），B（-4，2），


∴AB=5，OA=，OB=2，


∴OA2+OB2=AB2，


∴∠AOB=90°，


方法二：由题意知，A（1，2），B（-4，2），


设AB与y轴相交于点C，则OC=2，AC=1，BC=4，


∴，


∵∠OCB=∠OCA=90°，


∴△OBC∽△AOC，


∴∠OBC=∠COA，


∵∠OBC+∠BOC=90°，


∴∠AOB=90°；





②不变化．理由如下：


作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，





设M（a，），N（b，- ），


则MF= ，OF=a，OE=-b，NE=-，


∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，


使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，


∴∠MON=90°，


∴∠NOE+∠MOF=90°，


而∠NOE+∠ONE=90°，


∴∠ONE=∠MOF，


∴Rt△ONE∽Rt△MOF，


∴，


即，


∴a2b2=16，


∵ab＜0，


∴ab=-4，


∴，


在Rt△OMN中，tan∠NMO= ，


∴在旋转的过程中，∠OMN的度数不变化．


（3）假设y2=上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，


过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，





∵四边形AOBD为平行四边形，


∴BD=OA，BD∥OA，


∴∠DBA=∠OAB=∠AOC，


在△AOC和△DBE中，


，


∴△AOC≌△DBE（AAS），


设A（，）（a＞0），即OC=，AC=，


∴BE=OC=a，DE=AC=，


∴D纵坐标为，B纵坐标为，


∴D横坐标为，B横坐标为，


∴BE=|-|=a，即-=a，


∴k=-4．


3.【答案】（1）（2）；（3）


【解析】（1）∵矩形ABOC的面积为8，且AC=2，


∴OC=4，


∵点A在第一象限，


∴A（2，4），


∵顶点A在双曲线的图象上，


将A点代入双曲线函数中，得：k=xy=2×4=8，


即k=8，


∴；


（2）∵矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF，


∴点M、E纵坐标为2，点N、E横坐标为6，


∴将y=2代入中，得x=4，


将x=6代入中，则y=，


∴；


∵E（6，2），，


∴EM=，EN=2，





4.【答案】（1），；（2）；（3）；（4）


【解析】（1）根据反比例函数的k的几何意义即可求得反比例函数的解析式，从而可以求得点A的坐标，再根据点A在图象上即可求得一次函数的解析式；


（2）把时代入即可求得点C的坐标，再根据勾股定理求解即可；


（3）找到第一象限中反比例函数的图象在一次函数的图象上方的部分对应的x值的范围即可；


（4）根据函数图象上的点的坐标的特征结合等腰三角形的性质求解即可.


（1）∵


∴


∵经过第一象限


∴


∴


当时代入得


∴A（1，2）


∵A（1，2）在图象上


∴，解得


∴；


（2）当时代入得


∴C（－1，0）


在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2


∴AC＝


（3）由图可知：当时，＞＞0时；


（4）存在点，使△PAO为等腰三角形


（OA的垂直平分线与轴的交点）等等.


5.【答案】(1) (2)R=8欧姆 （3）R≥1.2


【解析】（1）电流I与电阻R成反比例函数，则设解析式，当电阻R=6欧姆时，电流 I=2安培，代入解析式求得k=12,则I与R之间的函数关系式为


（2）当电流I=1.5 安培时，则，求得R=8


（3）不得超过10安培则，求得R≥1.2


6.【答案】(1)y=,0

【解析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点（8，6）代入即可；


（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；


（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．


（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1,


∴k1=


设药物燃烧后y关于x的函数关系式为（k2＞0）


代入（8，6）为，


∴k2=48


∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为(1)y=，0

（2）结合实际，令y=中y≤1.6得x≥30


即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室；


(3)此次消毒有效,


把y=3分别代入y=,y=,


求得x=4和x=16,而16-4=12>10,


即空气中的含药量不低于3mg/m3的持续时间为12min, 大于10min的有效消毒时间.














拔高








1.如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、


B（0，1）、C（d，2）.





