北师大版九年级下册1 锐角三角函数教案

这是一份北师大版九年级下册1 锐角三角函数教案，共17页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第1讲


讲














锐角三角函数


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握正切、正弦、余弦的定义，并能利用其进行一些简单的计算。在授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，帮助学生形成格式规范的写法。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 复杂图形中的三角函数问题。


2. 坡度的应用问题。


3.正确规范的书写格式。


【知识导图】























教学过程








一、导入





【教学建议】


本节内容较简单，把定义讲透，加强对复杂图形中的三角函数问题的解题示范。





二、知识讲解








知识点1 正切





当锐角A的大小确定时，∠A的对边与邻边的比也分别是确定的． 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．





知识点2 正弦、余弦





在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =．





我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即csA==；


锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．





知识点3 坡度





如图所示，我们把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即








三、例题精析








例题1





【题干】若△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（ ）





A．B．C．D．1


【答案】D


【解析】根据图形可知∠α的对边及邻边的值，再根据锐角三角函数的定义求解即可．


解：根据图形可知：△ABC是直角三角形，且AC=3，BC=3．


根据勾股定理得到AB=3，


则tanα==1．


故选D．





例题2





【题干】如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）





A．B．C．D．


【答案】C


【解析】由四边形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．


解：∵四边形ABCD是矩形，


∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，


由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，


∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，


∴∠DCF=∠AFE，


∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，


∴DF=3，


∴tan∠AFE=tan∠DCF==．


故选C．





例题3





【题干】如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（ ）





A．sinα=B．csα=C．tanα= D．tanα=


【答案】D


【解析】根据菱形的性质及勾股定理可求得AB的长，从而可表示出不同的三角函数从而验证得到正确的那个选项．


解：菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，


则AC⊥BD，且OA=3，OB=4．


在直角△ABO中，根据勾股定理得到：AB=5，


则sinα=，csα=，tanα=，


故选D．








例题4





【题干】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）





A．5m B．6m C．7m D．8m





【答案】A


【解析】解：由题知：=0.75，此时坡上株距是4m，设相邻两树间的坡面距离为xm


所以满足=0.8=


解得x=5


故选A．





例题5





【题干】如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：的斜坡铺设水管，若测得水管A处铅垂高度为6m，则所铺设水管AC的长度为（ ）





A．8m B．10m C．12m D．18m


【答案】C


【解析】∵该斜坡的坡度为i=1：，


∴AB：BC=1：，


∵AB=6m，


∴BC=6m，


则AC=（m）．


故选C．





四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重难点放在正切、正弦、余弦的应用上，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习。





基础





1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则的值是（ ）





A． B． C． D．


【答案】C


【解析】由图可知，故选C.


2.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cs∠ABC等于（ ）


A. B. C. D.





【答案】C


【解析】在格点中构造直角三角形，再根据勾股定理即可求得cs∠ABC=，故选C.


3.在坡度为1:2的斜坡上，某人前进了100米，则他所在的位置比原来升高了 米．


【答案】


【解析】根据坡度为1:2，可设对边为x米，邻边为2x米，再根据勾股定理即可列方程求解.


设对边为x米，邻边为2x米，由题意得





解得


则他所在的位置比原来升高了米．





巩固





1.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值 （ ）


A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍 D.大小不变


【答案】D


【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原三角形相似，则∠B的大小不变，根据三角函数的性质即可判断．


把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．


故选D．


2.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则的值是（ ）


A． B． C． D．


【答案】A


【解析】此题考查直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切的定义和勾股定理的应用；如右图：


所以，，所以选A；





拔高








1.在Rt△ABC中，若各边的长度同时扩大5倍，那么锐角A的正弦值和余弦值 （ ）


A.都不变 B.都扩大5倍


C.正弦扩大5倍、余弦缩小5倍 D.不能确定


【答案】A


【解析】∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，


∴边长同时扩大5倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，


∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．


故选A．


2.如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB等于 （ ）


A．100m B．50m C．50m D．50（+1）m





【答案】D


【解析】在两个不同的三角形中利用三角函数就行了.


3.如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一垂直于水平面的旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．


D A


C


B





【答案】6米


【解析】延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，BC=BE-CE，即可得出结果．


延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．





在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比为1:可知：∠CAE＝30°．


∴CE＝AC·sin30°＝10×＝5，AE＝AC·cs30°＝10×＝．


在Rt△ABE中，BE＝＝=11．


∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．


答：旗杆的高度为6米．











课堂小结





正切、正弦、余弦：


如下图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，





①正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即．


②余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即．


③正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即．


坡度：


坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比）











拓展延伸








基础





1. （2018孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（ ）


C


A


B





A． B． C． D．


【答案】A


【解析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．


2. 图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝＝( )








A．B．C．D．





【答案】A


【解析】由勾股定理，得：AB＝＝＝5．根据正弦的定义，得：sinB＝＝．


3. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）


A． B．1 C． D．











【答案】B．


【解析】连接BC，则BC⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝BC＝tan∠BAC＝＝1.








巩固





1.△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC等于（ ）


A ． 45 B ． 5 C ． D ．


【答案】B


【解析】画出示意图，根据正弦的定义即可求得.


2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sinB＝，求菱形的周长．


A


B


D


C


E





【答案】52


【解析】设AE＝5x，AB＝13x，∴BE＝12x，∴12x＋1＝13x，x＝1


∴AB＝13，∴菱形的周长为52 ．


3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，sinA＝，AC＝5，求sinB及BC的长．


A


B


D


C





【答案】


【解析】提示：根据sinB＝，易得 BC＝.





拔高





1.如图， 在4×4的正方形方格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是 ．





【答案】


【解析】由勾股定理可得，AB2＝32＋42＝25，BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，


∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ACB＝＝＝ ．


2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝ ．





【答案】2


【解析】如图所示，连接AE、BE，易证CD∥BE，∴∠AOD＝∠ABE，显然△ABE是直角三角形，∴tan∠AOD＝tan∠ABE＝．





3.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为 ．


A


E


D


B


C


A′





【答案】


【解析】由折叠知∠BA′E=∠A=90°，AE=A′E，A′B=AB=6，故在Rt△A′BC中，由勾股定理，得A′C===8，设AE=A′E=x，则CE=x+8，DE=10－x，在Rt△CDE中，由勾股定理，得(x+8)2=62+(10－x)2，解得x=2．(或由Rt△CDE∽Rt△BCA′求得DE长，进而得AE的长．)在Rt△ABE中，BE==2．所以sin∠ABE===．








教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.正切


2.正弦、余弦


3.坡度
教学目标
1.掌握锐角三角函数的定义


2.掌握正切、正弦、余弦的计算
教学重点
能熟练掌握锐角三角函数的计算
教学难点
能熟练掌握锐角三角函数的计算