（1）求d的值；


（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图


像上.请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；


（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，


使得四边形PGMC′是平行四边形.如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由.


2.如图，已知点A（4，0），B（0，），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．


（1）求直线AB的解析式；


（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数（）的解析式；


（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．








3.如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T（m，n）表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O（北京路与奥运路的十字路口），OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．





（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；


（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；


（3）设t=m﹣n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．


4.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价元与日销售量个之间有如下关系：


（1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（）的对应点


（2）猜测并确定与之间的函数关系式，并画出图象；


（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与之间的函数关系式，若物价居规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？





答案与解析


1.【答案】（1）-3（2），（3）P′（，5），M′（，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M.


【解析】解：（1）作CN⊥x轴于点N.





在Rt△CNA和Rt△AOB中，


∵NC＝OA＝2，AC＝AB


∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）.


∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，


又∵点C在第二象限，∴d＝－3.


（2）设反比例函数为，点C′和B′在该比例函数图像上，


设C′（c，2），则B′（c＋3，1）.


把点C′和Ｂ′的坐标分别代入，得k＝2 c；k＝c＋3.


∴2 c＝c＋3，c＝3，则k＝6.∴反比例函数解析式为.


得点C′（3，2）；B′（6，1）.


设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得，解得.


∴直线C′B′的解析式为.


（3）设Q是G C′的中点，由G（0，3），C′（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为


2＋.∴Q（，）.


过点Q作直线l与x轴交于M′点，





与的图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于.


作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，


则△P′EQ≌△QFM′.


设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为，点P′的纵坐标y为，


点M′的坐标是（，0）.


∴P′E＝.


由P′Q＝QM′，得P′E2＋EQ2＝QF2＋FM′2，∴，


整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）.


∴，，.


∴P′（，5），M′（，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M.


2.【答案】（1）；（2）；（3）．


【解析】（1）设直线AB的解析式为，∵A（4，0），B（0，），∴，


解得：，∴直线AB的解析式为：；


（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，∴EF=，DF=4，∵点D与点A重合，∴D（4，0），∴F（2，），∴G（3，），∵反比例函数经过点G，∴，∴反比例函数的解析式为：；


（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：∵点F在直线AB上，∴设F（t，），又∵ED=2，∴D（，），∵点G为边FD的中点．∴G（，），若过点G的反比例函数的图象也经过点F，设解析式为，则，整理得：，解得：，∴，∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：．


3.【答案】（1） （2）（50，200）或（200，50） （3）T（100，100）


【解析】（1）设反比例函数为（k＞0），


则k=xy=mn=S矩形OATB=10000，


∴．


（2）设鲜花方阵的长为m米，则宽为（250﹣m）米，由题意得


m（250﹣m）=10000，


250m﹣m2=10000，


即m2﹣250m+10000=0，


解得m=50或m=200，满足题意．


∴此时火炬的坐标为（50，200）或（200，50）．





（3）∵mn=10000，在Rt△TAO中，


=．


∴当t=0时，TO最小，


∵t=m﹣n，


∴此时m=n，又mn=10000，m＞0，n＞0，


∴m=n=100，且10＜100＜1000，


∴T（100，100）．


4.【答案】（1）略；（2），图象略；


（3）W=（，当时，W有最大值.


【解析】本题考查的是反比例函数的应用


先作出直角坐标系，再根据实数对（）即可得到结果；


根据实数对（）的特征即可求得结果；


（3）先根据题意表示出与之间的函数关系式即可得到结果.


略；


（2）设，把代入中，得，，


分别把（4，15）（5，12），（6，10）代入上式均成立；


∴与之间的函数关系式是；


（3）W=（，当时，W有最大值.








七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
反比例函数的几何应用


反比例函数的实际应用
教学目标
1、掌握反比例函数的几何应用.


2、利用反比例函数解决实际问题.
教学重点
能熟练掌握反比例函数的应用.
教学难点
能熟练掌握反比例函数的应用.
x（cm）
…
10
15
20
25
30
…
y（N）
…
30
20
15
12
10
…
（元）
3
4
5
6
（个）
20
15
12
10